透視投影（中心射影）とは 　○ 3次元空間上の点を2次元平面へ投影する方法の一つ 　○ 投影方法 　　１．投影中心を定義する 　　２．投影平面を定義する

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1 透視投影（中心射影）とは 　○ 3次元空間上の点を2次元平面へ投影する方法の一つ 　○ 投影方法 　　１．投影中心を定義する 　　２．投影平面を定義する 　　３．3次元空間上の点Pと投影中心を通る直線を引く 　　４．その直線と投影平面との交差点をPの投影点とする

2 Y y P=(X, Y, Z, W) X x Ip=( x , y ,T) Z o O 投影中心 投影面 Z =1

3 　画像面はT=1とすれば、画像面上の(x,y)を通る光線は同次座
標で表すベクトル(x,y,1)～(xT,yT,T)　　　　を用いて表現でき る。 　従って、同次座標で表す光線のベクトル(X,Y,T)は「非同次 座標」で表す画像面(T=1)上の点　　　　　　　　と対応して いる。

4 ２次元平面上の点の同次座標表現 　○ カメラの光学中心は座標原点(0,0,0)にあるとする。 　○ 「同次座標」(X,Y,T)が表す光線は、座標原点と3次元 の点(X,Y,T)を通る光線である。 　○ 3次元点　　　　　　　　　　　も同じ光線上にある。 　○ 従って、同次座標を任意の倍率でスケーリングしても 　　意味が変わらない(同値関係）。

5 T=0の時 　(X,Y,0)は通常の3次元の点であり、通常の光線を定義してい る。しかし、その光線と対応している有限の画素が存在しない： 　(X,Y,0)はT=1平面と平行しているので、有限の交差点は存在 　しない。従って、このような光線あるいは同次座標は、2次　 　元平面上の有限の点として解釈できない。 しかし、それは「空想的な点」あるいは、ある方向で無限遠に後退して点と見なすことができる。

6 直線の「座標」： 　2次元平面上の直線は次のように表すことができる。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１） 同次座標表現を用いて上記の式を書き換えると、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２） この式をベクトルの形で表すと、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３） 式（３）は、二つのベクトル(a,b,c)と(X,Y,T)が互いに垂直（直交）していることを表す。 　つまり、直線は「点」と同様に、一つの３要素のベクトルで表すことができる。 　（対称性、双対性、duality)

7 直線の方程式（式３）の幾何学解釈： 平面の法線： 　ベクトル(a,b,c)と垂直し、原点を通るすべての直線は一つの平面を形成する。その平面上の点は を満たす。その平面とT=1の平面との交差線も上記の式で表すことができる。

8 T ( X , Y , T ) y T =1 x Y ax + by + c =0 ( a , b , c ) X O aX + bY + cT =0

9 無限遠線 　もし、(a,b,c)は(0,0,1)であれば、特別な直線 T=0 が得られ、 それは「無限遠点」のみを含む。その直線は無限遠にある直 線と呼ばれる。

10 3次元空間における同次座標表現 　3次元の点が4個の同次座標で表すことができる そして、「無限遠にある平面」T=0を追加して、その平面は すべての方向の「空想な無限遠点」(X,Y,Z,0)を含む。 　これ（同次座標表現）は一見無駄のように見えるが、3次元の視覚の再構築には自然の形で表現することができるので、よく勉強する価値がある。

11 同次座標の利点 　１．平面の方程式 　　２次元空間内の直線を表す方法と同様に、3次元空間内の平面は二つのベクトルの内積で表すことができる： 　平面の方程式：　ax+by+cz+d=0 二つの4次元ベクトルPとPを次のように定義すると、平面の方程式は非常に簡潔な形になる。

12 2次元の平行移動変換： 　点P(x,y)をX方向にa,Y方向にbを移動させる変換の（非同次座標表現）式： 練習： 　上記の変換は、点Pの同次座標表現の列ベクトルに下記の行列を掛けることと等価であることを示しなさい。

13 2次元の回転変換： 　点P(x,y)を反時計まわりにqを回転する変換の（非同次座標表現）式： 練習： 　上記の変換は、点Pの同次座標表現の列ベクトルに下記の行列を掛けることと等価であることを示しなさい。

14 練習： 　点Pを反時計まわりにqを回転してから、X方向にa, Y方向にbを移動する変換行列を（同次座標表現で）書きなさい。