Presentation is loading. Please wait.

Presentation is loading. Please wait.

数理統計学第1回 1 数理統計学 ( 第一回) 確率変数とは? 浜田知久馬. 数理統計学第1回 2 世の中は不確定なことが多い 決まりきったことばかりとは限らない. 予想される値は決まっていてもばらつく. このようなとき,確率変数によって,物事 を確率的に記述できると便利なことが多 い.

Similar presentations


Presentation on theme: "数理統計学第1回 1 数理統計学 ( 第一回) 確率変数とは? 浜田知久馬. 数理統計学第1回 2 世の中は不確定なことが多い 決まりきったことばかりとは限らない. 予想される値は決まっていてもばらつく. このようなとき,確率変数によって,物事 を確率的に記述できると便利なことが多 い."— Presentation transcript:

1 数理統計学第1回 1 数理統計学 ( 第一回) 確率変数とは? 浜田知久馬

2 数理統計学第1回 2 世の中は不確定なことが多い 決まりきったことばかりとは限らない. 予想される値は決まっていてもばらつく. このようなとき,確率変数によって,物事 を確率的に記述できると便利なことが多 い.

3 数理統計学第1回 3 確率変数 X 条件 1 ) X が取り得る値はある範囲(標本空 間: sample space )に定まっている. 条件 2 ) X はある時点が過ぎると値が定まる 「実現値」が,それまでは値が不確定である. 条件 3 ) X の取り得る値についての確率分布は 定まっている.

4 数理統計学第1回 4 サイコロの目の例 条件 1 ) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 条件 2 )サイコロを投げると目は定まる 条件 3 ) P r{ X = i }= 1/6 i= 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 サイコロが壷の中で投げられていたら いかさまだったら

5 数理統計学第1回 5 隣の人の明日の登校時間 条件 1 ) 0 時~ 24 時 条件 2 )明日来てみればわかる. 条件 3 ) 8 時 50 分位を中心にして,ある バラツキを持った分布にしたがう. 明日自分が休んでしまったら. 総武線が遅れてしまったら.

6 数理統計学第1回 6 演習 1 )自分の身近なもので確率変数を 3 つあげ ること. 2 )条件 1 ),条件 2 ),条件 3 )を上げるこ と. 3 )条件 1 ),条件 2 ),条件 3 )を動かす要 因を考えること.

7 数理統計学第1回 7 天気予報より きょう 4/22 ( 月 ) の 天気 4/23 時間帯 6 時 -12 時 12 時 -18 時 18 時 -24 時 0 時 -6 時 降水確率 30% 20% 10% 10% 予想気温 ( ℃ )18 / - 23 / 13 週間予報 4/24 ( 水 ) 4/25 ( 木 ) 4/26 ( 金 ) 4/27 ( 土 ) 4/28 ( 日 ) 降水確率 30% 50% 50% 40% 20% 予想気温 ( ℃ ) 23/14 20/15 16/12 19/10 21/12

8 数理統計学第1回 8 統計工学Ⅱの得点 01224364860728496 x 0 0.01 0.02 密 度 20406080 x x

9 数理統計学第1回 9 統計工学ⅠとⅡの平均得点 パーセント点 100% 最大値 90.0000 75% Q3 60.0000 50% 中央値 33.5000 25% Q1 23.5000 0% 最小値 4.0000 範囲 86.0000 Q3-Q1 36.5000 最頻値 60.0000 99.0% 90.0000 97.5% 80.0000 95.0% 80.0000 90.0% 80.0000 10.0% 15.0000 5.0% 13.0000 2.5% 10.0000 1.0% 4.0000 モーメント N 88.0000 平均値 42.6477 標準偏差 22.9863 歪度 0.2988 無修正平方和 206025.000 変動係数 53.8980 重みの合計 88.0000 合計 3753.0000 分散 528.3687 尖度 -1.2634 修正平方和 45968.0795 標準誤差 2.4503

10 数理統計学第1回 10 確率変数と実現値 確率変数:ある時点までは,確率分布に よって記述される. 実現値:ある時点を過ぎて定まった値のこ とを実現値または観測値と呼ぶ 確率変数は大文字で,実現値は小文字で表 現するのが一般的である. X → x

11 数理統計学第1回 11 確率変数の分布の記述法 1 )確率(密度)関数 2 )(累積)分布関数 3 )%点 4 )期待値,分散 5 )モーメント 6) 母関数

12 数理統計学第1回 12 確率分布の記述 確率分布とは,標本空間における確率とい う名の量の分布である. 確率の和は 1 であ る 離散分布:確率関数 Σ p (x) = 1 連続分布:確率密度関数 ∫ f( x )d x = 1 p (x) ≧ 0 ,f (x) ≧ 0 身長は離散分布か,連続分布か? お金は離散分布か,連続分布か?

13 数理統計学第1回 13 サイコロの目の確率分布 1/6 1 2 3 4 5 6

14 数理統計学第1回 14 連続分布の確率 9:00 ちょうどに大学に来る確率はいくらか? 9:00 と 9:10 に来る可能性はどちらが大きい か? 9:00 から 9:10 に来る確率は? 8:59 : 30 から 9 : 00 : 30 に来る確率は? 確率密度( 1/ 時間)は定義できる. ある区間( a , b) に入る確率: ∫ a b f(x)d x

15 数理統計学第1回 15 正規分布の確率密度関数,

16 数理統計学第1回 16 標準正規分布の確率密度関数

17 数理統計学第1回 17 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Gauss.html Carl Friedrich Gauss 1777-1855 ガウスについては下記に詳しい

18 数理統計学第1回 18 分布関数 確率分布の別の記述方法 F(x):x以下になる確率( 0 ~ 1) 離散型の分布: 例) サイコロで 3 以下になる確率 連続型の分布: 例) 9 : 00 までに来る確率

19 数理統計学第1回 19 サイコロの目の例 1 2 3 4 5 6 6/6 5/6 4/6 3/6 2/6 1/6 0/6

20 数理統計学第1回 20 正規分布の例

21 数理統計学第1回 21 分布関数と確率関数 離散型の分布 p(x)=F(x)-F(x-) 連続型の分布 f(x)=dF(x)/dx * x-の意味はxの-の側から単調に 増加して収束することを意味する.

22 数理統計学第1回 22 H13 年度 17 歳の体格 もしある確率変数の分布が定まれば, 様々 な 情報を得ることができる. 身長 平均 SD 体重 平均 SD 男子 170.9 5.76 62.8 10.47 女子 158.0 5.32 53.2 8.11 仮に正規分布に従っているとすれば, ある 範囲に入る確率, ある値を超える確率を 分布関数, 確率密度関数から求められる.

23 数理統計学第1回 23 演習 コインを 4 枚投げたときの, 表が出る回数の 確率関数と分布関数を記述せよ.

24 数理統計学第1回 24 表の回数の分布 二項分布(n, p) p(x)= n C x p x ( 1- p) n - x 表表表表 表表表裏 表表裏表 表裏表表 裏表表表 表表裏裏 表裏表裏 裏表表裏 表裏裏表 裏表裏表 裏裏表 表 裏裏裏表 裏裏表裏 裏表裏裏 表裏裏裏 裏裏裏裏 確率= (1/2)× (1/2) ×(1/2) ×(1/2) = 1/16

25 数理統計学第1回 25 SASのプログラム例 data data;phi=0.50;n=4; do y=0 to 4; p=pdf('binomial',y,phi,n); F=cdf('binomial',y,phi,n); output;end; proc gplot;plot p*y/vzero; symbol1 i=needle; proc gplot;plot f*y/vzero; symbol1 i=steplj;

26 数理統計学第1回 26 確率関数

27 数理統計学第1回 27 分布関数

28 数理統計学第1回 28 EXCELのBINOMDIS T関数 2 項分布の確率関数 or 分布関数 BINOMDIST( 成功数, 試行回数, 成功率, 関数形式 ) 成功数 試行回数 に含まれる成功の回数を指定 試行回数 独立試行の回数を指定 成功率 1 回の試行が成功する確率を指定 関数形式 0 :確率関数 1 :分布関数 例 BINOMDIST(1,4,0.5,0) = 0.25 BINOMDIST(1,4,0.5,1) = 0.3125

29 数理統計学第1回 29 EXCELによる計算

30 数理統計学第1回 30 %点: percentile 分布関数:確率密度関数の積分 → 簡単な関数では表せない 数表 x →F(x) F(x) = α → x 下側 100α %点: F (x)= α となるxの値 上側 100α %点: F (x)= 1 - α となるxの 値 両側 100α %点: F (x)= 1 - α/2 となるx の値 50 %点:メジアン 25,75 %点:四分 位点

31 数理統計学第1回 31 NORMDIST 関数 正規分布の確率密度関数 or 分布関数 NORMDIST(x, 平均, 標準偏差, 関数形式 ) x 関数に代入する数値を指定 平均 分布の算術平均 を指定 標準偏差 分布の標準偏差を指定 関数形式 0 :確率密度関数 1 :分布関 数 例 NORMDIST(-1,0,1,0) = 0.241971 NORMDIST(-1,0,1,1) = 0.158655

32 数理統計学第1回 32 NORMINV 関数 標準正規累積分布関数の%点の値を返す。 書式 NORMINV( 確率, 平均, 標準偏差 ) 確率 正規分布における確率を指定 平均 分布の算術平均 ( 相加平均 ) を指定 標準偏差 分布の標準偏差値を指定 例 NORMINV(0.95,0,1) = 1.644853

33 数理統計学第1回 33 正規分布の数表の作成

34 数理統計学第1回 34 SAS の乱数関数 NORMAL(seed) RANNOR(seed) 正規分布 RANBIN(seed,n,p) 2 項分布 RANCAU(seed) Cauchy 分布 RANEXP(seed) 指数分布 RANGAM(seed,alpha) ガンマ分布 RANPOI(seed,lambda) ポアソン分布 RANTBL(seed,p1,..pi,..pn) 指定した重み RANTRI(seed,h) 三角分布 RANUNI(seed) UNIFORM(seed) 一様乱数

35 数理統計学第1回 35 分布関数の%点 BETAINV(p,a,b) ベータ分布 CINV(p,df ) カイ 2 乗分布 FINV(p,ndf,ddf ) F 分布 GAMINV(p,a) ガンマ分布 PROBIT(p) 標準正規分布 TINV(p,df ) t 分布

36 数理統計学第1回 36 確率 ( 密度)関数 POISSON((lambda,n) ポアソン分布 PROBBETA(x,a,b) ベータ分布 PROBBNML(p,n,m)2 項分布 PROBCHI(x,df ) カイ 2 乗分布 PROBF(x,ndf,ddf )F 分布 PROBGAM(x,a) ガンマ分布 PROBHYPR(nn,k,x ) 超幾何分布 PROBNEGB(p,n,m) 負の 2 項分布 PROBNORM(x) 正規分布 PROBT(x,df ) スチューデントの t 分布

37 数理統計学第1回 37 演習1 指数分布(連続分 布) 機械(コンピュータ等)の故障するまでの時 間は指数分布にしたがうことが知られてい る. 指数分布では分布関数は F(x)=1 - exp( - λ x) となる. λ=1 として,指数分布の分布関数と確 率 密度関数を図示せよ. ヒント exp(- 1)=0.3679 ,exp(- 2)=0.1353 exp(- 3)=0.0498 ,exp(- 4)=0.0183

38 数理統計学第1回 38 演習2 ポアソン分布 ( 離散分 布) 稀な事象(交通事故等)の生起数はポアソン 分布にしたがうことが知られている. ポアソン分布では確率関数は p (x)= λ x exp( - λ ) / x! x= 0,1,2, ・・・ となる. λ=2 として,ポアソン分布の分布関数 と 確率関数を図示せよ. ヒント exp(- 2)=0.1353


Download ppt "数理統計学第1回 1 数理統計学 ( 第一回) 確率変数とは? 浜田知久馬. 数理統計学第1回 2 世の中は不確定なことが多い 決まりきったことばかりとは限らない. 予想される値は決まっていてもばらつく. このようなとき,確率変数によって,物事 を確率的に記述できると便利なことが多 い."

Similar presentations


Ads by Google