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スポーツスケジューリング問題 1993年Jリーグの再スケジューリング ver. 6.0

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1 スポーツスケジューリング問題 1993年Jリーグの再スケジューリング ver. 6.0
東京大学 宮代隆平 東京大学 松井知己 卒論に! 1993とは?

2 1993年:Jリーグ開幕(前半戦) 10チーム2重総当たりリーグ戦 K:鹿島アントラーズ(予想5位) V:ヴェルディ川崎(予想2位)
1993年Jリーグ 1993年:Jリーグ開幕(前半戦) 10チーム2重総当たりリーグ戦 K:鹿島アントラーズ(予想5位) V:ヴェルディ川崎(予想2位) M:横浜マリノス(予想1位) E:清水エスパルス(予想3位) J:ジェフユナイテッド市原 S:サンフレッチェ広島 F:横浜フリューゲルス G:ガンバ大阪 N:名古屋グランパスエイト(予想4位) R:浦和レッドダイヤモンズ 2重総当り戦とは?

3 A:C D B D B C B:D C A C A D C:A B D B D A D:B A C A C B 1 2 3 4 5 6
2重総当りリーグ戦 チーム数n(nは偶数) 各チーム対は,双方のホームグラウンドで1回ずつ(計2回)戦う. 各試合日に (n /2) 試合を平行して行う. 2(n -1)試合日ですべての試合が終了する. 4チームのスケジュール A:C D B D B C B:D C A C A D C:A B D B D A D:B A C A C B BとDは第1試合日を Bの本拠地で戦う.

4 K: N F E V G J M R S F N V G J M R S E
1993年のJリーグ前半戦のスケジュール 2重総当りリーグ戦 K: N F E V G J M R S F N V G J M R S E V: M J S K R E F N G J M K R E F N G S M: V G N S J R K E F G V S J R K E F N E: F S K G N V J M R S F G N V J M R K J: S V G R M K E F N V S R M K E F N G S: J E V M F N R G K E J M F N R G K V F: E K R N S G V J M K E N S G V J M R G: R M J E K F N S V M R E K F N S V J N: K R M F E S G V J R K F E S G V J M R: G N F J V M S K E N G J V M S K E F 読み方

5 K: N F E V G J M R S F N V G J M R S E
スケジュールの見方 計10チーム 各日に5試合行い,18試合日で2重総当りリーグ戦を行う. 各チーム対は,双方のホームグラウンドで1回ずつ戦う. RとGは第1試合日をRの本拠地で戦う.奇数試合日は週末. K: N F E V G J M R S F N V G J M R S E V: M J S K R E F N G J M K R E F N G S M: V G N S J R K E F G V S J R K E F N E: F S K G N V J M R S F G N V J M R K J: S V G R M K E F N V S R M K E F N G S: J E V M F N R G K E J M F N R G K V F: E K R N S G V J M K E N S G V J M R G: R M J E K F N S V M R E K F N S V J N: K R M F E S G V J R K F E S G V J M R: G N F J V M S K E N G J V M S K E F ミラーリング

6 1 2 3 4 5 6 A:C D B D B C B:D C A C A D C:A B D B D A D:B A C A C B
ミラーリング A:C D B D B C B:D C A C A D C:A B D B D A D:B A C A C B 前半n -1試合を作れば,後半n -1試合は, 前半のスケジュールの試合場を交代した ものを付ければ良い.

7 K: N F E V G J M R S F N V G J M R S E
1993年前半戦スケジュールのミラーリング K: N F E V G J M R S F N V G J M R S E V: M J S K R E F N G J M K R E F N G S M: V G N S J R K E F G V S J R K E F N E: F S K G N V J M R S F G N V J M R K J: S V G R M K E F N V S R M K E F N G S: J E V M F N R G K E J M F N R G K V F: E K R N S G V J M K E N S G V J M R G: R M J E K F N S V M R E K F N S V J N: K R M F E S G V J R K F E S G V J M R: G N F J V M S K E N G J V M S K E F 問題点

8 各試合日には,全てのチームが1試合を戦う. 各試合日の試合は,グラフ上の完全マッチング.
総当りリーグ戦とグラフ 各チームを頂点とする完全グラフ. 各枝は試合に対応する. 各試合日には,全てのチームが1試合を戦う. 各試合日の試合は,グラフ上の完全マッチング. E D C B A F F A E B D C

9 B C D E F A:B C D E F A D F C E B:A D F C E F A E B D C:F A E B D
総当り戦とマッチング E D C B A F E D C B A F E D C B A F E D C B A F E D C B A F E D C B A F ミラーリング 678910 B C D E F A D F C E F A E B D E B A F C D F C A B C E B D A 12345 A:B C D E F B:A D F C E C:F A E B D D:E B A F C E:D F C A B F:C E B D A

10 A:B D C B:A F E C:F E A 後2日では終わらない D:E A F E:D C B F:C B D E D C B A F
うまく行かない例 E D C B A F E D C B A F 残った試合は E D C B A F 12345 A:B D C B:A F E C:F E A 後2日では終わらない D:E A F E:D C B F:C B D

11 12345 A:F C E B D B:E F D A C C:D A F E B D:C E B F A E:B D A C F
円盤の回転 以下のような円盤を回して,試合を決める. A B C D E F 12345 A:F C E B D B:E F D A C C:D A F E B D:C E B F A E:B D A C F F:A B C D E 12チームの場合 このまま回転を続ける‥‥. 実際のスケジュールは?

12 12345 12345 A:F C E B D A:F C E B D B:E F D A C B:E F D A C
総当りリーグ戦の作り方 ホームゲーム・アウェイゲームを決める. A B C D E F 12345 A:F C E B D B:E F D A C C:D A F E B D:C E B F A E:B D A C F F:A B C D E アウェイ ゲームチーム ホーム 12345 A:F C E B D B:E F D A C C:D A F E B D:C E B F A E:B D A C F F:A B C D E ブレイク:ホームやアウェイの連続 左図はブレイク総数最小スケジュール ブレイク総数=( チーム数 )‐2 実際のスケジュールは?

13 2重総当りリーグ戦の簡単な作り方(円盤+ミラーリング)
6チーム(A,B,...,F)の例(試合数は 10) アウェイ ゲームチーム ホーム ゲームチーム ミラーリング A B C D E F 実際のスケジュールは?

14 2重総当りリーグ戦の簡単な作り方(対戦表)
(ミラーリング) 12345678910 A:F C E B D F C E B D B:E F D A C E F D A C C:D A F E B D A F E B D:C E B F A C E B F A E:B D A C F B D A C F F:A B C D E A B C D E 白(ホームゲーム)や 黄(アウェイゲーム) が連続しないのが好ましい.

15 1993年のJリーグ前半戦のスケジュールの問題点
3連続アウェイゲームがある. 週末のみ見たとき3連続アウェイゲームがある. MとFのグラウンドは同じ場所(三ツ沢球技場). K: N F E V G J M R S F N V G J M R S E V: M J S K R E F N G J M K R E F N G S M: V G N S J R K E F G V S J R K E F N E: F S K G N V J M R S F G N V J M R K J: S V G R M K E F N V S R M K E F N G S: J E V M F N R G K E J M F N R G K V F: E K R N S G V J M K E N S G V J M R G: R M J E K F N S V M R E K F N S V J N: K R M F E S G V J R K F E S G V J M R: G N F J V M S K E N G J V M S K E F K:鹿島アントラーズ J:ジェフユナイテッド市原 M:横浜マリノス F:横浜フリューゲルス(熊本) 望ましい

16 週末のみの3連続アウェイゲームが無い(4). 週日のみの3連続ホームゲームが無い(5). 週日のみの3連続アウェイゲームが無い(5).
( )内数字は,破っている回数. 望ましいスケジュール 3連続ホームゲームが無い(2). 3連続アウェイゲームが無い(1). 週末のみの3連続ホームゲームが無い(4). 週末のみの3連続アウェイゲームが無い(4). 週日のみの3連続ホームゲームが無い(5). 週日のみの3連続アウェイゲームが無い(5). 優勝候補との連戦(MV,ME,MN,MK)が無い(8). 本拠地が同一のチームが同時にホームゲームを戦わない(1). 1,2試合と17,18試合にh(a)が連続しない(4). 参考文献

17 G.L.Nemhauser and M.A.Trick,
既存の研究 G.L.Nemhauser and M.A.Trick, ''Scheduling a Major College Basketball Conference,'' Operations Research, 46 (1998), 1‐8. 参考: 松井知己, 「スポーツのスケジューリング」, オペレーションズリサーチ,44 (1999), 141-146. 宮代隆平, 松井知己, 「1993年Jリーグの再スケジューリング」, オペレーションズ・リサーチ, 45 (2000), 81-83. 用語定義

18 haテーブル 1 2 3 4 5 6 1:a a h h a h 2:h h a a h a 3:a h a a h h
用語の定義 haテーブル 1:a a h h a h 2:h h a a h a 3:a h a a h h 4:h a h h a a h:ホームゲーム a:アウェイゲーム スケジュール B:D C A C A D A:C D B D B C C:A B D B D A D:B A C A C B 実際の チーム名が 入っている タイムテーブル 1: 2: 3: 4: ただの番号が 入っている. 性質:haパターンが 同じ行は存在しない. NT解法

19 Nemhauser and Trick の解法(9チーム)
haテーブル 1:a a h h a h 2:h h a a h a 3:a h a a h h 4:h a h h a a スケジュール B:D C A C A D A:C D B D B C C:A B D B D A D:B A C A C B 3個の 特定チーム との連戦禁止等. タイムテーブル 1: 2: 3: 4: 826個の 2重総当たり リーグ戦が存在. 全列挙 整数計画法 整数計画法 9! 17個の haテーブル haの3連続禁止等. タイムテーブルからスケジュールを 直接生成すると9!×826≒3億通り. 再スケジュール

20 第1試合と,最終試合は, 過去のスケジュールと一致させる. ミラーリングの場所は,
1993年Jリーグの再スケジューリング 第1試合と,最終試合は, 過去のスケジュールと一致させる. ミラーリングの場所は, K: N F E V G J M R S F N V G J M R S E V: M J S K R E F N G J M K R E F N G S M: V G N S J R K E F G V S J R K E F N E: F S K G N V J M R S F G N V J M R K J: S V G R M K E F N V S R M K E F N G S: J E V M F N R G K E J M F N R G K V F: E K R N S G V J M K E N S G V J M R G: R M J E K F N S V M R E K F N S V J N: K R M F E S G V J R K F E S G V J M R: G N F J V M S K E N G J V M S K E F haテーブル生成

21 前半(9試合目まで)に4つまたは5つの h を含む. 週末の3連続 h と週末の3連続 a を禁止.
haパターンの生成 ミラーリングの後以下を満たすような, h と a からなる長さ 9 の列 (haテーブルの各行の前半分になるもの)を生成する. 3連続 h と3連続 a を禁止. 週末に4つまたは5つの h を持つ. 前半(9試合目まで)に4つまたは5つの h を含む. 週末の3連続 h と週末の3連続 a を禁止. 週日の3連続 h と週日の3連続 a を禁止. 24通りしか存在しない. その24通り

22 aahhaahha aahhahhaa ahaahaahh ahaahahha ahaahhaah ahaahhaha
24通りのha列 aahhaahha aahhahhaa ahaahaahh ahaahahha ahaahhaah ahaahhaha ahaahhahh ahahhaaha ahahhaahh ahahhahha ahhahaaha ahhahhaah haahaahha haahahhah hahaahaah hahaahhaa hahaahhah hahhaahaa hahhaahah hahhaahha hahhahaah hahhahhaa hhaahaahh hhaahhaah hahhahhaa haahaahha ここからテーブル生成

23 優勝候補との連戦(MV,ME,MN,MK)が無い. 本拠地が同一のチームが同時にホームゲームを戦わない.
望ましいHAT 3連続ホームゲームが無い. 3連続アウェイゲームが無い. 週末のみの3連続ホームゲームが無い. 週末のみの3連続アウェイゲームが無い. 週日のみの3連続ホームゲームが無い. 週日のみの3連続アウェイゲームが無い. 優勝候補との連戦(MV,ME,MN,MK)が無い. 本拠地が同一のチームが同時にホームゲームを戦わない. 1,2試合と17,18試合にh(a)が連続しない. 参考文献

24 haテーブルは,haパターンが同一の行は無い. 24通りのha列から10チーム分(10本)を選ぶ. 性質2: 各試合日には,
haテーブルの生成 (列挙部分) 性質1:実際のスケジュールに対応する haテーブルは,haパターンが同一の行は無い. 24通りのha列から10チーム分(10本)を選ぶ. 性質2: 各試合日には, hとaが5つづつ存在しなければならない 24C10≒200万通りすべてを生成し, 性質2を満たすもの1,382個を残した. (200MHz CPU Windows PC で5分) Nemhauser and Trick:38通りのha列から9本を選ぶ. 整数計画法の許容解を列挙した. (Sun SPARC-20 CPLEX で1分) さらに絞る

25 整数計画法の詳細は後述 性質2を満たすもの1,382個を残した. 1,382個のhaテーブルそれぞれが,
haテーブルの生成 (0-1整数計画部分) 24C10=1,961,256通りすべてを生成し, 性質2を満たすもの1,382個を残した. 1,382個のhaテーブルそれぞれが, タイムテーブルを(1つ以上)生成可能かチェックする. (1つのhaテーブルから, 複数のタイムテーブルが生成されることが良くある) 208個のhaテーブルが,残った. チェックは整数計画法(0-1変数225個,制約135本.) (200MHz Windows PC+lp solveで1,382問,計30分) 整数計画法の詳細は後述 もっと絞る(NT以上)

26 208個のテーブルに対し,以下の条件を考慮した. 第1,2試合にh(a)が連続するチーム数を1以下にする.
haテーブルの生成 (手作業部分) 208個のテーブルに対し,以下の条件を考慮した. 第1,2試合にh(a)が連続するチーム数を1以下にする. 第17,18試合にh(a)が連続するチーム数を1以下にする. 第1,18試合は過去のものといっしょにする. チームMとFは同時にホームゲームを戦わない. 上記を満たすhaテーブルは,208個のうち1個だけ. しかも以下が分かった. (1) 6チームは,割り当てる場所(行)が確定される. (2)残り4チームの割り当て方4!のうち, タイムテーブルが存在しうるのは4通り (ただし上記の作業は手作業である.) Nemhauser and Trick は上記の作業はしていない. 残ったのは?

27 最終的に残ったhaテーブル 0: a a h h a a h h a h h a h h a a h a 1: a h a a h h a a h a h h a a h h a h 2: a h a h h a a h h a h a a h h a a h 3: a h a h h a h h a a h a a h a a h h 4: a h h a h a a h a a h h a h h a h a 5: h a a h a h h a h h a a h a a h a h 6: h a h a a h a a h h a h h a h h a a 7: h a h a a h h a a h a h h a a h h a 8: h a h h a a h h a h a a h h a a h a 9: h h a a h h a a h a a h a a h h a h 残った割り当て: 0123456789 割当Ⅰ:EMRJNKSGFV 割当Ⅱ:EMRJNKGSFV 割当Ⅲ:EMJRNKSGFV 割当Ⅳ:EMJRNKGSFV スケジュール生成

28 この表を埋める→整数計画法 残った割り当て: 0123456789 割当Ⅰ:EMRJNKSGFV
実際のスケジュールを求める 残った割り当て: 0123456789 割当Ⅰ:EMRJNKSGFV 0 E: F a h h a a h h a h h a h h a a h K 1 M: V h a a h h a a h a h h a a h h a N 2 R: G h a h h a a h h a h a a h h a a F 3 J: S h a h h a h h a a h a a h a a h G 4 N: K h h a h a a h a a h h a h h a h M 5 K: N a a h a h h a h h a a h a a h a E 6 S: J a h a a h a a h h a h h a h h a V 7 G: R a h a a h h a a h a h h a a h h J 8 F: E a h h a a h h a h a a h h a a h R 9 V: M h a a h h a a h a a h a a h h a S この表を埋める→整数計画法

29 1 ( AとBが1日目に戦う), xAB1 ={ xAB1 , xAB2 , xAB3 , xAC1 , xAC2 , xAC3 ,
スケジュールを作る 0-1 整数計画法 haテーブル B:a a h h h a このhaテーブルに対応する, A:h h a a a h スケジュールを求めよう. C:a h a h a h D:h a h a h a 1 ( AとBが1日目に戦う), xAB1 ={ 0 ( AとBが1日目に戦わない). xAB1 , xAB2 , xAB3 , xAC1 , xAC2 , xAC3 , xAD1 ,xAD2 , xAD3 , xBC1 , xBC2 , xBC3 , xBD1 ,xBD2 , xBD3 , xCD1 , xCD2 ,xCD3 . (ミラーリング)

30 } } 4C2=6本 ‥‥ xAB1+xAB2+xAB3 =1, (AとBはどこかで戦う)
0-1 整数計画問題 xAB1+xAB2+xAB3 =1, (AとBはどこかで戦う) xAC1+xAC2+xAC3 =1, (AとCはどこかで戦う) xAD1+xAD2+xAD3 =1, (AとDはどこかで戦う) ‥‥ xCD1+xCD2+xCD3 =1, (CとDはどこかで戦う) xAB1+xAC1+xAD1 =1, (1日目Aは誰かと戦う) xAB1+xBC1+xBD1 =1, (1日目Bは誰かと戦う) xAC1+xBC1+xCD1 =1, (1日目Cは誰かと戦う) xAD3+xBD3+xCD3 =1, (3日目Dは誰かと戦う) xAC2=xAC3=xAD1=xBC1=xBD2=xBD3= 0, 残りの変数(12個)は,0または1を取る. スケジュールを全部見つける=上記を満たすもの全て見つける 0-1整数計画法 :0-1変数12個,等式18本. 4C2=6本 } 4×3=12本

31 全ての変数が0-1の値を取る. 全探査:変数の数がn ならば2n通り. 2225×10-9秒=1053世紀 (宇宙ができて109世紀)
0-1 整数計画法 0-1整数計画法 :0-1変数12個,等式18本. (実際に解いたのはは0-1変数225個,等式135本.) 全ての変数が0-1の値を取る. 全探査:変数の数がn ならば2n通り. 2225×10-9秒=1053世紀 (宇宙ができて109世紀) O 1 切り分けて, 中を見る. (分枝限定法) 1 O 1

32 (200MHz Windows PC+lp solve)
スケジュールの生成 0-1整数計画法 (最初は0-1変数225個,制約135本.) xmns: チームmが第s試合日にチームnと, チームmのホームグラウンドで戦うとき1. それ以外は0となる変数. スケジュールの生成=0-1整数計画の全許容解の生成. 1つの解(スケジュール)が生成されたら, その解をカットする制約式を1本追加する. 残った割り当て: 生成された 0123456789 スケジュール数 計算時間 割当Ⅰ:EMRJNKSGFV 18個 分 割当Ⅱ:EMRJNKGSFV 22個 分 割当Ⅲ:EMJRNKSGFV 14個 分 割当Ⅳ:EMJRNKGSFV 18個 分 計72個 分 (200MHz Windows PC+lp solve) 72からの選択

33 (200MHz Windows PC+lp solve)
スケジュールの生成(改1) 0-1整数計画法 (最初は0-1変数225個,制約135本.) xmns: チームmが第s試合日にチームnと, チームmのホームグラウンドで戦うとき1. それ以外は0となる変数. スケジュールの生成=0-1整数計画の全許容解の生成. 残った割り当て: 生成された 0123456789 スケジュール数 割当Ⅰ:EMRJNKSGFV 18個 割当Ⅱ:EMRJNKGSFV 22個 割当Ⅲ:EMJRNKSGFV 14個 割当Ⅳ:EMJRNKGSFV 18個 計72個 (200MHz Windows PC+lp solve) 72からの選択

34 minimize x1+x2+x3 例:解(x1,x2,x3,x4,x5)=(1,1,1,0,0) x1+x2+x3≦2
スケジュールの生成(改2) スケジュールの生成=0-1整数計画の全許容解の生成. 1つの解(スケジュール)が生成されたら, その解をカットする制約式を1本追加する. 例:解(x1,x2,x3,x4,x5)=(1,1,1,0,0) x1+x2+x3≦2 目的関数一定 目的関数変更 1つの問題 時間 分 問題を4分割 分 分 (直前に)出力された解の特性ベクトルを目的関数とし,最小化する. minimize x1+x2+x3 72からの選択

35 K: N R E S V F M J G R N S V F M J G E
スケジュールの選択 72個のスケジュールのうち, 優勝候補との連続対戦が 7箇所以下のものは1個だけ.(過去のは8箇所.) K: N R E S V F M J G R N S V F M J G E V: M G S J K R F N E G M J K R F N E S M: V S N E G J K F R S V E G J K F R N E: F J K M R S N G V J F M R S N G V K J: S E G V F M R K N E S V F M R K N G S: J M V K N E G R F M J K N E G R F V F: E N R G J K V M S N E G J K V M S R G: R V J F M N S E K V R F M N S E K J N: K F M R S G E V J F K R S G E V J M R: G K F N E V J S M K G N E V J S M F 最終的に選ばれたスケジュール 良さの比較

36 評価項目 旧 新 3連続ホームゲーム 2 0 3連続アウェイゲーム 1 0 週末のみの3連続ホームゲーム 4 0
新旧スケジュールの比較 評価項目 旧 新 3連続ホームゲーム 2 0 3連続アウェイゲーム 1 0 週末のみの3連続ホームゲーム 4 0 週末のみの3連続アウェイゲーム 4 0 週日のみの3連続ホームゲーム 5 0 週日のみの3連続アウェイゲーム 5 0 優勝候補のチームとの連戦 8 7 チームMFが同時にホームを使う 1 0 1,2試合と17,18試合にh(a)が連続する 4 4 NTと解法の比較

37 Nemhauser and Trick の解法(9チーム)の時間
haテーブル 1:a a h h a h 2:h h a a h a 3:a h a a h h 4:h a h h a a スケジュール B:D C A C A D A:C D B D B C C:A B D B D A D:B A C A C B 3個の タイムテーブル 1: 2: 3: 4: 826個の 整数計画法 整数計画法 全列挙 9! 17個の haテーブル 9!×826(約3億)通り のチェック (24時間) (826+17)問の0-1IP (10分) 17問の0-1IP (1分) Sun SPARC-20+CPLEX 今回の解法

38 haテーブル 1 2 3 4 5 6 1:a a h h a h 2:h h a a h a 3:a h a a h h
今回 の解法(10チーム)の時間 haテーブル 1:a a h h a h 2:h h a a h a 3:a h a a h h 4:h a h h a a スケジュール B:D C A C A D A:C D B D B C C:A B D B D A D:B A C A C B 72個の チーム名の部分割当 A: B: *: *: 1個の haテーブル 4種類の チーム名割当 整数計画法 整数計画法 全列挙 24C10 1,382個の haテーブル (72+4)問の0-1IP (20分) 1,382問の0-1IP (30分)+手作業 列挙 (5分) (200MHz Windows PC+ lp solve) lp solve は摂動オプション 今後の課題

39 手作業の部分は,問題例依存の性質を用いている. 1993年を選んだのは10チームと少なかったから. 今回の方法では16チームは無理!
今後の課題 手作業の部分は,問題例依存の性質を用いている. 1993年を選んだのは10チームと少なかったから. 今回の方法では16チームは無理! 1999年:2リーグ制 J1:16チーム.試合は週末のみ.(1重)総当り戦. J2:10チーム.試合は週末のみ.4重総当り戦. 入っていない因子: TV放映.グラウンド使用可能日.チーム移動費用? 消化試合を減らす(好カードを後に残す). Nemhauser and Trick の open problem 与えられたhaテーブルに対応するタイムテーブルはあるか? NP-complete?

40 スポーツスケジューリングの研究を発展させるために
ホームページの公開 : 簡略ページ ・ 詳細ページ 研究発表 統計研, 南山大学, 文教大学, 東京大学, 班会議 関連記事の雑誌掲載 サーベイ: 松井知己, 「スポーツのスケジューリング」, オペレーションズリサーチ,44 (1999), 141-146. 入門編: 宮代隆平, 松井知己, 「1993年Jリーグの再スケジューリング」, オペレーションズ・リサーチ, 45 (2000), 81-83. 関連研究(者)の交流 東大, 筑波大, 東京理科大, 商船大, 東海大 ナーススケジューリング, クルースケジューリング, 授業時間割作成問題 応用から実務へ? アルゴリズム, 経験, サポート 小学生でも分かる問題?,いっしょに挑戦しませんか!

41 おわり

42 K: N F E V G J M R S F N V G J M R S E
1993年のJリーグ前半戦のスケジュール 2重総当りリーグ戦(原本) K: N F E V G J M R S F N V G J M R S E V: M J S K R E F N G J M K R E F N G S M: V G N S J R K E F G V S J R K E F N E: F S K G N V J M R S F G N V J M R K J: S V G R M K E F N V S R M K E F N G S: J E V M F N R G K E J M F N R G K V F: E K R N S G V J M K E N S G V J M R G: R M J E K F N S V M R E K F N S V J N: K R M F E S G V J R K F E S G V J M R: G N F J V M S K E N G J V M S K E F


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