関西学院大学オープンセミナー ２０１０年６月１２日.  決定論的現象 天体の運動のように未来が現在により決 まっている現象  偶然的現象 偶然的な要素が加わり、未来の予測が不可 能な現象 気象、地震、災害、事故、宝くじ 株価、寿命、 … … … … … … … ….

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1 関西学院大学オープンセミナー ２０１０年６月１２日

2  決定論的現象 天体の運動のように未来が現在により決 まっている現象  偶然的現象 偶然的な要素が加わり、未来の予測が不可 能な現象 気象、地震、災害、事故、宝くじ 株価、寿命、 … … … … … … … ….

3  天体の運動  多くの古代文明で天体の運動の規則性が 知られており、それにより暦が作られた。  1687 年：ニュートンは 「プリンキピア」 により力学の法則を提唱した。 微分・積分の発見、微分方程式  多くの自然現象は決定論的であり、物理・ 化学の理論として現在の自然科学の基礎に なっている。

4  賭け  保険・年金  観測誤差

5  平均値が重要な裏付け 大数の法則  揺らぎに潜む法則 中心極限定理

6 1654 年： パスカルとフェルマーの賭けに関する往復書簡 A,B がそれぞれ 100 円の元手を基に硬貨投げをし、 表が出れば A が 1 点、裏が出れば B が１点獲得す るゲームを繰り返し、最初に 10 点を取った方が 賭け金の 200 円を受け取るとする。 A が 5 点、 B が 3 点を取った段階でゲームを中止した場合、賭け 金 200 円のうち A はいくらもらえるか。 A が勝つ確率 = 0.73 ⇒ ￥ 200 ⅹ 0.73= ￥ 146

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8  損害保険：  ギリシャ時代に海上保険が始まる。  １４世紀にはイタリアを中心にした地中海 交易  1666 年のロンドンの大火より火災保険  生命保険・年金：  １７世紀にイギリスの牧師が葬式代を生前 にお金を出して工面しあった。若い牧師に 不満  ハレーが生命表を作成し、年齢による死亡 率をだし、保険料を合理的に計算する方法 を発案 ⇒ 生命保険の始まり１８世紀

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10  生命保険において年齢別の死亡率が保険料決 定に有効な背景 人口が大きなグループでは年齢により年間に 死亡する人数はほぼ一定であるという経験則 ＝ 大数の法則 ヤコブ・ベルヌーイ (1654-1705) 1714 年出版の「推測の技法」の中でこの大数 の法則を証明

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16  天体観測などで惑星の軌道を計算する場合の 測定には誤差が付きまとうので何が正確な値 かを知る必要がある。  ボーデの法則  1801 年に小惑星のセレス (n=4) が発見される が、太陽に隠されて見失う。正確な軌道を知 る必要が生じた。ガウスの登場

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20  ド・モアブル (1667-1754) 1733 年「偶然の教義」（第３版） 大数の法則での誤差について厳密な考察  ラプラス (1749-1827) 正規分布の発見、ド・モアブルの結果を完全 にする  ガウス (1777-1855) 観測誤差の理論、最小２乗法の提案 正規分布の別の視点からの導出＝ガウス分布

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22  1922 年： ブラウン運動の構成 ウィーナーはすべての点で微分不可能なブラ ウン運動を数学的に構成した。  1933 年 : 公理論的確率論の成立 1902 年のルベーグによる新しい積分論を基礎 にコルモゴロフにより近代的な確率論が確立 され、これにより確率論は数学の１部門にな る。  1942 年： 確率微分方程式の理論成立 伊藤清博士により偶然現象におけるニュート ンの理論が構築された。ブラウン運動に基礎

23  2006 年 伊藤清博士第１回ガウス賞授賞  2006 年 ４人のフィールズ賞受賞者のうち ３人の研究が確率論に関係  2007 年 バラダン教授第６回アーベル賞受賞 1. 大数の法則、 2. 中心極限定理 3. 大偏差原理 ： 平均からの大きなずれ 保険の研究に起源