数楽（微分方程式を使おう！） ～第４章 他分野への応用（上級編）～

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1 数楽（微分方程式を使おう！） ～第４章 他分野への応用（上級編）～
数楽（微分方程式を使おう！） ～第４章　他分野への応用（上級編）～ 平成１９年９月２６日 技術１課　佐藤　強

2 第４章　他分野への応用（人口予測） 課題１：人口予測PartⅡ １階線形微分方程式から１階非線形微分方程式で 人口の増加予測を調べてみよう！ ←以前、この式を学びました。 ←今度はこの式を解いてみましょう。

3 第４章　他分野への応用（人口予測） おもむろに積分 一般解の完成！

4 第４章　他分野への応用（人口予測） 初期条件を代入して これが求める特殊解！

5 第４章　他分野への応用（人口予測） ←ここに注目！

6 第４章　他分野への応用（logistic） 課題２：ロジスティック微分方程式 より現実的なロジスティック微分方程式を解いてみよう！ 実はこの式に従って、人口が増加すると 人口は∞になってしまいます。 そこで、人口が少ないとき目立たず、 人口が多くなってくると抑制できる項 ブレーキ項を付加する

7 第４章　他分野への応用（logistic） ここで、 として ←これがロジスティック微分方程式 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ さあ、これを解いてください。変数分離法を使って！

8 第４章　他分野への応用（logistic） ここまではOKですね。 変数が分離できました！ ここでトリック！ この式の変形のことを 部分分数分解といいます

9 第４章　他分野への応用（logistic） OKですか？

10 第４章　他分野への応用（logistic） これで一般解完成！

11 第４章　他分野への応用（logistic） いつものように 初期条件を代入して ←これがロジスティック方程式 の特殊解である この答えに想いを馳せる♪

12 第４章　他分野への応用（logistic） t が十分小さいとき t が十分大きいとき、分母の がゼロになる

13 第４章　他分野への応用（logistic） 指数関数的な人口爆発がロジスティック方程式の 非線形項によるブレーキ効果によって抑制されて 一定値Mに飽和するということが判りました！

14 第４章　他分野への応用（logistic） このような曲線をジクモイド曲線という。 人口の場合はあまりこの曲線に従わないが、菌や昆虫の個体数の増加はよく説明できるとのことである

15 第４章　他分野への応用（等加速度運動） 課題３：等加速度運動（空気抵抗考慮） 時刻 t=0 で静止している「十分小さな」物体を地球上で落下させるとき、t 秒後の速度を求めましょう！　　但し、空気抵抗を考慮します。 空気抵抗　-bv 重力　-mg

16 第４章　他分野への応用（等加速度運動） この式どっかで見たことない？ これは非斉次式の解法の形と同じです。 これは一般解

17 第４章　他分野への応用（等加速度運動） 初期条件ｔ＝０でｖ＝０を代入 これが空気抵抗を受けながら落下する物体の速度

18 第４章　他分野への応用（等加速度運動） Excelでグラフを書いてみてください！

19 第４章　他分野への応用 　（コンデンサー回路） 課題４：コンデンサー回路 図に示す電気回路に流れる電荷Qを求めてみよう！ S R V０ C スイッチSを入れたとき 電荷 Q 又は電流 I を 求めてみましょう。

20 第４章　他分野への応用 　（コンデンサー回路） これも同じ

21 第４章　他分野への応用 　（コンデンサー回路） ここで、時定数ＲＣを １秒としてＥｘｃｅｌで 電流Ｉのグラフを 書いてください！