Presentation is loading. Please wait.

Presentation is loading. Please wait.

大学院物理システム工学専攻 2004 年度 固体材料物性第 8 回 -光と磁気の現象論 (3) - 佐藤勝昭ナノ未来科学研究拠点.

Similar presentations


Presentation on theme: "大学院物理システム工学専攻 2004 年度 固体材料物性第 8 回 -光と磁気の現象論 (3) - 佐藤勝昭ナノ未来科学研究拠点."— Presentation transcript:

1 大学院物理システム工学専攻 2004 年度 固体材料物性第 8 回 -光と磁気の現象論 (3) - 佐藤勝昭ナノ未来科学研究拠点

2 復習コーナー 第 7 回に学んだこと 光の伝搬とマクスウェルの方程式 光の伝搬とマクスウェルの方程式 – 固有解:波動解、固有値:複素屈折率 ファラデー配置の場合の固有値と固有状 態 ファラデー配置の場合の固有値と固有状 態 – 2つの固有値と対応する固有状態(円偏光) フォークト配置の場合の固有値と固有状 態 フォークト配置の場合の固有値と固有状 態 – 磁気誘起の複屈折 ファラデー効果の現象論 ファラデー効果の現象論 – ファラデー効果と誘電率テンソル

3 マクスウェル方程式を E と H で 表す 簡単のため, J=0 と置く。 [ 伝導電流を分 極電流(変位電流)の中に繰り込む ] 簡単のため, J=0 と置く。 [ 伝導電流を分 極電流(変位電流)の中に繰り込む ] B と H 、 D と E の関係式 B と H 、 D と E の関係式 を代入して、 (3.18) (3.18) 誘電率テンソル

4 平面波の解を仮定する 波数ベクトル K として 波数ベクトル K として (3.19) (3.19) ここにE 0 ,H 0 は時間や距離に依存しない定数ベク トルである。この式を式 (3.18) に代入すると、 ここにE 0 ,H 0 は時間や距離に依存しない定数ベク トルである。この式を式 (3.18) に代入すると、 となる。 となる。

5 固有方程式 両式から H を消去し、 固有方程式として 両式から H を消去し、 固有方程式として が得られる。問題 3.1 参 照

6 ファラデー配置の場合 (  =0) 磁化が z 軸方向にあるとして、 z 軸に平行に進む波 (N //z) に対して式 (3.21) は 磁化が z 軸方向にあるとして、 z 軸に平行に進む波 (N //z) に対して式 (3.21) は と表される。固有方程式 (3.22) は と表される。固有方程式 (3.22) は と書ける。この方程式が E  0 の解をもつためには、 上式において E の係数の行列式が 0 でなければならな い。こうして次の永年方程式を得る。 ( 問題 3.2 参照 ) と書ける。この方程式が E  0 の解をもつためには、 上式において E の係数の行列式が 0 でなければならな い。こうして次の永年方程式を得る。 ( 問題 3.2 参照 )

7 永年方程式 (3.25) (3.25) これより、 N 2 の固有値として2個の値 これより、 N 2 の固有値として2個の値(3.26) を得る。 これらの固有値に対応する固有関数は、 を得る。 これらの固有値に対応する固有関数は、 (3. 27) (3. 27) E+ 、 E- は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応す る。 E+ 、 E- は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応す る。

8 フォークト配置の場合 N 2 の固有値として N 2 の固有値として および および という2つの解を得る。 N 1 および N 2 に対応す る固有関数は という2つの解を得る。 N 1 および N 2 に対応す る固有関数は (3.33) (3.33) となり、複屈折を生じる。 ( コットンムートン 効果 ) となり、複屈折を生じる。 ( コットンムートン 効果 )

9 3.3 のまとめ 光の伝搬をマクスウェルの方程式で記述 すると,磁化された等方性物質の屈折率 N は 光の伝搬をマクスウェルの方程式で記述 すると,磁化された等方性物質の屈折率 N は で与えられる2つの固 有値をとり,それぞれが右円偏光および 左円偏光に対応する.(ここに, ε xx は誘 電テンソルの対角成分, ε xy は非対角成分 である.)もし, ε xy が0であれば,円偏 光は固有関数ではなく,磁気光学効果は 生じない. で与えられる2つの固 有値をとり,それぞれが右円偏光および 左円偏光に対応する.(ここに, ε xx は誘 電テンソルの対角成分, ε xy は非対角成分 である.)もし, ε xy が0であれば,円偏 光は固有関数ではなく,磁気光学効果は 生じない.

10 磁気光学の式 磁気光学効果には対角・非対角両成分が寄与

11 磁気光学 Kerr 効果 反射の磁気光学効果を磁気光学カー効果 (MOKE) という 反射の磁気光学効果を磁気光学カー効果 (MOKE) という 1. 通常の反射の法則を導く:電界に対する 反射率=複素振幅反射率 (Fresnel 係数 ) 2. 右回り円偏光に対する Fresnel 係数と左 回り円偏光に対する Fresnel 係数の差を 考える。位相の差から Kerr 回転が振幅の 差から Kerr 楕円率が導かれる。

12 斜め入射の場合の反射 反射は界面における 電磁波の伝搬の境界 条件により決められ る。 反射は界面における 電磁波の伝搬の境界 条件により決められ る。 Z Y X E 0p E 1p E 2p 法線 00 11 22 K0K0 K1K1 K2K2 K の x 成分の連続性 K 0 sin  0 =K 1 sin  1 = K 2 sin  2 これより Snell の法則が 導かれる。

13 電界と磁界の界面における連続 性 電界の x 成分、 y 成分の連続性より 一方、磁界の x 成分、 y 成分についての連続の式 H S = (K/  0 ) E P 、 H P =- (K/  0 )E S によっ て電界についての式に書き直す 連立方程式を解く

14 複素振幅反射率 (Fresnel 係数 ) P 偏光の反射 S 偏光の反射 ここに、r p = | r p | e iδ p 、r s = | r s| e iδ s である。

15 エリプソメトリ ( 偏光解析)  azimuth ( 方位角 )  azimuth ( 方位角 )  phase ( 位相差 )  phase ( 位相差 ) 反射は方位角  と位相差  =  p-  s によって記述できる。 反射光は一般には楕円偏光になっているが、そのp成分 とs成分の逆正接角  と位相差  を測定すれば  r が求めら れる。(測定には 1/4 波長板と回転検光子を用いる。) この方法を偏光解析またはエリプソメトリという。 反射は方位角  と位相差  =  p-  s によって記述できる。 反射光は一般には楕円偏光になっているが、そのp成分 とs成分の逆正接角  と位相差  を測定すれば  r が求めら れる。(測定には 1/4 波長板と回転検光子を用いる。) この方法を偏光解析またはエリプソメトリという。

16 P 偏光反射率と S 偏光反射率 第1の媒体が真空、第2の媒体の複素屈 折率が N の場合 第1の媒体が真空、第2の媒体の複素屈 折率が N の場合

17 入射角に依存する反射率 P偏光と S 偏光 では反射率の 入射角依存性 が異なる。 P偏光と S 偏光 では反射率の 入射角依存性 が異なる。

18 反射と偏光: Brewster 角 もし、 ψ0 + ψ2 = π/2 であ れば、 tan が発散するた め、 R p は 0 となる。 もし、 ψ0 + ψ2 = π/2 であ れば、 tan が発散するた め、 R p は 0 となる。 このとき、反射光は S 偏 光のみとなる。 このとき、反射光は S 偏 光のみとなる。 このときの入射角を Brewster angle という。 このときの入射角を Brewster angle という。

19 垂直入射の Fresnel 係数 垂直入射の場合、  0 = 0 、従って  1 = 0 。 このとき電界に対する Fresnel 係数 r として、 垂直入射の場合、  0 = 0 、従って  1 = 0 。 このとき電界に対する Fresnel 係数 r として、 (媒質 1 が 真空のとき) (媒質 1 が 真空のとき) を得る。これより、

20 垂直入射の光強度反射率と位相 R = r*r=|r| 2 は光強度の反射率、  は反射の 際の位相のずれ R = r*r=|r| 2 は光強度の反射率、  は反射の 際の位相のずれ

21 反射率と位相 Kramers-Kronig( クラマースクローニヒ)の関 係 Kramers-Kronig( クラマースクローニヒ)の関 係

22 Kramers-Kronig の関係 応答を表す物理量の実数部と虚数部の間 に成立 ( P は積分の主値を表す。) 応答を表す物理量の実数部と虚数部の間 に成立 ( P は積分の主値を表す。)

23 KK 変換の微分性 第2式を部分積分すると 第2式を部分積分すると 右辺の第1項は 0 であるから、結局第2項のみと なる。は x ~  付近で大きい値をとるので、  “ は  ‘ の微分形に近いスペクトル形状を示すことにな る。 右辺の第1項は 0 であるから、結局第2項のみと なる。は x ~  付近で大きい値をとるので、  “ は  ‘ の微分形に近いスペクトル形状を示すことにな る。  ' がピークを持つ  では  " は急激に変化し、  ' が急 激に変化する  付近で  " は極大(または極小)を 示す.  ' がピークを持つ  では  " は急激に変化し、  ' が急 激に変化する  付近で  " は極大(または極小)を 示す.

24 K-K 関係の数学的説明 線形応答関数 f (ω) が、図に示す ω の複素平面の上半面内で 正則、かつ上半平面で |ω| → ∞ において |f(ω)| → 0 、さら に実数 ω に対し f'(-ω)=f'(ω) 、 f"(-ω)=-f"(ω) であるような性 質を持っておればよい。このような条件が成り立つとき、 コーシーの積分公式によって 線形応答関数 f (ω) が、図に示す ω の複素平面の上半面内で 正則、かつ上半平面で |ω| → ∞ において |f(ω)| → 0 、さら に実数 ω に対し f'(-ω)=f'(ω) 、 f"(-ω)=-f"(ω) であるような性 質を持っておればよい。このような条件が成り立つとき、 コーシーの積分公式によって πif(ω)= ∮ dω'f(ω')/(ω'-ω) πif(ω)= ∮ dω'f(ω')/(ω'-ω) が成立する。 が成立する。

25 つづき f(ω)=f'(ω)+if"(ω) を代入し、両辺の実数部、 虚数部がそれぞれ等しいとおくことに よって導くことができる。 f(ω)=f'(ω)+if"(ω) を代入し、両辺の実数部、 虚数部がそれぞれ等しいとおくことに よって導くことができる。 ω の複素平面の上半面内で正則、かつ、上 半平面で |ω| → ∞ において |f(ω)| → 0 という 条件は、 t=0 において外場が加えられたと きの応答は t>0 におきるという因果律に対 応している。 ω の複素平面の上半面内で正則、かつ、上 半平面で |ω| → ∞ において |f(ω)| → 0 という 条件は、 t=0 において外場が加えられたと きの応答は t>0 におきるという因果律に対 応している。

26 Kerr 効果 磁気カー回転角  K と磁気カー楕円率  K を ひとまとめにした複素カー回転  K 磁気カー回転角  K と磁気カー楕円率  K を ひとまとめにした複素カー回転  K

27 複素カー回転 この式から,カー効果が誘電率の非対角 成分  xy に依存するばかりでなく,分母に 来る対角成分  x x にも依存することがわか る.この式の対角成分  x x を光学定数 n,  によって表すと, この式から,カー効果が誘電率の非対角 成分  xy に依存するばかりでなく,分母に 来る対角成分  x x にも依存することがわか る.この式の対角成分  x x を光学定数 n,  によって表すと,

28 Kerr 効果と誘電率

29 第8回の問題 反射の際に偏光選択性が生じることの理 由を考えよ。 反射の際に偏光選択性が生じることの理 由を考えよ。


Download ppt "大学院物理システム工学専攻 2004 年度 固体材料物性第 8 回 -光と磁気の現象論 (3) - 佐藤勝昭ナノ未来科学研究拠点."

Similar presentations


Ads by Google