ランダムウォークに関するいくつかの話題 ・ランダムウォークの破産問題 ・ランダムウォークの鏡像原理 １ 小暮研究会Ⅰ 11月12日

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1 ランダムウォークに関するいくつかの話題 ・ランダムウォークの破産問題 ・ランダムウォークの鏡像原理 １ 小暮研究会Ⅰ 11月12日
　　小暮研究会Ⅰ　　　11月12日 　　　担当：環境3年　大矢　洋平 １

2 ランダムウォークの破産問題 以下のルールでギャンブルを行うゲームを考える （α）　　　　　　　ギャンブラーは賭け金1, つまり‘勝てば+1, 　　　　　　　　　負ければ−1 の損得’ というゲームを繰り返す. （β）　　　　　　各々のゲームで, ギャンブラーの勝つ確率をp, 　　　　　 　　負ける確率をq で表す　　(但し　 p + q＝１、0 < p,q < 1). （γ）　　　　　　ギャンブラーが目標金額 A を獲得するか, 　　　　　　　所持金が0 になる(=破産する) 時点で賭は終了する. ２

3 Xという金額を持っている時に、目標金額に到達する確率を を考えてみる
目標金額への到達確率１（推移確率グラフ） Xという金額を持っている時に、目標金額に到達する確率を　　　　　を考えてみる この時先述のルールに基づくと、以下のような推移確率グラフになる事が分かる （所持金＝ｘ） A p x q ０ （回数＝T） ３

4 目標金額への到達確率２（３項間漸化式と特性方程式）
(p ≠ qの時） 前頁の推移確率グラフを式にすると、以下のような３項間漸化式になる これを特性方程式に当てはめると という式になり、この方程式を満たす２解は　　　　　　　　　　　　である ４

5 目標金額への到達確率３（境界条件と一般解）
　　　　このような異なる２つの実数解を持つ３項間漸化式（＝２階線形差分方程式） 　　　　　　　　　の一般解は、C,Dをある実定数とすると以下の式になる 　境界条件　　　　　　　　、　　　　　　　　　を考慮すると の二つの式が導かれ、この連立方程式を解くと以下のような一般式になる ５

6 平均持続時間１（３項間漸化式と特殊解） 　　次に、賭けを止めるまでの平均持続時間を考える。 今、賭けの回数を　　とし平均持続時間を　　　　　　　　とする 先ほどと同様に、 とおける この式は という形であり なので という特殊解を（*)式に代入すれば良い事が分かる 代入した式を解くと になる ６

7 平均持続時間２（境界条件と一般解） ここで、 とすると以下のような式が導ける この式は、目標金額への到達確率の時に出てきた式と同様なので 境界条件 より 一般式は以下のようになる ７

8 ランダムウォークの鏡像原理 ここでは、 から出発する対象ランダムウォーク、 として以下の確率過程を考える この を のaに関する鏡像という ８

9 ランダムウォークの鏡像原理２（例題） 例１．６．１ 以下の式を示す 解） の時は時刻Tまでに必然的にaに達しているはずなので の時は （証明　終わり） ９

10 ランダムウォークの鏡像原理３（分布関数） 前頁の結果を用いると、この分布関数が次のようにして分かる １０