有効座席(出席と認められる座席) 左 列 中列 右列 前で3章宿題、アンケートを提出し、 3章小テスト問題、4章講義レポート課題を受け取り、

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1 有効座席(出席と認められる座席) 左 列 中列 右列 前で3章宿題、アンケートを提出し、 3章小テスト問題、4章講義レポート課題を受け取り、
直ちに小テストを書き始めてください。

2 第4章 静力学 講義 操 作 法 目 次 ページ てこの原理 トルク(力のモーメント) 質点、質点系、剛体 釣合 重心 例題1
第4章　静力学　講義　 操　作　法 目 次 　 　 ページ てこの原理 トルク(力のモーメント) 質点、質点系、剛体 釣合 重心 例題1 「第4章　静力学」要点 例題2 例題3 進むには 又は、マウス左クリック Enter キー 戻るには Back space 又は を押す ページに跳ぶには をクリック 各ページからここに戻るには 各ページ右下　　　をクリック　　　　　　 目 各章のファイルは フォルダから開いてください。 スライド 終了には マウス右メニューで終了を選ぶ Esc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 = てこの原理 F シーソーの支点から1.0mのところに30kgwの子どもが乗っている。50kgwの母親はどこに乗ったら釣合うか。 1.0m
? x 30kgw × 1.0m 50kgw × x F 支点から x の位置に乗るとする 30kgw × 1.0m 　 =　 50kgw × x 　　　 ∴ x = 0.60m = 力×距離が釣合う てこの原理 30kgw×1.0m = 50kgw トルク(=力のモーメント) =回転を引起す能率 支点にかかる力 F はいくらか 作用反作用の法則 支点にかかる力 F = シーソーが支点から受ける力 力の釣合より F = 30kgw + 50kgw ∴F = 80kgw 目 1

4 シーソー F 1.0m x 任意の物体でも 同じことが言える 30kgw 50kgw 支点から x の位置に乗るとする
30kgw × 1.0m 　 =　 50kgw × x 　　　 ∴ x = 0.60m 力×距離が釣合う てこの原理 トルク(=力のモーメント) =回転を引起す能率 支点にかかる力 F はいくらか 作用反作用の法則 支点にかかる力 F = シーソーが支点から受ける力 力の釣合より F = 30kgw + 50kgw ∴F = 80kgw 目 1

5 トルク(力のモーメント) 回転を引起す能率 トルク = 力×距離 力F F 力×距離が釣合う てこの原理 トルク(=力のモーメント)
=回転を引起す能率 物体としてスパナの例で考える トルクをもう少し詳しく定義しよう 目 2

6 トルク(力のモーメント) 回転を引起す能率 トルク Γ= rF⊥ = rF sinq = r⊥ F = 力×距離 = r sin q r⊥
作用線と 支点の距離 トルク Γ= rF⊥ = rF sinq = r⊥ F = 力×距離 作用線 = r sin q r⊥ 動径ベクトル 作用点 r q r 支点 q q F 力 F F Γ = r F⊥ = r F sinq 力 F Γ = r⊥ F q F⊥ = F sin q 力の動径垂直成分 回転に効くのは垂直成分だけ 面積変わらない トルクベクトルG 大きさ Γ, 方向 r, Fに垂直(回転軸の方向) G r, F, Gの順 で右手系 r 目 F 2

7 質点、質点系、剛体 物体 質点： 質量を持った点 質点系： 質点の集まり 広がりのある物体は 質点系とみなせる 剛体： 変形しない物体
内力 質点： 質量を持った点 質点系： 質点の集まり 外力 広がりのある物体は 質点系とみなせる 切る前 動かない 釣合 切ると 左部分に働く力は 重力 と 右部分が支える力 剛体： 変形しない物体 によって 落下 内力と外力： 右部分に働く力 ? 釣合 内力： 質点系の部分同士が 及ぼしあう力 手が 支える力 左部分 からの力 重力 外力： 質点系の外から働く力 大根全体に働く力 釣合 内力は必ず作用反作用の対 になる 目 ∴ 内力の総和=0 内力 3

8 内力とその反作用は同一直線上にあるものとする 内力によるトルクの総和=0 ∴ 外力によるトルクの総和=0
釣合 物体のどの部分も静止 ∴力の総和=0 , トルクの総和=0 作用反作用の法則により 内力の総和=0 ∴ 外力の総和=0 内力とその反作用は同一直線上にあるものとする 作用 反作用 内力によるトルクの総和=0 トルク トルク 内力トルクは 打消しあう ∴ 外力によるトルクの総和=0 支点 釣合の (必要)条件 外力の総和 = 0 物体が剛体なら 必要十分条件 外力によるトルクの総和 = 0 内力と外力： 内力： 質点系の部分同士が 及ぼしあう力 外力： 質点系の外から働く力 大根全体に働く力 釣合 内力は必ず作用反作用の対 になる 目 ∴ 内力の総和=0 内力 4

9 内力とその反作用は同一直線上にあるものとする 内力によるトルクの総和=0 ∴ 外力によるトルクの総和=0
釣合 物体のどの部分も静止 ∴力の総和=0 , トルクの総和=0 作用反作用の法則により 内力の総和=0 ∴ 外力の総和=0 内力とその反作用は同一直線上にあるものとする 作用 反作用 内力によるトルクの総和=0 トルク トルク 内力トルクは 打消しあう ∴ 外力によるトルクの総和=0 支点 釣合の (必要)条件 外力の総和 = 0 物体が剛体なら 必要十分条件 外力によるトルクの総和 = 0 釣合の条件の適用 ①　　　　　図示 全外力 (接触、重力) 成分毎に ②斜めの力は成分に分解し F 力の釣合 の条件適用 F = Rx W = Ry W b b F R 支点に働く力のトルクは0 a W Ry ③支点を選び 支点は力の作用点が有利 a Rx トルクの釣合 の条件適用 a W - b F = 0 水平成分 鉛直成分 全外力を再表示 Wによるトルク Fによるトルク 目 ④ ②③を連立して解く Wと逆方向回転ゆえ- 4

10 釣合の (必要)条件 物体が剛体なら 必要十分条件 外力の総和 = 0 外力によるトルクの総和 = 0 釣合の (必要)条件 物体が剛体なら 必要十分条件 外力の総和 = 0 外力によるトルクの総和 = 0

11 / S S S S S 重心 一様重力場中で、支点にして支えると釣合う点 重心 座標をX, 質点i の 座標を xi, 質量をmi とする。
釣合の条件より S mi g (xi -X ) = 0 (xi -X) mi S mi ( xi = - S mi X ) = 0 mi g トルク / x S S 重心の座標 X = mi xi mi xi X 釣合の (必要)条件 外力の総和 = 0 物体が剛体なら 必要十分条件 目 外力によるトルクの総和 = 0 5

12 / / S S S S S S 重心 一様重力場中で、支点にして支えると釣合う点 重心 座標をX, 質点i の
座標を xi, 質量をmi　とする。 釣合の条件より S mi g (xi -X ) = 0 (xi -X) mi S mi xi = S mi X mi g トルク S / x S 重心の座標 X = mi xi mi xi X m1 x1 + m2 x2 m2 ：m1 2質点の場合 X = m1 m2 m1 + m2 x x1 X x2 重心は2質点間をm2 ：m1に内分する。 どの方向の一様重力でも釣合う。 y,z成分も同じ形の式。 X=(X, Y, Z ), xi=(xi, yi, zi) とすると z m3 m1 m2 重心の座標 = mi S / X X xi xi ① x1 x2 x3 X 系の各部分の重心座標xi , 質量mi とすると y x 目 ①と同じ公式が成り立つ。 5

13 重心の座標 = mi S / X xi 重心の座標 = mi S / X xi

14 / S 例題１ 肩関節 上腕重心 前腕重心 上腕部と前腕部 の質量と重心の 肩関節からの距 離が右図のよう に与えられるとき 腕全体の重心の
例題１　 肩関節 上腕重心 前腕重心 上腕部と前腕部 の質量と重心の 肩関節からの距 離が右図のよう に与えられるとき 腕全体の重心の 肩関節からの 距離X を求めよ。 上腕質量 前腕質量 腕全体の重心 (公式) 解 (数値代入) (計算) 重心の座標 = mi S / X xi 目 6

15 / S S 「第4章 静力学」要点 r⊥ q r F⊥ F トルク(力のモーメント) Γ Γ rF⊥ = rF sinθ = Fr⊥ =
「第4章　静力学」要点 r⊥ 作用点 作用線 q r F⊥ F トルク(力のモーメント) Γ　 Γ rF⊥ = rF sinθ = Fr⊥ = 質点、質点系、剛体 内力、外力 内力 外力 1. 外力の総和 = 2. 外力のトルクの総和 = 釣合 の条件 釣合の条件の適用 ①全外力 図示 (接触、重力) 成分 外力 の釣合の条件を適用 成分毎 ②斜めの力は　　　に分解 ③　　　を選び 支点 トルク の釣合の条件を適用 ④連立して解く 支点に働く力のトルクは0 支点は力の作用点が有利 X x1 x2 x3 m1 m2 m3 X = S / 重心の座標 mi S xi 目 xi ：各質点又は部分の重心座標, mi ：質量 7

16 間隔 d =1.2mの支柱1と支柱2にかけられた物干し竿に、 支柱1から a =40cmの位置に重さ U =0.90kgwの洗濯物,
例題2 竿に働く力なので この向きである。 間違わないように。 支柱に働く力の 反作用。 竿に働く力なので この向きである。 間違わないように。 支柱に働く力の 反作用。 間隔 d =1.2mの支柱1と支柱2にかけられた物干し竿に、 支柱1から a =40cmの位置に重さ U =0.90kgwの洗濯物, 支柱1から b =80cmの位置に重さ V =0.60kgwの洗濯物が かけてある。物干し竿は一様で重さはW =2.0kgwとする。 支柱1にかかる力 X と支柱2にかかる力Y を求めよ。 解 物干し竿に働くすべての 力を右図中に図示する。 X Y U W V a =40cm U =0.90kgw 重心 接触 b =80cm V =0.60kgw ? a 支柱1 2 X ? Y 重力 d/2 重心 d /2 =1.2m /2 W =2.0kgw b d 支柱1 支柱2 目 8 ①全外力 ②斜めの力は　　　に分解 ③　　　を選び (接触、重力) の釣合の条件を適用 釣合の条件の適用 ④連立して解く 成分毎 支点は力の作用点が有利 支点に働く力のトルクは0 成分 図示 外力 トルク 支点 ①全外力 (接触、重力) 図示

17 U =0.90kgw, V =0.60kgw, W =2.0kgw, a =40cm, b =80cm, d =1.2m U V W Y a
X U V W X Y a b d/2 d a =40cm U =0.90kgw b =80cm V =0.60kgw 支柱1 2 X ? Y ? d =1.2m W =2.0kgw 目 9

18 U =0.90kgw, V =0.60kgw, W =2.0kgw, a =40cm, b =80cm, d =1.2m
支柱1との接点を支点とする。 U によるトルクは aU 右回り X d Y Y 支点 U W V W によるトルクは (d/2)W 右回り b V a U ( d/2 ) W V によるトルクは bV 右回り a b d/2 d = a Y によるトルクは dY 左回り d/2 トルクの釣合より b トルク (力の モーメント) r⊥ q r F⊥ F Γ rF⊥ rF sinθ r⊥F = d dY = aU + bV + (d/2)W トルクの釣合 ∴Y = = = 1.7kgw 答 ③　　　を選び の釣合の条件を適用 支点は力の作用点が有利 支点に働く力のトルクは0 トルク 支点 目 9 ①全外力 ②斜めの力は　　　に分解 ③　　　を選び (接触、重力) の釣合の条件を適用 釣合の条件の適用 ④連立して解く 成分毎 支点は力の作用点が有利 支点に働く力のトルクは0 成分 図示 外力 トルク 支点 ③　　　を選び の釣合の条件を適用 支点は力の作用点が有利 支点に働く力のトルクは0 トルク 支点

19 (d/2)W 支柱1との接点を支点とする。 U によるトルクは W によるトルクは V によるトルクは Y によるトルクは aU
トルクの釣合より U =0.90kgw, V =0.60kgw, W =2.0kgw, a =40cm, b =80cm, d =1.2m U V W Y a b d/2 d X 右回り dY = + bV ∴Y = 1.7kgw 答 = dY 左回り 外力の鉛直成分の釣合より X + Y = U + V + W ∴ X = U +V +W - Y = = 1.8kgw 答 目 9 ①全外力 ②斜めの力は　　　に分解 ③　　　を選び (接触、重力) の釣合の条件を適用 釣合の条件の適用 ④連立して解く 成分毎 支点は力の作用点が有利 支点に働く力のトルクは0 成分 図示 外力 トルク 支点 ②斜めの力は　　　に分解 の釣合の条件を適用 成分毎 成分 外力

20 棒の下から紐をつけた点までの長さをs とする。 s = 90cm Rと床の角をf とする。 求めるものは T R f
例題3 問題の条件、未知数を整理する 張力は紐の 方向に働く 図のように、長さ100cm、重さ6.0kgwの一様な棒の下から90cmの点に紐をつけて、水平に引っ張って支えたところ、紐の高さは72cmであった。 紐の張力はいくらか。また、床から の抗力の大きさと方向を求めよ。 T l s R h f W 接触 解 棒に働く全ての力を図中に図示する。 押す力は棒 の方向とは 限らない 棒は　　　　　　に接する。 紐と床 紐の張力をTとする。 床からの抗力をRとする。 重力 をWとする。 W = 6.0kgw 作用点は重心。 鉛直下方へ。 棒の長さをl とする。 l = 100cm 紐の高さをh とする。 h = 72cm 棒の下から紐をつけた点までの長さをs とする。 s = 90cm 目 Rと床の角をf とする。 求めるものは T R f 10 ①全外力 ②斜めの力は　　　に分解 ③　　　を選び (接触、重力) の釣合の条件を適用 釣合の条件の適用 ④連立して解く 成分毎 支点は力の作用点が有利 支点に働く力のトルクは0 成分 図示 外力 トルク 支点 ①全外力 (接触、重力) 図示

21 棒の下から紐をつけた点までの長さをs とする。 s = 90cm Rと床の角をf とする。 求めるものは T R f
W =6.0kgw l =100cm h =72cm s =90cm T ? R ? f ? T l s R h f W 解 棒に働く全ての力を図中に図示する。 棒は　　　　　　に接する。 紐と床 紐の張力をTとする。 床からの抗力をRとする。 重力 をWとする。 W = 6.0kgw 作用点は重心。 鉛直下方へ。 棒の長さをl とする。 l = 100cm 紐の高さをh とする。 h = 72cm 72cm 棒の下から紐をつけた点までの長さをs とする。 s = 90cm 目 Rと床の角をf とする。 求めるものは T R f

22 W =6.0kgw l =100cm h =72cm s =90cm T ? R ? f ? 棒下端の床との接点を支点として
トルクの釣合を考える。 T T によるトルク 左 回り hT l = s h T W によるトルク 右 回り aW R h 但しaはW と支点の距離 a W W トルクの釣合 hT = aW 支点 a トルク (力の モーメント) r⊥ q r F⊥ F Γ rF⊥ rF sinθ r⊥F = ③　　　を選び の釣合の条件を適用 支点は力の作用点が有利 支点に働く力のトルクは0 トルク 支点 目 11 ①全外力 ②斜めの力は　　　に分解 ③　　　を選び (接触、重力) の釣合の条件を適用 釣合の条件の適用 ④連立して解く 成分毎 支点は力の作用点が有利 支点に働く力のトルクは0 成分 図示 外力 トルク 支点 ③　　　を選び の釣合の条件を適用 支点は力の作用点が有利 支点に働く力のトルクは0 トルク 支点

23 s c W =6.0kgw l =100cm h =72cm s =90cm T ? R ? f ? 棒下端の床との接点を支点として
トルクの釣合を考える。 T = sin T によるトルク 左 回り hT 100cm l 90cm = 72cm s = W によるトルク 右 回り aW 50cm R = h = c l /2 72cm 但しaはW と支点の距離 6.0kgw q cos W = トルクの釣合 hT = aW 支点 a = 30cm 棒と床の角をqとする。 sin q = h / s = 72cm / 90cm = 0.80 ∴ cosq = 0.60 ∴ a = (l /2) cos q = 50cm × 0.60 = 30cm ∴ T = aW / h = 30cm × 6.0kgw / 72cm = 2.5kgw 答 目 aを求める Tを求める 11

24 抗力Rを垂直抗力N と摩擦力f に分解する。 力の釣合 水平成分 f = T 鉛直成分 N = W ∴ f = 2.5kgw N =
W =6.0kgw l =100cm h =72cm s =90cm T ? R ? f ? 棒下端の床との接点を支点として 2.5kgw = トルクの釣合を考える。 T T によるトルク 左 回り hT W によるトルク 右 回り aW 6.0kgw R = N 垂直抗力 但しaはW と支点の距離 6.0kgw f W = トルクの釣合 hT = aW f 摩擦力 = 2.5kgw 棒と床の角をqとする。 sin q = h / s = 72cm / 90cm = 0.80 ∴ cosq = 0.60 ∴ a = (l /2) cos q = 50cm × 0.60 = 30cm ∴ T = aW / h = 30cm × 6.0kgw / 72cm = 2.5kgw 答 抗力Rを垂直抗力N と摩擦力f に分解する。 力の釣合 水平成分 f = T 鉛直成分 N = W ∴ f = 2.5kgw N = 6.0kgw ∴ = 6.5kgw 答 目 Rの方向を求める。 tanf = N / f = 6.0kgw / 2.5kgw = 2.4 答 11 ①全外力 ②斜めの力は　　　に分解 ③　　　を選び (接触、重力) の釣合の条件を適用 釣合の条件の適用 ④連立して解く 成分毎 支点は力の作用点が有利 支点に働く力のトルクは0 成分 図示 外力 トルク 支点 ②斜めの力は　　　に分解 の釣合の条件を適用 成分毎 成分 外力

25 第4章 静力学 講義 終り 前で4章講義レポートを提出し、 4章クイズ1 4章演習レポート課題 4章宿題課題 返却物 を受け取ってください。
第4章　静力学　講義　終り　　 前で4章講義レポートを提出し、 　4章クイズ1 　4章演習レポート課題 　4章宿題課題 　返却物 を受け取ってください。 目