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      線形写像  線形写像 U,V:R上のベクトル空間 T:UからVへの写像 (1)T(u+v)=T(u)+T(v)  (u,v∈U),

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1       線形写像  線形写像 U,V:R上のベクトル空間 T:UからVへの写像 (1)T(u+v)=T(u)+T(v)  (u,v∈U), (2)T(cu)=cT(u)  (u∈U, c∈R) T:線形写像 T(0U)=T(0・0U)=0・T(0U)=0V Uの零ベクトルをVの零ベクトルにうつす

2 U V 写像T u T(u) v T(v ) u + v T(u + v ) RnからRmへの写像TA
TA(x)=Ax (x∈Rn)    A:m×n行列 TA(x+y)=A(x+y)= A(x)+A(y)= TA(x)+TA(y) (x,y∈Rn) TA(cx)=A(cx)= cA(x)= cTA(x) (x∈Rn,c ∈R)

3 (1)Tの像 Im(T)はVの部分空間である。 (2)Tの核 Ker(T)はUの部分空間である。
  線形写像の像と核 T:ベクトル空間UからVへの線形写像 Im(T):Tの像  (T(U)とも書く) Im(T)={T(u)|u∈U} Ker(T):Tの核  Ker(T)={u∈U|T(u)=0v } 定理5.1.1 T:ベクトル空間UからVへの線形写像 (1)Tの像 Im(T)はVの部分空間である。 (2)Tの核 Ker(T)はUの部分空間である。  

4 Im(T) 写像T Ker(T) 写像T

5 線形写像の階数と退化次数 T:UからVへの線形写像 rank(T):Tの階数 rank(T)=dim(Im(T))
 線形写像の階数と退化次数 T:UからVへの線形写像 rank(T):Tの階数 rank(T)=dim(Im(T)) null(T):Tの退化次数  null(T)=dim(Ker(T)) 定理5.1.2 U,V:ベクトル空間 T:UからVへの線形写像  null(T)+rank(T)=dim(U).

6 RnからRmへの写像TA TA(x)=Ax (x∈Rn)    A:m×n行列 Ker(TA) ={x ∈Rn| Ax =0} 解空間 A=[ a1 a2 ・・・ an ]   Im( TA )={ Ax| x ∈Rn} ={ x1a1+x2a2+・・・+xnan|x1, ・・・,xn ∈R} 列ベクトルで生成されるRmの部分空間

7   線形写像の表現行列  表現行列 T:UからVへの線形写像 {u1,・・・,un}:Uの基 {v1,・・・,vm}:Vの基 (T(u1),・・・,T(un))=(v1,・・・,vm)A (A:m×n行列) 行列A:Uの基{u1,・・・,un},Vの基{v1,・・・,vm}          に関するTの表現行列

8 U V 写像T v1 u1 T(u1) ui vi T(ui) vm un T(un)
(T( u1),・・・,T(un))=( v1,・・・, vm)A

9 例) T:U=R2からV=R3への線形写像 1 3 T(x)=      x 標準基 100 010 001 10 01 e1=   ,e2= e’1=   , e’2= , e’3= 1 3 (T(e1),T(e2))=(e’1,e’2,e’3) 1 3 標準基に関するTの表現行列  A=  

10 {u1,・・・,un}, {u’1,・・・,u’n} :Uの基 {v1,・・・,vm}, {v’1,・・・,v’m} :Vの基
 表現行列と基の変換行列 T:UからVへの線形写像 {u1,・・・,un}, {u’1,・・・,u’n} :Uの基 {v1,・・・,vm}, {v’1,・・・,v’m} :Vの基 (u’1,・・・,u’n)=(u1,・・・,un)P (v’1,・・・,v’m)=(v1,・・・,vm)Q (P,Q:正則行列) 行列P,Q:基の変換行列

11 U V 写像T 表現行列A 変換行列P 変換行列Q U V 写像T 表現行列B e’1 e1 T(e1) ei e’i T(ei) e’m
en 表現行列A T(en) 変換行列P 変換行列Q v1 u1 T(u1) ui 写像T vi T(ui) vm un T(un) 表現行列B

12 A:{u1,・・・,un},{v1,・・・,vm}に関する表現行列
定理5.2.1 T:ベクトル空間UからVへの線形写像          B=Q-1AP. A:{u1,・・・,un},{v1,・・・,vm}に関する表現行列 B:{u’1,・・・,u’n},{v’1,・・・,v’m}に関する表現行列 線形変換:ベクトル空間から自分自身への線形写像 定理5.2.2          B=P-1AP. {u1,・・・,un}, {u’1,・・・,u’n} :Uの基 (u’1,・・・,u’n)=(u1,・・・,un)P (P:変換行列) A:{u1,・・・,un}に関する表現行列 B:{u’1,・・・,u’n}に関する表現行列

13 P=[pij]nxn (T(u’1),・・・,T(u’n)) =(T(p11u1+・・・+pn1un ),・・・,T(p1nu1+・・・+pnnun)) =(p11T(u1)+・・・+pn1T(un),・・・,p1nT(u1)+・・・+pnnT(un)) =(T(u1),・・・,T(un))P =(v1,・・・,vm)AP (T(u’1),・・・,T(u’n))P= (v’1,・・・,v’m)B=(v1,・・・,vm)QB (v1,・・・,vm)AP=(v1,・・・,vm)QB B=Q-1AP

14 3 0 0 1 T(x)=      x  (x∈R2) T(e2)=e2 e2 e1 T(e1)=3e1

15   固有値と固有ベクトル 固有値と固有ベクトル T:ベクトル空間Vの線形変換 T(u)=λu   (u∈V,u≠0, λ∈R) λ:Tの固有値 u:(固有値λに属する)Tの固有ベクトル 例) 7 -6 3 -2 T(x)=      x  (x∈R2) 21 21 8 4 u=   とすると T(u)=    = 4   =4u 

16  固有空間 T:ベクトル空間Vの線形変換 W(λ;T)={u∈V|T(u)=λu}   固有多項式 gA(t)=|tE-A|    A:正方行列 行列Aの固有値:gA(t)=0 の根(複素根も含む) TA(x)=Ax    Ax=λx  Ax=λEx (λE-A)x=0 x(≠0)が存在する必要十分条件:    λE-Aが正則行列でない

17 f(t)=amtm+am-1tm-1+・・・+a1t+a0
定理5.3.1 λがTAの固有値    gA(λ)=0 一般に多項式 f(t)=amtm+am-1tm-1+・・・+a1t+a0 と正方行列Aに対して f(A)=amAm+am-1Am-1+・・・+a1A+a0E と定義する。 定理5.3.2(ケーレー・ハミルトンの定理)  gA(t)が正方行列Aの固有多項式ならば      gA(A)=0

18 A:Tの{u1,・・・,un}に関する表現行列 gT(t):Tの固有多項式(=Aの固有多項式)
一般の場合の固有値と固有空間の計算 T:n次元のベクトル空間Vの線形変換 {u1,・・・,un}:Vの1組の基 A:Tの{u1,・・・,un}に関する表現行列 gT(t):Tの固有多項式(=Aの固有多項式) gT(t)=gA(t)=|tE-A| gB(t)=|tE-B|= |tP-1EP-P-1AP|    = |P-1(tE-A)P|= |tE-A|=gA(t) 定理5.3.3 T:ベクトル空間Vの線形変換 λがTの固有値    gT(λ)=0

19   行列の対角化  同値な行列 A,B:n次正方行列 B=P-1AP となる正則行列Pが存在する A,Bは同値である。 行列の対角化 A:正方行列 B=P-1AP:対角行列 行列Aの対角化:正則行列Pと対角行列Bを求める

20 Σdim(W(λi;T))≦dim(V) r
定理5.4.1 T:ベクトル空間Vの線形変換 λ1, ・・・λr:Tの相異なる固有値    Σdim(W(λi;T))≦dim(V) r i=1 定理5.4.2 A:n次実正方行列 λ1, ・・・λr:Aの相異なる実固有値の全体 AがR上対角化される必要十分条件    Σdim(W(λi;TA))=n. r i=1

21 ui1,・・・uini:W(λi;TA)の基
P=[u11・・u1n1・・・ur1・・urnr] T(uik)=Auik=λiuik λ1 n1 λ1 AP=PB,   B= λr nr B=P-1AP λr

22    内積空間   内 積 u,v:R上のベクトル空間Vのベクトル 2つのベクトルu,vに対して実数(u,v)を対応させる対応( , )が次の4条件を満たす (1) (u+u’,v)= (u,v)+ (u’,v) (2) (cu,v)= c(u,v) (3) (v,u)= (u,v) (4) u≠0 ならば  (u,u)>0

23 例) a1 an b1 bn a= ,b= a,b∈V(=Rn) (a,b)=tab=a1b1+・・・+anbn Rnの標準的な内積 (1) (a+a’,b)= t(a+a’)b=tab+ta’b = (a,b)+ (a’,b) (2) (ca,b)= t(ca)b=ctab=c(a,b) (3) (a,b)=tab=t(tab)=tba=(b,a) (4) a≠0 ならば  (a,a)=taa>0

24  ベクトルのノルム ∥u∥= √(u,u) u のノルム または 長さ 例) V=Rn,  u= 3 -2 ∥u∥= √32 + (-2)2 = √ 13

25 (3) ∥u+v∥ ≦ ∥u∥ +∥v∥ (三角不等式)
定理6.1.1  内積空間Vのノルムについて次が成り立つ                (u,v∈V,c∈R) (1) ∥cu∥=c∥u∥ (2) |(u,v)|≦ ∥u∥ ・∥v∥      (シュヴァルツの不等式) (3) ∥u+v∥ ≦ ∥u∥ +∥v∥  (三角不等式) (2) (Σuivi)2 ≦ (Σui2) (Σvi2) i=1 i=1 i=1

26 零ベクトルでないベクトル u1,・・・,ur が互いに 直交すれば1次独立である。
 ベクトルの直交 (u,v)=0 定理6.1.2  零ベクトルでないベクトル u1,・・・,ur が互いに 直交すれば1次独立である。 c1u1+・・・+crur=0  とおく。 0=(ui,c1u1+・・・+crur)= Σ cj(ui,uj)=ci(ui,ui)   j=1 (ui,ui) ≠0 だから  ci=0  (1≦i≦r)

27   正規直交基と直交行列  正規直交基 {u1,・・・,un}:Vの基 (ui,uj)=δij   (1 ≦i,j≦n) 定理6.2.1 (シュミットの直交化) {v1,・・・,vn}:Vの1組の基 となる、正規直交基{u1,・・・,un} が存在する。 <u1,・・・,ur>R =<v1,・・・,vr>R   (1≦r≦n)

28 v’2=v2-(v2,u1)u1, u2=v’2/ ∥v2 ∥
u1=v1/ ∥v1 ∥       ∥u1 ∥=1 v’2=v2-(v2,u1)u1,   u2=v’2/ ∥v2 ∥ (u1,u2)=0 ,  ∥u2 ∥=1 <u1,u2>R= <u1,v2>R= <v1,v2>R v’r+1=vr+1- Σ (vr+1,ui)ui, i=1 ur+1=v’r+1/ ∥vr+1 ∥ (v’r+1,ui)=0 (1≦i≦r) だから  (ur+1,ui)=0  <u1,・・・,ur,ur+1 >R= <u1,・・・,ur,vr+1 >R = <v1,・・・,vr,vr+1 >R

29 110 131 v1=   , v 2= , v 3= 110 110 1 1 u1=  =            正規化 ||v1 || 2 131 110 4 1 v’2=v2-(v2,u1)u1 = - =     2 2 直交化 1 1 u 2 = v’2 =            正規化 || v’2 || 3 5 v’3=v3-(v3,u1)u1 - (v3,u2)u2 =     6 直交化

30 {u1,・・・,un}:内積空間Vの正規直交基 u=a1u1+・・・ +anun , v=b1u1+・・・ +bnun
定理6.2.2 {u1,・・・,un}:内積空間Vの正規直交基  u=a1u1+・・・ +anun , v=b1u1+・・・ +bnun  と書くと   (u,v)=a1b1 +・・・ +anbn   (u,v)= Σ Σaibj (ui,vj)=a1b1 +・・・ +anbn i=1 j=1  直交変換 (T(u) ,T(v))= (u,v)    (u,v∈V) 定理6.2.3 {u1,・・・,un}:内積空間Vの正規直交基    Tは直交変換    (T(u1) ,・・・,T(un ))                 はVの正規直交基

31  直交行列 tPP=En   (P:n次の実正方行列) 定理6.2.4 A:n次の実正方行列   TA(x)=Ax    (TA:Rn→Rn)  と定義する。    Aが直交行列   TA が直交変換 定理6.2.5 A:n次の実正方行列   A={a1,・・・,an}    Aは直交行列    {a1,・・・,an}はRn                  の正規直交基

32 複素共役 複素数α=a+bi (i=√-1)     α=a-bi : αの複素共役 定理6.3.1  実対称行列の固有値は全て実数である。 行列の(上)三角化 A:正方行列 P-1AP:上三角行列 行列Aの(上)三角化:正則行列Pと上三角行列               P-1APを求める

33 * 0 定理6.3.2 n次実正方行列Aの固有値が全て実数ならばA は直交行列を用いて上三角化できる。 λ1 ・ P-1AP=
,  det(P)=1 λn 定理6.3.3 Aがn次実対称行列ならば、次の直交行列Pが存 在する。 λ1 P-1AP= ,  det(P)=1 λn

34 A= 1 2 -1 2 -2 2 -1 2 1 t-1 -2 1 gA(t)=|tE-A|= =(t-1)2(t+2)+8
A= t-1 gA(t)=|tE-A|= =(t-1)2(t+2)+8 -2 t+2 -2 t-1 - {(t+2)+8(t-1)} =(t-1)2(t+2)-9t+14 =t3-12t+16 =(t-2)2(t+4) λ=2,-4 (λE-A)x=0 λ=2のとき x=0 簡約化 x=0 -2

35 A= x = x 2 x - 3 x - x = 0 x + 2 x - 3 x = 0 1. 2 -3 -1 1 2 -3
1 2 3 A= x = x + 2 x - 3 x = 0 1 2 3 W={ x ∈R3|Ax =0} (i) x =0 を代入。 A0 =0 だから 0 ∈W (ii) x ,y ∈W とすると      A( x + y ) =Ax +Ay = 0+0 =0 だから x + y ∈W      (iii) x ∈W,c∈R とすると        A(cx) =c(Ax) =c0=0 だから cx ∈W

36 2. 312 231 5 -3 4 312 231 5 -3 4 c1   +c 2 c = 0 132 321 -3 5 4 1 c 2 3 312 231 5 -3 4 = 0 解が一意に定まらない。 c1 = c 2 = c 3 = 0 以外の解を持つから1次従属

37 x1 x2 x3 x4 x5 x = c1 x = c2 x1+3c2 = 0 x1 =ー3c2 x2 = ー5c1 + 7c2
3. x = c1 x = c2 とする。 4 5 x1+3c2 = 0 x1 =ー3c2 x2 = ー5c1 + 7c2 x2+5c1ー7c2 = 0 x3 =3c1 ー2c2 x3ー3c1 +2c2 = 0 x = c1 4 x = c2 5 2次元 1組の基 x = c1   +c 2 c1 c2

38 x = c1 x = c2 x1 x2 x3 x4 x1+2c1ーc2 = 0 x1 =ー2c1+c2 x = c1 x3 =ーc2
4. x = c1 x = c2 とする。 x1 x2 x3 x4 2 4 x1+2c1ーc2 = 0 x1 =ー2c1+c2 x = c1 2 x3 =ーc2 x3+c2 = 0 x = c2 4 x = c1   +c 2 c1 c2 (i) null(T)=2 (ii) rank(T)=2 201 311 Ker(T)の1組の基 Im(T)の1組の基

39 5. A= t-13 30 (i) gT(t)=|tE-A|= = t2-t-6 =(t-3)(t+2) t+12 (ii) λ=3,-2 (λE-A)x=0 (iii) 31 λ=3のとき x=0 W(3;T)={c c∈R}  21 λ=-2のとき x=0 W(-2;T)={c c∈R}  3 2 3 0 P= B=P-1AP = 1 1 0 -2

40 = 2×3 + 4×(-2) + (-1) ×4 = -6 1.(1) (2) ∥u∥= √12 + (-4)2 + (-1)2 = √18
= 2×3 + 4×(-2) + (-1) ×4 = -6 (2) u = ∥u∥= √12 + (-4)2 + (-1)2 = √18 = 3√2

41 2. 110 111 1 0 0 v1=   , v 2= , v 3= 110 110 1 1 u1=  =            正規化 ||v1 || 2 111 110 0 0 1 2 1 v’2=v2-(v2,u1)u1 = - =     2 2 直交化 0 0 1 0 0 1 1 1 u 2 = v’2 =       =       正規化 || v’2 || 1

42 v’3=v3-(v3,u1)u1 - (v3,u2)u2     直交化 100 110 001 1/2 -1/ 1 1 = - - 0 × =     2 2 1/2 -1/ 1 1 u 3 = v’3 =       =        正規化 2 || v’3 || 2

43 3.

44 (1) r = 3 (2) a1, a2, a3 (3) a4 = 3a1- a2 +a3 a5 = a1 + 2a2 - 2a3 x1
1. (1) r = 3 (2) a1, a2, a3 (3) a4 = 3a1- a2 +a3 a5 = a1 + 2a2 - 2a3

45 1. (4) x1 x2 x3 x4 x5 x = c1 x = c2 x1+3c1 +c2 = 0 x1 =ー3c1ーc2
x = c1 x = c2 とする。 4 5 x1+3c1 +c2 = 0 x1 =ー3c1ーc2 x2 = c1ー 2c2 x2ー c1 + 2c2 = 0 x3 =ー c1 + 2c2 x3+ c1ー 2c2 = 0 x = c1 4 x = c2 5 2次元 1組の基 x = c1   +c 2 c1 c2

46 2. x1 x2 x3 x4 x5 (i) Ker(T)の1組の基 null(T) = 2 (ii) Im(T)の1組の基 c1 c2 rank(T) = 2

47 3. A= 7 12 0 -2 -3 0 2 4 1 t-7 -12 0 gA(t)=|tE-A|= =(t-7)(t+3)(t-1)
A= -2 t gA(t)=|tE-A|= =(t-7)(t+3)(t-1) 2 t+3 0 t-1 +24(t-1) =(t-1)(t2-4t+3) = (t-1)(t-1)(t-3) =(t-1)2(t-3) λ=1, 3 (λE-A)x=0 λ=1のとき x=0 簡約化 x=0 c1 c2

48 = c1 = c2 x x x1+2c1 = 0 x1 =ー2c1 x = c1 +c 2 = c1 x x3 = c2 = c x
とする。 2 3 -2 1 0 001 x1+2c1 = 0 x1 =ー2c1 x = c1   +c 2 x = c1 2 x3 = c2 -2 1 0 001 W(1;T)={ c1   +c 2 c1,c 2 ∈R}  λ=3のとき x=0 簡約化 x=0 c x = c とする。 3 x1-3c = 0 x1 =3c x = c   x = -c x2+c = 0 2 x3 = c

49 P= B=P-1AP = 4. a + b - c=0 3a -b =0 , b = 3a 2a -2b + c=0 c = 4a
W(3;T)={ c   c ∈R}  P= B=P-1AP = 4. a + b - c=0 3a -b =0 , b = 3a 2a -2b + c=0 c = 4a a2 + b2 + c2 = 1 a2 + (3a)2 + (4a)2 = 1 1 3 4 1 1 a =± √26 √26


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