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( ) ( ) 行 列 式 置 換 n文字の置換σ: n個の文字{1,2,・・・,n}から自分自身への1対1の写像 1 2 ・・・ n

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1 ( ) ( ) 行 列 式 置 換 n文字の置換σ: n個の文字{1,2,・・・,n}から自分自身への1対1の写像 1 2 ・・・ n
         行 列 式     置 換 n文字の置換σ:  n個の文字{1,2,・・・,n}から自分自身への1対1の写像 ・・・  n σ = k1 k2 ・・・ kn 1→k1, 2→k2, ・・・ ,n→kn σ(1)=3, σ(2)=1, σ(3)=4, σ(4)=2 例) σ =

2 ( ) ( ) ( ) 置換の積 2つのn文字の置換σ,τの積στを στ(i)=σ(τ(i)) (i=1,2,・・・,n) と定義する。
  置換の積 2つのn文字の置換σ,τの積στを στ(i)=σ(τ(i))    (i=1,2,・・・,n) と定義する。 例) σ = τ = στ(1)=σ(2)=3, στ(2)=σ(3)=1   στ(3)=σ(4)=2, στ(4)=σ(1)=4   σ τ =

3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 単位置換、逆置換 単位置換ε:全ての文字を動かさない置換 σの逆置換:σ-1 1 2 ・・・ n
  単位置換、逆置換 単位置換ε:全ての文字を動かさない置換 σの逆置換:σ-1 ・・・  n k1 k2 ・・・ kn σ = σ-1 = ・・・  n k1 k2 ・・・ kn σ-1 σ= σ σ -1= ε 例) σ = σ-1 =

4 ( ) 巡回置換 {1,2,・・・,n}のうち、 k1, k2, ・・・, kr 以外は動かさないで、
    巡回置換 {1,2,・・・,n}のうち、 k1, k2, ・・・, kr 以外は動かさないで、 K1, k2, ・・・, kr のみを k1→k2 , k2→k3, ・・・ kr→k1 と順にずらす置換 k1 k2 ・・・ kr σ = を巡回置換といい k2 k3 ・・・ k1 σ = k1 k2 ・・・ kr と書く. 例) σ =( ) σ :2→5, 5→3, 3→2 σ =( ) =( ) =( ) 任意の置換は,巡回置換の積で表される.

5 互換 置換の符号 2文字の巡回置換 (i j) を互換という. 任意の巡回置換は
    互換 2文字の巡回置換 (i j) を互換という. 任意の巡回置換は (k1 k2 ・・・ kr)= (k1 kr) ・・・(k1 k3) (k1 k2) と表されるので、全ての置換は互換の積で表される.   置換の符号 置換σがm個の互換の積で表されるとき sgn(σ)=(-1) m :σの符号 sgn(στ)= sgn(σ) sgn(τ) sgn(σ-1)= sgn(σ)

6 偶置換、奇置換 置換全体の集合 sgn(σ)=1 :偶置換 sgn(σ)=-1 :奇置換 Sn:n文字の置換全体
  偶置換、奇置換 sgn(σ)=1    :偶置換 sgn(σ)=-1   :奇置換   置換全体の集合 Sn:n文字の置換全体 Snの元の個数=n!(=n個の順列の個数) 例) S3={ε, (1 2), (2 3), (1 3), ( ), ( )}

7 det(A)=Σ sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)・・・anσ(n)
   行列式の定義と性質(1)   行列式 n次正方行列 A=[aij] det(A)=Σ sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)・・・anσ(n) σ∈ Sn 例) a11 a12 a21 a22 = sgn(ε)a11a22 + sgn((1 2))a12a21 = a11a22 - a12a21 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33 +a12a23a31 + a13a21a32 -a12a21a33 -a11a23a32 -a13a22a31

8 サラスの方法 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

9 det(A)=Σ sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)・・・anσ(n)
定理3.2.1 a11 a12 ・・・ a1n a22 ・・・ a2n 0  a22 ・・・ a2n =a11 ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ an2 ・・・ ann 0  an2 ・・・ ann det(A)=Σ sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)・・・anσ(n) σ     =Σ sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)・・・anσ(n) σ(1)=1     =a11 Σ sgn(σ) a2σ(2)・・・anσ(n) σ(1)=1 a22 ・・・ a2n =a11 ・・・ ・・・ an2 ・・・ ann

10 2 3 = = 3(2・4ー1・3) = 15 1 4 上三角行列の行列式 a11 a12 ・・・ a1n a22 ・・・ a2n 0  a22 ・・・ a2n 0  0  0  = a11 =・・・= a11a22 ・・・ann ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ 0 ・・・0 ann 0  0 ・・・0 ann |E|=1

11 Σ sgn(σ)a1σ(1) ・・・caiσ(i)・・・anσ(n)
定理3.2.2 (1)1つの行をc倍すると行列式はc倍になる。 a11  ・・・ a1n a11  ・・・ a1n ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ cai1 ・・・ cain = c ai1 ・・・  ain ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ an1  ・・・ ann an1  ・・・ ann Σ sgn(σ)a1σ(1) ・・・caiσ(i)・・・anσ(n) σ =cΣ sgn(σ)a1σ(1) ・・・aiσ(i)・・・anσ(n) σ

12 Σ sgn(σ)a1σ(1) ・・・(biσ(i)+ciσ(i))・・・anσ(n)
定理3.2.2 (2)第i行が2つのベクトルの和である行列の行列    式は、他の行は同じで第i行に各々の行ベクトル    をとった行列の行列式の和になる。 a11  ・・・ a1n a11・・・a1n a11・・・a1n ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ bi1+ci1・・・bin+cin bi1・・・ bin ci1・・・cin ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・ an1  ・・・ ann an1・・・ann an1 ・・・ann Σ sgn(σ)a1σ(1) ・・・(biσ(i)+ciσ(i))・・・anσ(n) σ =Σ sgn(σ)a1σ(1) ・・・biσ(i)・・・anσ(n) σ +Σ sgn(σ)a1σ(1) ・・・ciσ(i)・・・anσ(n) σ

13 a+3 b+6 c+9 = a b c = a b c

14 Σ sgn(σ)a1σ(1) ・・・ajσ(i)・・・aiσ(j)・・・anσ(n)
定理3.2.3 (1)2つの行を入れ替えると行列式は-1倍になる。 (2) 2つの行が等しい行列の行列式は0である。 a11 ・・・ a1n a11 ・・・ a1n ・・・・・ ・・・・・ aj1 ・・・  ajn ai1 ・・・  ain i → ← i ・・・・・ ・・・・・ = - j → ai1 ・・・  ain aj1 ・・・  ajn ← j ・・・・・ ・・・・・ an1 ・・・ ann an1 ・・・ ann τ=σ(i j) とする Σ sgn(σ)a1σ(1) ・・・ajσ(i)・・・aiσ(j)・・・anσ(n) σ =-Σ sgn(τ)a1τ(1) ・・・ajτ(j)・・・aiτ(i)・・・anτ(n) τ

15 = = 0   = ー = ー6  

16 定理3.2.4  行列の1つの行に他の行の何倍かを加えても、行列式の値は変わらない。 a11 ・・・ a1n a11 ・・・ a1n ・・・・・ ・・・・・ ai1+caj1・・・ain+cajn ai1 ・・・  ain i → ← i ・・・・・ ・・・・・ j → aj1 ・・・  ajn aj1 ・・・  ajn ← j ・・・・・ ・・・・・ an1 ・・・ ann an1 ・・・ ann a11 ・・・ a1n a11 ・・・ a1n a11 ・・・ a1n ・・・・・ ・・・・・ ・・・・・ ai1+caj1・・・ain+cajn ai1 ・・・  ain aj1 ・・・  ajn ・・・・・ ・・・・・ ・・・・・ + c aj1 ・・・  ajn aj1 ・・・  ajn aj1 ・・・  ajn ・・・・・ ・・・・・ ・・・・・ an1 ・・・ ann an1 ・・・ ann an1 ・・・ ann

17 1 15 = = 11 11 1 15 1 15 = = 11 11 11 0 -14 =11・(-14) = ー154


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