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第3回  CVにおけるエピポーラ幾何

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Presentation on theme: "第3回  CVにおけるエピポーラ幾何"— Presentation transcript:

1 第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp

2 第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
CVの幾何学的解析に必要な数学 線形代数 射影幾何学: 非ユークリッド幾何学の一種 3次元空間と投影点との1対1対応を 無限遠の世界まで拡張   ←投影(透視)画法の理論(15C)から発展   ※幾何学(geomtry) : 変換(transformation) & 空間(space) 射影空間: ユークリッド空間+無限遠要素

3 第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
無限遠要素 無限遠点 無限遠直線 無限遠平面

4 鉄道線路における無限遠点

5 第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp
射影幾何の対象

6 結合の公理と双対原理 共線:同一直線に結びつく点の集合
第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 結合の公理と双対原理 共線:同一直線に結びつく点の集合 共点:同一点に結びつく直線の集合 結合の公理 ・1点と1直線は結びつかない ・全ての直線は少なくとも異なる3点と結びつく ・異なる2点に対しこれらと結びつく直線が1つ存在する ・異なる2直線に対しこれらと結びつく点が1つ存在する 双対原理 射影平面上で成立する命題の 点と直線、直線と点を入れ替えた命題も成立

7 パップスの定理 vs.中線定理 パップス:アレクサンドリア生まれの数学者(エジプト) 4C前半に活動 m m’ A’ A P R B B’
パップスの定理 vs.中線定理  直線 m 上に点 A,B,C を, 直線 m‘上に点 A’,B’,C’ をとる. この時,  AB’とA’B,BC’とB’C,CA’とC’Aの交点を P,Q,R とすると,この3点P,Q,Rは 1 直線上にある. m m’ A A’ B B’ C C’ P Q R

8 パップスの定理の双対定理 点 M を通る直線を a,b,c , 点M’を通る直線をa’,b’,c’ とする.
この時, aとb‘の交点とa’とbの交点を通る直線をp, bとc‘の交点とb’とcの交点を通る直線をq, cとa‘の交点とc’とaの交点を通る直線をr,  とするとき,この3直線p,q,rは 1 点で交わる.

9 デザルグの定理 デザルグの定理の双対定理=デザルグの定理の逆 (自己双対)
G.デザルグ:フランスの数学者 射影幾何学の基本概念確立                          17C前半に活動 デザルグの定理 同一平面上に無い2つの三角形 ⊿X1X2X3 と⊿X’1X’2X’3 において, X1 X’1とX2 X’2とX3 X’3が一点で交わる時, 直線X1 X2と直線X’1 X’2 ,直線X2 X3と直線X’2 X’3 , 直線X3 X1と直線X’3 X’1の交点を各々X,Y,Zとすると, X,Y,Zは同一直線上にある. デザルグの定理の双対定理=デザルグの定理の逆                   (自己双対) ←  X:X1 X’1   Y:X2 X’2   Z:X3 X’3  

10 デザルグの定理の図示 X 1直線を通る L11,l22,l33:1点で交わる Y Z
第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 デザルグの定理の図示 X Y Z 1直線を通る L11,l22,l33:1点で交わる 幾何学的意味: 透視変換で結びつく三角形の対応する            辺の交点は全て一直線上に存在する

11 3(4)種類の座標系 画像座標系 ○ (一般)ディジタル画像座標系 カメラ座標系 世界座標系 ○正規化(ディジタル)画像座標系
第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 3(4)種類の座標系 画像座標系  ○ (一般)ディジタル画像座標系 ○正規化(ディジタル)画像座標系 カメラ座標系  世界座標系

12 世界座標系 3次元空間を表現する3次元直交座標系 Z 原点: 基準位置に設定 Y X

13 カメラ座標系 カメラ(視点)に固定された3次元直交座標系  ~ 世界座標系における局所座標系 Y X Z 原点: カメラの焦点

14 ディジタル画像座標系 画像上の点を表現する2次元座標系 左上が原点 u≧0, v≧0 (u, v): ディジタル画像座標
第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 ディジタル画像座標系 画像上の点を表現する2次元座標系 左上が原点 u≧0, v≧0 (u, v): ディジタル画像座標 u軸とv軸は必ずしも直交しているとは限らない  vs 正規化カメラ

15 世界座標系→カメラ座標系 カメラの外部変数(extrinsic parameters): 6個
第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 世界座標系→カメラ座標系 カメラの外部変数(extrinsic parameters): 6個 Sm’= PMc’  = PDMw’ ≡ PwMw’  (Pw=PD) (world coordinate system) RRt = RtR = I 又は D:剛体変換 (rigid transformation)

16 カメラ座標系→ディジタル画像座標系 ピンホールカメラモデルを利用 ~ 針穴写真機

17 中心投影モデル 画像平面後置型 C: レンズ中心、 焦点(Focus) F: 焦点面 f:焦点距離 Z: 光軸 c:画像中心 画像平面前置型
第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 中心投影モデル 画像平面後置型 C: レンズ中心、    焦点(Focus) F: 焦点面  f:焦点距離 Z: 光軸   c:画像中心 画像平面前置型 C-XYZ座標系:カメラ座標系 (camera coordinate   system)

18 斉次座標表現: [x,y,1] [x,y,z] ~ [λx, λy, λz] λ∈R と見なす.
第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 斉次座標表現: [x,y,1] [x,y,z] ~  [λx, λy, λz]  λ∈R と見なす. この場合, [x,y,z] はその比x/z,y/z,1 によって定まるため, 平面上の点(x,y)と[x,y,1] を1対1に対応付ける.

19 中心投影の射影行列 sm’= PM’ 拡張ベクトル m‘ 射影行列 P s: スカラー量
第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 中心投影の射影行列 拡張ベクトル    m‘ 射影行列   P s: スカラー量 sm’= PM’

20 正規化カメラとカメラの内部変数 正規化画像座標系(f=1)
第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 正規化カメラとカメラの内部変数 未知パラメータ 5個: 画像中心cの位置(u0,v0) 各軸のスケールと焦点  距離fの積 αu αv 両軸の角度Θ (intrinsic parameters) 正規化画像座標系(f=1) カメラ校正 (camera calibration): カメラの内部変数を 推定すること

21 ステレオカメラ系の設定 epipole: 両カメラ中心を結ぶ 直線と各画像平面 との交点 全てのepipolar line の交点
第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 ステレオカメラ系の設定 epipole: 両カメラ中心を結ぶ  直線と各画像平面  との交点 全てのepipolar line の交点

22 射影モデル1: 中心投影 (perspective projection): 非線形 x=X/Z y=Y/Z (f=1) 中心(透視)投影
第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 射影モデル1: 中心投影    中心(透視)投影 (perspective projection): 非線形  x=X/Z  y=Y/Z (f=1) 線形近似

23 射影モデル2: 平行投影 物体の位置に 非依存 x=X y=Y (orthographic projection): 平行投影
第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 射影モデル2: 平行投影  平行投影 (orthographic projection): 物体の位置に  非依存 x=X  y=Y

24 射影モデル3:弱中心投影 光軸に近い時に良い近似 x=X/Zc y=Y/Zc Zc: 物体重心Gの奥行き (定数) 中心投影の0次近似
第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 射影モデル3:弱中心投影    弱中心投影 (weak perspective projection): 光軸に近い時に良い近似  x=X/Zc y=Y/Zc Zc: 物体重心Gの奥行き  (定数)   中心投影の0次近似

25 射影モデル4:平行透視投影 平行透視(擬似中心)投影 直線GCに 平行に射影 光軸と同じ側の時に良い近似
第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 射影モデル4:平行透視投影 直線GCに 平行に射影 平行透視(擬似中心)投影 (paraperspective projection): 光軸と同じ側の時に良い近似 x=1/Zc{X-(Xc/Zc)Z+Xc} y=1/Zc{Y-(Yc/Zc)Z+Yc} (Xc,Yc,Zc): Gの位置    (定数)   中心投影の1次近似

26 射影モデル(一般化) アフィン投影(affine projection): 各線形近似投影の一般化
第3回  CVにおけるエピポーラ幾何 射影モデル(一般化) アフィン投影(affine projection): 各線形近似投影の一般化   x = a11X + a12Y + a13Z + a14 y = a21X + a22Y + a23Z + a24


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