主成分分析 主成分分析は 多くの変数の中を軸を取り直すことで より低い次元で表現できるようにする。 データがばらついている方向ほど

Presentation on theme: "主成分分析 主成分分析は 多くの変数の中を軸を取り直すことで より低い次元で表現できるようにする。 データがばらついている方向ほど"— Presentation transcript:

1 主成分分析 主成分分析は 多くの変数の中を軸を取り直すことで より低い次元で表現できるようにする。 データがばらついている方向ほど
　　　より低い次元で表現できるようにする。 データがばらついている方向ほど 　　　　　　　多くの情報を含んでいると考える。 　 　相関係数（分散と共分散）を元に計算する。

2 [テーマ]　講義の構成 主成分分析のイメージ 主成分の導出 Rでの計算 まとめ

3 主成分分析のイメージ

4 主成分分析とは

5 主成分分析とは

6 主成分分析とは

7 主成分分析とは

8 主成分分析とは

9 主成分の導出

10 主成分分析の導出 中心化 標準化

11 主成分分析の導出 中心化（または、標準化）

12 主成分分析の導出 中心化（または、標準化）

13 主成分分析の導出

14 主成分分析の導出（１）

15 主成分分析の導出（１）

16 主成分分析の導出（１）

17 主成分分析の導出（１）

18 主成分分析の導出(２）

19 主成分分析の導出(２）

20 主成分分析の導出(２）

21 主成分分析の導出(２） + N （または　N ）で割る 中心化した場合

22 主成分分析の導出(２） + N （または　N ）で割る 標準化した場合

23 ラグランジュの未定乗数法 中心化されたデータの場合 という条件のもとで が最大となるような を求める ，

24 ラグランジュの未定乗数法 中心化されたデータの場合 という条件のもとで が最大となるような を求める ， ラグランジュの未定乗数法

25 ラグランジュの未定乗数法 中心化されたデータの場合 で偏微分 という条件のもとで が最大となるような を求める ， ラグランジュの未定乗数法

26 ラグランジュの未定乗数法 中心化されたデータの場合 という条件のもとで これをまとめると が最大となるような を求める ，
で偏微分 という条件のもとで これをまとめると が最大となるような を求める ， ラグランジュの未定乗数法

27 ラグランジュの未定乗数法 中心化されたデータの場合 という条件のもとで これをまとめると が最大となるような を求める ，
で偏微分 という条件のもとで これをまとめると が最大となるような を求める ， ラグランジュの未定乗数法 分散共分散行列の 固有値，固有ベクトルを求める

28 ラグランジュの未定乗数法 中心化されたデータの場合 という条件のもとで これをまとめると が最大となるような を求める ，
で偏微分 という条件のもとで これをまとめると が最大となるような を求める ， ラグランジュの未定乗数法 分散共分散行列の 固有値，固有ベクトルを求める

29 ラグランジュの未定乗数法 標準化されたデータの場合 という条件のもとで これをまとめると が最大となるような を求める ，
で偏微分 という条件のもとで これをまとめると が最大となるような を求める ， ラグランジュの未定乗数法 相関行列の 固有値，固有ベクトルを求める

30 固有値と寄与率 中心化後のデータの場合 標準化後のデータの場合

31 固有値と寄与率 中心化後のデータの場合 ・値の大きい固有値 から順に考える。 ・値の大きい固有値に 対応した軸（主成分） を順に
　対応した軸（主成分）　　　 　を順に 　　第1主成分、第2主成分 　という。　　 ・固有ベクトルが 　　互いに直交する。 標準化後のデータの場合

32 主成分分析の導出(寄与率，累積寄与率） 一般（r 次元) 中心化後のデータの場合 寄与率 累積寄与率 ，
　中心化後のデータの場合 寄与率 累積寄与率 ， 分散共分散行列の固有値・固有ベクトル

33 主成分分析の導出(寄与率，累積寄与率） 一般（r 次元) 　標準化後のデータの場合 寄与率 累積寄与率 ， 相関行列の固有値・固有ベクトル

34 主成分分析のまとめ 一般（r 次元) 　　中心化後のデータの場合 累積寄与率 m 個の固有値・固有ベクトルを計算し ， を求める。

35 主成分分析のまとめ 一般（r 次元) 　　標準化後のデータの場合 累積寄与率 m 個の固有値・固有ベクトルを計算し ， を求める。

36 Rでのシミュレーション

37 Rによる主成分分析の計算 > w1 <- read.table (“w0.dat”,header=TRUE, row.names=1) > w2 <- prcomp(w1,center=TRUE, scale=TRUE) > summary(w2) >plot(w2$x,type=“n”) >text(w2$x,rownames(w2$x))

38 データについて 標準化後 体格データ

39 Rによる主成分分析の計算 > w1 <- read.table(“w0.dat”,header=TRUE, row.names=1) > w2 <- prcomp(w1,center=TRUE, scale=TRUE) > summary(w2) >plot(w2$x,type=“n”) >text(w2$x,rownames(w2$x))

40 Rによる主成分分析の計算 > w1 <- read.table(“w0.dat”,header=TRUE, row.names=1) > w2 <- prcomp(w1,center=TRUE, scale=TRUE) > summary(w2) >plot(w2$x,type=“n”) >text(w2$x,rownames(w2$x))

41 まとめ

42 まとめ 主成分分析のイメージ データのばらつき，主成分 主成分の導出 中心化，標準化 分散， 共分散，相関係数 固有値，固有ベクトル，寄与率

43 補足1 r次元(中心化後）の場合 r個 r(r - 1)個