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エンタングルメント・エントロピー と 重力エントロピーの双対性

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2 エンタングルメント・エントロピー と 重力エントロピーの双対性
研究会「超弦理論と宇宙」2008 エンタングルメント・エントロピー と 重力エントロピーの双対性 高柳 匡 (京都大学理学部)

3 文献   Ryu-T, hep-th/ , PRL96(2006)      Ryu-T, hep-th/ , JHEP0608:045,2006. Hirata-T, hep-th/ , JHEP 0702:042,2007. Nishioka-T, hep-th/ , JHEP 0701:090,2007. Headrick-T, arXiv:   Hubeny-Rangamani-T, arXiv:   Azeyanagi-Nishioka-T, arXiv:    笠-高柳, 日本物理学会誌 62(2007)421

4 内容 ① イントロダクション ② エンタングルメント・エントロピーとは? ③ AdS/CFTによるホログラフィックな解釈
① イントロダクション ② エンタングルメント・エントロピーとは? ③  AdS/CFTによるホログラフィックな解釈 ④ ブラックホールへの応用 ⑤ まとめと今後の展望

5 ①イントロダクション 一般相対論における重力的エントロピー ブラックホールのエントロピーは、
  一般相対論における重力的エントロピー       ブラックホールのエントロピーは、   Bekenstein-Hawkingの面積則で計算される。 この公式は、理論の詳細によらず普遍的に成り立つ。 漸近的に平坦でも、(反)ドジッターでも良い。 物質場の詳細(例えば、スカラー場が何個?)に依存しない。

6 注) 超弦理論のような量子効果を取り入れた量子重力理論では、ブラックホールのエントロピーは面積則から変更を受ける。曲率が小さい極限では、その補正項は無視できるが、
  小さなブラックホールでは、補正が重要になる。   この解析は、超弦理論における最近の話題の一つである  が、今回のテーマに本質的ではないので触れない。             [Ooguri-Strominger-Vafa, Dabholkar, Sen,… 04’~]

7 エントロピーが面積に比例することは、重力理論における 自由度が、実際には1次元低く見えることを示唆する。
      ホログラフィーの原理  [t ‘Hooft, Susskind,…] 最も詳しく理解されているホログラフィーの例:AdS/CFT対応 等価 d+2次元の(量子)重力理論 d+1次元の場の理論など 例: ブラックホールのエントロピー =  熱力学的エントロピー         重力理論の分配関数 = 場の理論の分配関数

8 今回の話では、ホログラフィーの考え方を仮定すると エントロピーの面積則がブラックホール以外のもっと一般の 時空でも成り立つことを説明したい。
   地平線の面積    =   熱力学的エントロピー     (BHエントロピー )          任意の最小曲面の面積 = エンタングルメント・エントロピー 重力側 場の理論側 拡張 拡張

9 ② エンタングルメント・エントロピーとは?
② エンタングルメント・エントロピーとは? Quantum Entanglement (量子もつれ合い、絡み合い) の度合いを測定する量         「基底状態がどれほど量子的か?」をあらわす。 現在まで、様々な分野に応用されてきている。 量子情報、量子コンピューター(量子情報量の定義) 物性理論(低次元量子多体系のオーダーパラメーター) 量子重力理論(ブラックホールのエントロピーとの関係)

10 エンタングルメント・エントロピーの定義と性質 まず、多体系の量子力学において、全体系を部分系AとBに
二分割する。このとき、もとのHilbert空間は、二つの Hilbert空間の直積に分かれる 具体例: スピン系を2分割する。 A B

11 全体系の密度行列を   とする。 例えば絶対零度(純粋状態)では、           。 このときBを観測しない(Bをトレースアウトする)と仮定した場合の密度行列は、 と書け、これをAに制限した密度行列と呼ぶ。

12 この設定で、「Aに関するエンタングルメント・エントロピー」
を   に対するフォン・ノイマンエントロピーとして定義する。 もともとの系が純粋状態すなわちS=0であっても、部分系Bを 見えないと仮定することで、   は一般に非自明になることに 注意。

13 簡単な例 : スピン1/2を持つ二つの粒子系(2 qubit)
Not Entangled ? ? Entangled ?

14 エンタングルメント・エントロピーの基本的性質 Aと Bの間に相互作用がなく独立 全体系が純粋状態の場合
    熱力学エントロピーと違って示量的ではない! (iii) 有限温度では、一般に        である。    特に高温極限では、

15 (iv) 強劣加法性(Strong Subadditivity)
 [Lieb-Ruskai 73’ ; See also Nielsen-Chuang’ text book 00’] ある種の凸性(Concavity)を表す B A C

16 場の理論におけるエンタングルメント・エントロピー
場の理論におけるエンタングルメント・エントロピーを考える。 時空Mは、d+1次元で定義され、静的であるとする。 このときHilbert空間をAとBの二つに分けるのを幾何学的に 行なえる。(幾何学的エントロピーとも呼ばれる。) B A

17 幾何学的エントロピーの物理的意味 観測者がBを観測できないと仮定したときに生じる     あいまいさ    ブラックホールのエントロピーと類似 AとBの(非局所的)相関     相関関数よりもウイルソンループに近いが、どんな場の        理論でも定義可能。     量子相転移に応用可能 (iii) 場の理論の自由度の一つの見積もり         実際、2次元では、central chargeに比例する。

18 場の理論は、無限の自由度を有するので、幾何学的エントロ ピーは紫外発散する。そのとき、最高次の項に関して次の
幾何学的エントロピーの面積則 場の理論は、無限の自由度を有するので、幾何学的エントロ ピーは紫外発散する。そのとき、最高次の項に関して次の 面積則が知られている(aは正規化のための格子間隔)。                       [Bombelli-Koul-Lee-Sorkin 86’, Srednicki 93’] これはブラックホールのエントロピーの面積則に似ている。                       実際に、量子補正に対応                            していると考えられている。                          [Susskind-Uglm 94’]                 

19 ③AdS/CFTによるホログラフィックな解釈
ロピーの計算は、煩雑な量子的計算を要求する。 またブラックホールのエントロピーとの関係の理解を深めるに は、その重力的解釈が欲しい。 そこで、AdS/CFT対応を思い出してみると、この両方の問題を 解決する可能性が期待できる。     量子的な物理量       微分幾何学的量(古典的) 共形場の理論 超重力理論

20 Near horizon limit

21 AdS/CFT 対応(Poincare 座標)

22 AdS/CFTに基づくエンタングルメント・エントロピーの計算
  漸近的にAdSd+2に近づく空間                      UV固定点を持つd+1次元の場の理論      主張                                  ここで、 は、d+2次元時空中のd次元の極小曲面 で、境界が部分系Aの境界と一致するもの。[Ryu-TT 06’]

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24 コメント(1): このホログラフィックな公式は、Bekenstein-Hawkingのブラック ホールエントロピーの式と見かけ上同じであるが、   は、 一般にホライズンではない。 しかし有限温度のときに現れるAdSブラックホールを考えると    はホライズンの一部を覆う。その寄与は、熱力学的 エントロピーに相当する。 BH

25 直感的解釈      があたかもブラックホールのホライズンであるかのように振る舞い、Bの情報を中に隠している。

26 コメント(2): 幾何学的エントロピーの面積則の導出は、この公式を用いると とても容易である。 なぜならば、AdSの計量は、境界付近(紫外領域)で発散する からである。

27 [07’ Headrick-TT, 06’ Hirata-TT]
コメント(3) 強劣加法性のAdS/CFTによる証明                [07’ Headrick-TT, 06’ Hirata-TT] A B C = A B C = この証明で明らかなように、余次元が重要な役割をする。 強劣加法性は、一般の量子多体系のホログラフィーの存在を示唆する。

28 この場合は、2次元共形場理論の結果が解析的に分かってい るので、完全な比較が可能。両者の一致が厳密に証明できる。
具体的比較(AdS/CFTの検証) AdS3/CFT2 この場合は、2次元共形場理論の結果が解析的に分かってい るので、完全な比較が可能。両者の一致が厳密に証明できる。 AdS3 z 測地線の長さ 測地線

29 超重力理論に対応するのは、共形場理論が強結合な領域なの で比較が困難。N=4超対称性ゲージ理論で、自由場の場合
(ii)高次元の場合 超重力理論に対応するのは、共形場理論が強結合な領域なの で比較が困難。N=4超対称性ゲージ理論で、自由場の場合 に比較すると数10%程度係数がずれるが、関数形は一致する。 高次元の場合に場の理論側からの一般的な理解は進んでいな い。エンタングルメント・エントロピーのスケーリングの一般論に 関しては、AdS/CFTを用いた計算が現在のところ唯ーの結果と なっている。 (AdS/CFTのbulk-boundary関係からある仮定のもとに示されたFursaev  06’ 。しかし最近、微妙な点があることがSchwimmer-Theisen 08’で指摘さ れ、高次元で面積則からのずれをAdS/CFTが予言する可能性もある。)

30 部分系Aの境界が球面の場合のスケーリング
A universal quantity which characterizes odd dimensional CFT Conformal Anomaly (~central charge)

31 2次元AdS空間は、3次元以上のAdS空間とは違って、global座標だと境界が二つある。
④ブラックホールへの応用  2次元AdS時空 時間 AdS2 CQM1 CQM2 2次元AdS空間は、3次元以上のAdS空間とは違って、global座標だと境界が二つある。

32 AdS2 は、4次元の電荷を帯びたBPSブラックホールの
Near horizon極限で得られる。 AdS2/CFT1を仮定すると、2つの共形量子力学が、AdS2空間 上の重力理論(=4D ブラックホール)と等価ということになる。

33 そこで、二つのCFTのエンタングルメント・エントロピーを AdS/CFTによる前述の公式を用いて計算すると、
となり、4次元BPSブラックホールのエントロピーと一致すること が分かる。 このように見ると、 4次元BPSブラックホールについても、 二つのCFTのエンタングルメントを考えるとエントロピーの 微視的理解を得られることが分かる。                              [Azeyanagi-Nishioka-T 07’] AdS2/CFT1

34 高階微分項を含む重力作用の場合(Wald公式の導出)
Wald Entropy !

35 ⑤まとめと今後の展望 以上では、場の理論エンタングルメント・エントロピーを
  ホログラフィーを用いて幾何学的に計算する方法について説明した。今後の課題は以下のとおり。 (1) ブラックホールのエントロピーの量子力学的解釈 (2) 閉じ込めなどの相転移の秩序変数 (cf. Klebanov-Kutasov-Murugan, Nishioka-TT 07’, Velytsky 08’) (3) トポロジカルな理論の解析の道具 (e.g. topological EE) (4) AdS/CFT対応や、一般にホログラフィー原理の定式化?         逆問題:CFTの情報で、dualな計量を完全決定できるか?   (5) AdS/CFT対応によるホログラフィックな計算を第一原理       的に行う。


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