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POV-Ray を用いた 幾何学的デザイン手法. 曲面 線織面 複曲面 可展面 ( 単曲面 ) ねじれ面 回転面 回転面以外の曲面 ( 一般複曲面 ) 直線の移動の軌跡 として定義可能で ある面 線織面以外の曲面 1 平面に展開可能である面 ( 錐面、柱面、接線曲面 ) 1 平面に展開できない線織面.

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1 POV-Ray を用いた 幾何学的デザイン手法

2 曲面 線織面 複曲面 可展面 ( 単曲面 ) ねじれ面 回転面 回転面以外の曲面 ( 一般複曲面 ) 直線の移動の軌跡 として定義可能で ある面 線織面以外の曲面 1 平面に展開可能である面 ( 錐面、柱面、接線曲面 ) 1 平面に展開できない線織面 ( らせん面、双曲放物線面など ) 直線または曲線の回転の軌跡 として定義可能である面 ( 球、円環など ) ただし、円柱、円錐などの可 展面は除いて考える。 微分幾何学的分類

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5 接線曲面を用いたランプシェードのデザイン 京都・花灯路第 2 回創作行灯デザインコンペ 第一次審査通過作品

6 可展面は、曲面としての加工が容 易であるが、錘面、柱面は曲面と しては極めてシンプルであるため、 単調な印象となる。 これに対し、接線曲面は複雑な面 となるが、造形コントロールが難 しいため、つるまき状の空間曲線 である常螺旋の接線の集合である ヘリカルコンボリュート面以外に は実用的に用いられていない。 本作品は、数理的に螺旋の幅と半 径をコントロールし、展開可能で ありかつ複雑な曲面の造形を試み たものである。 接線曲面 ( ヘリカルコンボリュート )

7 本ランプシェードは、京都の街を取 り巻く山々をイメージした行灯として デザインを行った。 行灯の笠部分は複雑な曲面であるが、 中央の二重螺旋(以下、主フレーム) の接線の集合による曲面で構成してお り、平面に展開可能な可展面となる。 このため、主フレームの接線位置に 笠部分の支持用の副フレームを配置す ることで、平らな材料を曲げて笠部分 を固定することができる。

8 本作品では、主フレームの高さ 方向の進み方と半径を二次関数で、 笠の幅を三角関数と二次関数でコ ントロールし、複雑な山並みのシ ルエットを表現している。 また、組み合わされた 2 つの笠曲 面の幅の変化の位相を調整し、行 灯を上から見た場合に、花弁 5 枚 からなる花模様となるようにして いる。

9 主フレーム、副フレーム、笠の関係 主フレーム

10 主フレーム、副フレーム、笠の関係 主フレーム+副フレーム

11 主フレーム、副フレーム、笠の関係 主フレーム+副フレーム+笠

12 上から見た笠の形状 平面図

13 中心軸となる二重螺旋の主フレームは、副フレームを差し 込む穴も考慮して積層造形システムで造形を行った。

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15 笠部分は、計算によって求められる展開図の型紙を用いて 美濃和紙から切り出し、副フレームに接着剤で貼り合わせた。

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20 セグメントにエルミート曲線を用いた接線曲面のコント ロール 4 次の場合は、セグメント内の曲線の 2 階導関数ベクトル の、 t = 0 における値である D 0 も組み込み、下記のように表現でき る。

21 母線の長さは = 接線ベクトルの長さ

22 位置ベクトル接線ベクトル 第1点第1点 40* 50* 第2点第2点 第3点第3点 60* 50* 第4点第4点 70* 50* 第5点第5点 80* 50* 第6点第6点 90* 50* 第7点第7点 100* 50* 第8点第8点 110* 50* 第9点第9点 120* 50*

23 接線曲面の母線の長さは 150 で一定値

24 第 1 点位置 70* 第 1 点接線 100* 第 2 点位置 第 2 点接線 第 3 点位置 第 3 点接線 100 2 階導関数初 期値

25 曲線の回転・拡大縮小・平行移動の軌跡としての 可展面のデザイン手法 曲線を操作 ( 平行移動、拡大縮小、回転 ) した場合の操作 前後の曲線を導線とし、操作前後の曲線上の対応点を結 ぶ線分を母線とする線織面を考えることにより可展面で ある柱面・錐面を発生させ、これを組み合わせることで、 可展面でありながら複雑な形状を設計する手法。

26 任意の曲線を平行移動した場合は柱面、拡大縮小した 場合は錐面となるが、回転の場合には一般的には可展面 とはならず、平面曲線をその平面曲線を含む平面内の線 分を軸として回転した場合には柱面となる。 平行移動拡大縮小回転 空間 曲線 柱面錐面ねじれ面 平面 曲線 柱面錐面 回転軸が平面曲線 を含む面内に存在 した場合には柱面

27 導線をつるまき線とし、この平行移動によって得られ る柱面を 4 つ配置 ( 水平断面が正方形となるように配置 ) し た例 提案したデザイン手法によるデザイン例

28 同一平面上の導線と回転軸を用いて回転して作成した柱 面を組み合わせて配置 ( 水平断面が正方形となるように配 置 ) した例

29 提案したデザイン手法によるデザイン例 同一平面上の導線と回転軸を用いて回転して作成した柱 面を組み合わせて配置した例

30 提案したデザイン手法によるデザイン例 同一平面上の導線と回転軸を用いて回転して作成した柱 面を組み合わせて配置した例

31 提案したデザイン手法によるデザイン例 同一平面上の導線と回転軸を用いて回転して作成した柱 面を組み合わせて配置した例

32 提案したデザイン手法によるデザイン例 一般に、曲面と曲面が交わる場合には交わる部分は曲線 となり、図形科学・図学分野では、これを相貫線として作 図により求めることが課題として設定される。 本稿で提案したアプローチは、逆に相貫線を導線とする 可展面を考え、これを組み合わせてデザインしていく手法 と考えることができる。

33 製作手法と製作例 本手法によりデザインされた形状の製作手法と製作例の説 明を行う。 導線となる曲線 C を、 t を媒介変数 (0 ≦ t ≦ 1) として、回転軸 からの距離 r(t) 、基準高さからの距離 h(t) とし、回転角を θ と すると、柱面の展開図の端点の軌跡は、展開図の中心を軸 として、 曲線 ( ±r(t) sin (θ/2), ) となる。このため、柱面の展開図は解析的あるいは数値的 に求めることが可能である。 同様に、柱面の垂直断面や端部を構成する曲線も求めら れるため、この部分を用いて柱面の形状を保持・固定する ことが容易であり、 3 次元プリンター等の特殊な設備の利用 なしにこれらの形を製作することができる。

34 製作手法と製作例 この手法で、右図のように 与えられる形状 ( 平面曲線の 回転によって得られる柱面の 組み合わせ ) の柱面の 1 つの 展開図と、垂直断面の曲線 を求めたものが、下図である。

35 製作手法と製作例 展開図と、垂直断面の 曲線を出力したものを用い て実際に製作した例が右図 である。


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