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波数積分法による地震動計算 の基礎・応用と課題

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1 波数積分法による地震動計算 の基礎・応用と課題
「強震動予測―その基礎と応用」第14回講習会 波数積分法による地震動計算 の基礎・応用と課題 2014年12月11日 東京工業大学田町キャンパス 工学院大学・建築学部  久田嘉章

2 概要 ○波数積分法(理論的手法)の基礎 強震動特性、理論・手法・解法 ○震源特性の基本的な性質 放射特性、指向性パルス、フリングステップ
 強震動特性、理論・手法・解法 ○震源特性の基本的な性質  放射特性、指向性パルス、フリングステップ ○強震動計算例の紹介   1992年米国・Landars地震(Mw 7.3)  1994年米国・Northridge地震(Mw 6.9)  2001年台湾・集集地震(Mw 7.5) ○強震動予測手法のベンチマークテスト

3 告示波の例(加速度波形と応答スペクトル)
強震動:ランダム特性とコヒーレント特性 ランダム特性(短周期側):標準的入力地震動   エルセントロ波、タフト波、告示波・・・  → 短周期強震動が卓越、建物を倒壊させる破壊力は大きくない 大きい!  小さい!  短周期      長周期 ガタガタ揺らすが 倒壊させにくい 告示波の例(加速度波形と応答スペクトル) :短周期ランダム波の卓越)

4 コヒーレント性ある観測強震動(変位波形)と被害
堆積層表面波(長周期地震動) 2003年十勝沖地震の苫小牧市におけるナフサタンクの全面火災 1995年兵庫県南部地震における神戸市の木造家屋の倒壊 1999年台湾・集集地震による地表断層上のRC建物の傾斜 震源近傍の強震動(指向性パルス) 地表断層近傍の強震動 (フリングステップ)

5 強震動計算 → ハイブリッド手法 低振動数:理論的手法→波数積分法、差分法など 高振動数:経験的・統計的手法→統計的グリーン関数法など
強震動計算 → ハイブリッド手法 低振動数:理論的手法→波数積分法、差分法など 高振動数:経験的・統計的手法→統計的グリーン関数法など マッチング振動数(0.5~2.0 Hz) フリングステップ、     指向性パルス、表面波・・・ ランダム波形・・・

6 強震動計算の基礎式(表現定理) 表現定理(面震源による強震動の計算式) 観測点Yの変位解 グリーン関数
ソース点Xのダブルカップル震源・すべり関数 ソース点 X 観測点 Y グリーン関数 (地震動の伝播特性) 破壊フロント 破壊開始点(震源) 参考: 久田、4.2 成層地盤の解析手法、「地盤震動-現象と理論-」、日本建築学会、2005 久田、建築の振動:応用編、6章 地震と地震動、pp 、朝倉書店、2008

7 平行成層地盤のグリーン関数 (伝播・サイト特性)
○伝達マトリックス法  ・古典:Haskellのマトリックス法  →高振動数で発散  ・現在:R/Tマトリックス法(Luco and Apsel、Kennett, など)  →高振動数でも安定 円筒座標系

8 平行成層地盤のグリーン関数 (波数積分法:フーリエ・ベッセル変換より)
ベッセル関数 震源の加振向き 深さ方向の振幅 (P-SV波) 波数 =ω/C (SH波) 観測点の振動向き ・波数軸上で関数値が発散する極が表面波、分岐点は実体波に対応 ・極の寄与を留数定理で求めた解析解が正規モード解(表面波) ・波数積分は数値積分法で解く。離散化波数法は空間のフーリエ級数

9 グリーン関数Urx,zの被積分関数(1 Hzの場合)
波数積分法における非積分関数の例 (a) h=1 km z= 0 km r= 1 m (漸近解無) (b) h= 1 km z= 0 km r= 20 km (漸近解無) h:震源深さ z:観測点深さ r:水平距離 漸近解:静的項 実線:実部 波線:虚部 (d) h= 1 km,  z= 0.99 km r= 20 km (漸近解有) (c) h= 1 km, z= 0.99 km r= 20 km(漸近解無) グリーン関数Urx,zの被積分関数(1 Hzの場合)

10 面震源モデルと震源パラメータ SMGA

11 中村・宮武関数(2000) → 大規模地震への使用では要注意!
様々なすべり速度関数 中村・宮武関数(2000) → 大規模地震への使用では要注意! 1999年台湾・集集地震(Mw 7.5)の例 (Wu, 2001) 2011年東北地方太平洋沖地震の例 Yoshidaほか(2011):周期20秒以上

12 断層面ごく近傍における表示定理の 断層面積分の特異点の扱い
観測点が断層面近傍にある時、グリーン関数が1/r2に近いオーダーで発散 発散点近傍に多数のグリーン関数を分布させる必要 動的な成層地盤では多大な計算時間 特異性は静的項に起因 グリーン関数の断層面分布 → 静的項で発散

13 断層面近傍における強震動計算 (表示定理)
表示定理(オリジナル) 修正表示定理(Hisada and Bielak, 2002) :動的グリーン関数 → 幾何減衰: 1/r~1/√r → パルス波 :静的グリーン関数 → 幾何減衰: 1/r2 → Fling Step

14 面震源における断層極近傍での振幅の頭打ち (Hisada and Bielak, BSSA, 2003)
円形断層モデルによる地震動の解析的表現 +でなく、 -の間違い! D=1 m 断層面上の解  遠方の静的近似解 注:地表傾斜断層の場合、地表面効果あり

15 波数積分法による強震動計算 公開計算コード(Fortran)の主な特徴1
平行成層地盤における強震動計算を行うFortan77プログラム(Hisada, BSSA, 1997; 久田、建築論文集1995など)。 R/T伝達マトリックス法( Luco & Apsel, BSSA, 1983)などにより、高振動数でも安定した解を得る。 周波数依存のQ値をQ=Q0**fa、因果性を満たす一定Q(Futterman, JGR, 1962)を導入可。 グリーン関数の静的項を厳密に評価することにより、地表断層近傍の大永久変形(fling step)を高精度に評価(Hisada and Bielak、BSSA, 2003) 数値積分:低波数ではSimpson積分、高波数(振幅が変動する調和関数)ではFilon積分 → 近地・遠地とも高速・高精度 表面波の位相速度(極)を事前に計算(群速度・分散曲線・変位/応力ベクトル・H/Vスペクトル・Medium Responseも計算・・) → 波数積分の数値積分を効率化(極・分岐点周辺を密)

16 波数積分法による強震動計算 公開計算コード(Fortran)の主な特徴2
振動数に虚数を導入し、波数積分を効率化するPhinney法(JGR, 1965)の導入も可 震源深さが観測点深さに近い場合、動的項の波数積分では非積分関数から静的項を差し引いて収束計算を速めている。一方、静的項の計算には積分路変換法(Greenfieldの方法)で高速化 断層面積分は小断層ごとにガウス積分を使用(1×1~6×6点) すべり速度関数には、四角形・三角形関数の組み合わせ、指数関数、中村・宮武関数を選択することが可能 Source Data Patternに3パターンの入力方法を導入可。パターン1は小断層ごとに1行を使って、各Time Windowのすべり量(m)をすべて入力し、その後すべり角(度)も同様に与える。パターン2はすべり量とすべり角の分布をMatrix形で Time Windowごとに与える。パターン3は変位(m)の代わりに地震モーメント(Nm)を入力する。 破壊フロントにランダムな乱れを導入可→過度なパルス波を排除

17 強震動・震度分布が空間的に変動する原因 震源特性(点震源の放射特性)
振幅0 振幅最大 P 波 振幅0 振幅最大 S 波

18 震源近傍の強震動: ランダム波とパルス波の成因
横ずれ断層 震源(破壊開始点) 観測点(破壊伝播が近づく側) 地表面 アスペリティー 断層面直交成分 破壊伝播

19 1940年Imperial Valley 地震(横ずれ断層) El Centro波(ランダム波)

20 1979年Imperial Valley 地震(横ずれ断層) Meloland波(指向性パルス)

21 1995年兵庫県南部地震 アスペリティーと指向性パルス
No.5の寄与 松島・ 川瀬(2000)

22 震源近傍の強震動(逆断層の場合) 指向性パルスとランダム波の成因
が出にくい 指向性パルス が出やすい 指向性パルス が出にくい 指向性パルスが出にくい 海溝型地震では指向性パルス (震度7)は出にくい!  2004年中越地震(川口町:震度7)

23 破壊力ある震源近傍の強震動 地表地震断層とフリングステップ
1999年台湾・集集地震における地表断層直上の建物の被害例(逆断層)

24 地表断層出現とフリングステップ 1999 台湾・集集地震(逆断層・上盤側)

25 震源特性の計算例 地中断層における指向性効果
地盤は半無限一様地盤 断層面を5×2=10の小断層に分割 各小断層で3×3=9点のガウス面積分を実施(滑らかな破壊伝播を再現)

26 震源特性の計算例 地中断層における指向性効果
指向性パルス 速度波形(観測点1) 速度波形(観測点2)

27 震源特性の計算例 地表断層によるフリングステップ

28 震源特性の計算例(フリングステップ) 指向性パルス フリングステップ フリングステップ

29 地表地震断層によるフリングステップ (傾斜角30°の逆断層)
Free Surface 1 2 100 m 3 4 5 30° Homogeneous Half-Space (Vp = 5 km/s Vs = 3 km/s) 6 200 m 7 8 9 10 Foot Wall 11 1 m 12 UD 1 km 1 km 1 sec FP FN time Hanging Wall Slip Velocity

30 地表地震断層によるフリングステップ (傾斜角30°の逆断層)
12 12 12 12 Hanging Wall 地表地震断層 7 7 7 7 6 6 6 Foot Wall 6 FP FN UD FP FN UD 1 1 1 1 速度波形 変位波形

31 強震動予測レシピの使用上の注意点 地震調査研究推進本部、震源断層を特定した地震の強震動予測手法(「レシピ」、2009)
レシピ:誰がやっても同じ答  が得られる標準的な方法論 ⇒ 誰でも同じ結果にはならない! 強震動策定:膨大な数の  パラメータの組み合わせ、微妙な  調整で結果に大きな差が出る。  ⇒ 各パラメータの影響度の判断、最終イメージの有無 本来持つ震源・伝播過程の複雑さ:  レシピでは大幅に削除、単純化している。 ⇒ 実用的な強震動を得るには多くの経験が必要!  特に、震源過程がそのまま現れる震源近傍は要注意 同じレシピなのに・・

32 特性化震源モデル:単純化した震源モデル 単純な破壊過程:一様なすべり関数・破壊伝播速度 単純なグリーン関数:直達実体波~平行層地盤
すべり関数・すべり速度関数(中村・宮武関数) 強震動予測レシピによるアスペリティ (アスペリティ設定に各種経験則) 単純な破壊過程:一様なすべり関数・破壊伝播速度 単純なグリーン関数:直達実体波~平行層地盤 ⇒ 指向性パルスの場合、非常に単純なパルス波

33 海溝型超巨大地震(東北地方太平洋沖地震) の震源モデルとすべり速度関数
Yoshidaモデルのすべり速度分布 川辺・釜江モデル(2013) :周期10秒以下のSMGA Yoshidaモデル SMGAでのすべり速度関数 A1 A2 A3 A4 A5 Yoshidaモデル(2011):周期20秒以上 海溝軸近くで約50mのすべり領域

34 1992年Landers 地震 Waldほかによるモデル Mw=7.2 約75km
断層面(15km×75km)を6×31に分割:小断層サイズ2.5×2.4 km 各小断層に4×4点の積分点を分布 すべり速度関数:継続時間1秒の三角形関数を1秒間隔で6つ重ね合わせ 破壊伝播速度:2.7 kmで一定 グリーン関数:固い地盤を平行成層モデルで波数積分法でモデル化(1 Hz以下) LUC MVB JSH N40W Mw=7.2 約75km ※Wald and Heaton(1994)

35 観測記録と計算波形の比較(LUC) 断層平行成分 断層直交成分 速度波形 速度波形 変位波形 変位波形

36 波数積分法による強震動計算の流れ ○計算手順 ①表面波の位相速度(分散曲線)を計算(波数軸上の極に相当):phs3sQ-v3.f
②波数積分法による強震動計算(振動数領域):grflt12sx1-v13.f ③フーリエ逆変換(時間領域):grfftsp.f

37 入力データ例:grflt12s1-CEF.csv (Camp Rock/Emerson Fault)
時間・周波数データ: phs3sQ-v3.f、grflt12sx1-v13.f →時間刻みを0.5秒で128点(=27、継続時間=64秒)で、最小周期1秒(>時間刻みの2倍)で計算。円振動数ωの虚数部を0.01とする(Phinney法のため)。

38 地盤モデル(平行成層地盤)

39 入力データ例:grflt12s1-CEF.csv (Camp Rock/Emerson Fault)
地盤データ: phs3sQ-v3.f、grflt12sx1-v13.f →5層地盤。Q値の振動数依存なし。  密度、Vp、Qp、Vs、Qs、層厚

40 震源モデル:3つの断層面の重合わせ Camp Rock/Emerson Fault (CEF) Homestead Valley
Fault (HVF) Johnson Valley Fault (JVF) 観測点 (Lucerne Valley) 震源

41 断層基準点・小断層番号ほか

42 入力データ例:grflt12s1-CEF.csv (Camp Rock/Emerson Fault)
断層モデルデータ1: grflt12sx1-v13.f →断層長さ・幅、小断層分割数、ガウス点数  走向角、傾斜角、破壊伝播速度、フロント乱れ無  震源位置、断層基準点位置(X,Y,Z)

43 入力データ例:grflt12s1-CEF.csv (Camp Rock/Emerson Fault)
断層モデルデータ2: grflt12sx1-v13.f すべり速度関数(小断層ごと) 二等辺三角形の重合せ(6個) →すべり速度関数

44 入力データ例:grflt12s1-CEF.csv (Camp Rock/Emerson Fault)
断層モデルデータ3: grflt12sx1-v13.f →小断層・すべり時間ごとのすべり量・すべり角

45 入力データ例:grflt12s1-CEF.csv (Camp Rock/Emerson Fault)
波数積分データ: grflt12sx1-v13.f →静的項:積分路変換法+Newton-Cotes則 動的項:Simpson則(小波数)、Filon積分法(大波数)

46 入力データ例:grflt12s1-CEF.csv (Camp Rock/Emerson Fault)
フーリエ変換・観測点データ: grflt12sx1-v3.f →フーリエ変換の虚数部の符号を逆転(地震学定義→工学変換)  観測点:LUCの座標位置(X,Y,Z)

47 ① 表面波・位相速度の計算 (分散曲線、Medium Response)
phs3sQ-v3.f 位相速度 群速度 Love波の分散曲線       Love波のMedium Response

48 レイリー波のH/Vスペクトル

49 ② 波数積分法による波形計算 (振動数領域、速度波形出力)
・grflt12sx1-v13.f 修正表示定理(Hisada and Bielak, 2002) 動的グリーン関数 (実体波・表面波) 静的グリーン関数 (断層面近傍の項)

50 ③ フーリエ逆変換(フィルター、時間領域)
・grfftspx.f 速度波形(出力波形)  変位波形(速度波形を時間積分)

51 1994年Northridge地震(逆断層) 震源モデルと強震観測点
Mw 6.9 A’ 断層面延長線 FN FP 震源 5 km 40° 15° 断層面 延長線 +15°線 15 km 傾斜角 断層面 +15°線 A Wald ほか(1996)の震源モデル Bull. Seism. Soc. Am., Vol.86, No.18, S49-S70

52 Waldほか(1996)による 震源・地盤モデル 断層面(18km×24km)を14×14に分割:小断層サイズ1.3×1.7 km
各小断層に5×5点の積分点を分布  (→ 4×4点のガウス積分点で近似) すべり速度関数:継続時間0.6秒の三角形関数を0.4秒間隔で3つ重ね合わせ 破壊伝播速度:3 kmで一定 グリーン関数:岩盤・堆積層を平行成層モデルで波数積分法でモデル化(1 Hz以下) Bull. Seism. Soc. Am., Vol.86, No.18, S49-S70

53 Waldモデルの震源断層モデルとすべり速度関数
A2 A1 震源逆解析によるすべり分布(Wald and Heaton, 1996) 特性化震源モデルとの違い(A1とA2を二つのアスペリティーと仮定) ・震源断層に対するアスペリティーの面積比:A1が15%、A2が8%、A1+A2が23% ・震源断層に対するアスペリティーの平均すべり比:A1が1.5、A2が2.1、A1+A2が1.7倍 ・震源断層に対する背景領域の平均すべり比:0.37倍 ⇒ 無視できない ・アスペリティー内のすべり速度関数:中村・宮武関数と異なり、非常に複雑な関数 ⇒ 震源近傍の複雑な強震波形を再現するには、複雑な震源破壊過程が必要

54 地盤モデル(Waldほか、1996) Layer Density (kg/m3) Vp (m/s) Qp Vs Qs
Thickness (m) Rock Sediment 1 1700 800 40 300 20 - 100 2 1800 1200 60 500 30 200 3 2100 1900 1000 50 4 2400 4000 2000 5 2700 5500 400 3200 2500 6 2800 6300 3600 23000 7 2900 6800 600 3900 13000 8 3300 7800 4500

55 観測波と計算波(Waldモデル)との比較
断層 直交 成分 震源 周期1秒以上 Wald ほか(1996)

56 1999年台湾・集集地震(Mw 7.5) 断層面(82 km×42 km)を41×21に分割:小断層サイズ2×2 km
(m) Wu他(2001)によるすべり分布 断層面(82 km×42 km)を41×21に分割:小断層サイズ2×2 km 各小断層に1×1点の積分点を分布 すべり速度関数:継続時間1秒の三角形関数を0.5秒間隔で47重ね合わせ 破壊伝播速度:3.0 kmで一定 グリーン関数:固い地盤(最表層Vs:上盤=2040 m/s,下盤= 900 m/s)を平行成層モデルで波数積分法でモデル化(0.64秒以上) Wuほか、Bull. Seism. Soc. Am., 91, 5, pp.1128–1143, October 2001

57 南 ←―――――――――――――――――――――――→ 北
Wu他(2001)の断層すべりモデル 震源 最大すべり(16.7 m) 震源のすべり速度 南 ←―――――――――――――――――――――――→ 北 (m) 震源 最大すべり要素 のすべり速度

58 Wuモデルによる  計算(上盤) UD NS EW UD NS EW UD NS EW UD NS EW

59 Wuモデルによる 計算(下盤) UD NS EW UD NS EW UD NS EW UD NS EW UD NS EW UD NS EW

60 強震動予測手法のベンチマークテスト (代表的な3手法、単純から複雑モデルへ)
○強震動予測手法の精度検証 ○代表的な3つの強震動計算手法(同一の震源・地盤モデル):  ・理論的手法(波数積分法、離散化波数法、薄層法など)  ・数値解析手法(差分法、有限要素法など)→(その2)  ・統計的グリーン関数法に代表される統計的手法→(その3) ○単純なモデルから徐々に複雑化・2段階ステップ:  ・点震源・面震源と単純地盤:ステップ1・2(2009年度終了)  ・点震源・面震源と複雑地盤:ステップ3・4(2010年度終了)  ・関東平野・中・巨大地震:ステップ5・6(2011年度終了)  ・首都直下地震・南海トラフ地震:ステップ7(2013年度終了)  ・首都直下地震・南海トラフ地震:ステップ8(2014年度) ○成果:日本建築学会技術報告集(2010~2013) ○HPによるデータ公開: 前述の背景を鑑み、本プロジェクトを実施。 その9理論的手法(ステップ5・6)に続いて その10数値解析手法(ステップ5・6) その11統計的グリーン関数法(ステップ5・6) の報告。

61 ベンチマークテストの参加者・手法(理論手法)
○: 全ての課題参加,  △: 一部の課題参加,  ×不参加 ・理論的手法(3次元波動場・地盤は平行成層)  波数積分法(久田、中川):波積分を数値積分で解く  離散化波数法(野津、宮越・浅野):波数積分を空間のフーリエ級数で解く  薄層法(永野):鉛直方向は数値解(基盤は剛仮定)、水平方向は理論解

62 震源・地盤モデル: ステップ1 (2009) * Day, S. M. et.al. (2000). Final Report to PEER Center, pp.1-24. 平行成層地盤モデル(ステップ1・2共通) 震源モデルは点震源で、指数関数型の震源時間関数 (T=0.1 s)

63 ステップ1の結果(T11、T13) 震央距離100 kmの速度波形 (T11:基盤1層地盤、減衰なし)
一定Q(Futterman) 震央距離100 kmの速度波形 (T13:2層地盤、減衰あり)

64 モデルT13による速度波形のRadial成分(震央距離 -100 km)
Q値の導入法による結果比較(一定Q値) 宮腰&久田 (fREF=0.16 Hz) 虚数のみ fREF=1 Hz fREF=1 Hz 虚数のみ 宮腰&久田(fREF=0.16 Hz) → 分散性あり 波形全体(Radial成分)     P波初動        後続波形 モデルT13による速度波形のRadial成分(震央距離 -100 km) →虚数のみでは因果性を満たさず。一定QはFutterman、但し、波形はfrefに依存

65 ステップ3 (T33+100:地表点震源、非減衰2層地盤)
・久田・永野はほぼ一致 ・宮腰・中川はやや振幅が小さい(深さ50mで近似) ・中川はさらにQ=1000、他はQ=9999 速度波形(水平2成分) 速度フーリエ振幅スペクトル(水平2成分)

66 理論的手法:ステップ4(面震源) 地盤は2層地盤を考慮(ステップ1・2と同じ) 震源時間関数は中村・宮武関数 破壊伝播の揺らぎも考慮
T42の破壊過程のゆらぎ は入倉(1994)による 破壊開始時間へのランダム 性導入法による :破壊開始時間 ランダム数 Layer 1 Layer 2 (Half-Space) X (North) Y (East) 1 km 2 km 4 km 6 km 36.9° 観測点の測線(-100kmから+100km) 震源(0,1,4) km NS EW UD Layer 1 Layer 2 (Half-Space) X (North) Y (East) 0 km 2 km 4 km 観測点の測線(-100kmから+100km) 震源 (0,1,2) km 地表断層モデル 地中断層モデル 中村・宮武型すべり速度関数 (fc=6 Hz、tr=0.667秒 Td=0.053秒、ts=1秒) 地盤は2層地盤を考慮(ステップ1・2と同じ) 震源時間関数は中村・宮武関数 破壊伝播の揺らぎも考慮 横ずれ断層による地表・地表断層を考慮

67 ステップ4 (T44+002:地表・連続断層、減衰無2層地盤)
破壊フロントの連続性を満足せず ・減衰:永野・久田は無減衰(大きな一定Q値)、     中川は振動数比例Q→因果性を満足せず(Q(f)=Q0・fn) 変位波形(水平2成分、フリングステップの計算) 修正表示定理(Hisada and Bielak, 2002) :動的グリーン関数 :静的グリーン関数

68 検討出力点のS波速度(m/s)と各層上端深さ(m)
ステップ5: 関東平野における実地震動 検討出力点のS波速度(m/s)と各層上端深さ(m) JSK KNO T51震源 T53震源 T52震源 km ステップ5の震源と19の出力点 *:fは振動数(Hz) 1Hzで表中のQ値になるように設定 T51モデルの震源パラメータ 最表層のS波速度を500m/sとして使用。 T51:台形型の 震源時間関数 Sato, T. et al, Bull. Seismo. Soc. Am., Vol.88, No.1, pp , 1998

69 T51モデル結果 T51-KNO速度波形比較(左からNS、EW、UD) T51-JSK速度波形比較(左からNS、EW、UD) +0.205
+0.159 +0.159 +0.160 +0.160 T51-KNO速度波形比較(左からNS、EW、UD) 震源から離れる点は主要動までは良いが、後続の表面波がうまく評価できていない。 T51-JSK速度波形比較(左からNS、EW、UD)

70 T61モデルの震源断層すべり量分布(m)と19の出力点
19出力点と地盤モデルはステップ5と同様 T61モデルの震源パラメータ T61モデルの震源断層すべり量分布(m)と19の出力点 KNO JSK 破壊開始点 km 断層の上端深さ: 断層の下端深さ: (正確には、震源時間関数ではなくすべり速度時間関数。。) 破壊開始点の震源時間関数 Sato, H. et al, Science, 309, pp , 2005

71 T61モデル結果 T61-KNO速度波形比較(左からNS、EW、UD) T61-JSK速度波形比較(左からNS、EW、UD) +29.170
T61-KNO速度波形比較(左からNS、EW、UD) T61-JSK速度波形比較(左からNS、EW、UD)

72 おわりに ○波数積分法(理論的手法)の基礎 ○震源特性の基本的な性質 ○強震動計算例の紹介・計算コード・データの公開
 http://kouzou.cc.kogakuin.ac.jp/Open/Green/  http://kouzou.cc.kogakuin.ac.jp/Open/Kyoshin/ ○強震動予測手法のベンチマークテスト  http://kouzou.cc.kogakuin.ac.jp/benchmark.htm 参考文献 久田嘉章、成層地盤の解析手法、地盤震動 -現象と理論-、日本建築学会、pp , Jan., 2005 Hisada, Y, and J. Bielak, A Theoretical Method for Computing Near-Fault Strong Motions in Layered Half-Space Considering Static Offset due to Surface Faulting, with a Physical Interpretation of Fling Step and Rupture Directivity, Bull. Seism. Soc.of America,, Vol.93, No.3,pp , June., 2003 久田嘉章, 成層地盤における正規モード解及びグリーン関数の効率的な計算法, 日本建築学会構造系論文集 第501号、pp.49-56、Nov.1997


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