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第4日目第1時限の学習目標 3つ以上の平均値の差の検定(分散分析)の概要を知る。 (1)分散分析の例を知る。

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1 第4日目第1時限の学習目標 3つ以上の平均値の差の検定(分散分析)の概要を知る。 (1)分散分析の例を知る。
 (1)分散分析の例を知る。  (2)分散分析の広がりと基本的デザインについ     て学ぶ。  (3)要因の効果の検定方法を学ぶ。  (4)分散分析の基本用語を学ぶ。

2 3つ以上の平均値の差の検定(1) 分散分析例(1)
3つ以上の平均値の差の検定(1)        分散分析例(1) 12h 24h 36h 48h 1 3 4 7 2 6 5 8 9 10 11 睡眠遮断実験データ    (Kirk, 1985) 要因ー睡眠遮断 要因数ー1 要因の水準ー4   12h, 24h, 36h, 48h の睡眠遮断条件 サンプル数ー各水準に8名づつ無作為割付 従属変数ー手先の鈍感さ 完全無作為化デザイン ANOVA

3 3つ以上の平均値の差の検定(2) 分散分析例(2)
3つ以上の平均値の差の検定(2)        分散分析例(2) 社会的スキルと父母への甘えの関連データ(18年度卒業生稲垣さんデータ) 要因ー父・母への甘え 要因数ー2 要因の水準-各2   (甘えの有無) サンプル数ー男65名 従属変数ー社会的スキルの6因子のそれぞれ 完全無作為化2要因デザイン ANOVA    父 父親への甘え有り 父親への甘え無し 母親への甘え有り 母親への甘え無し

4 3つ以上の平均値の差の検定(3) 分散分析例(3)
3つ以上の平均値の差の検定(3)        分散分析例(3) ミラーリエル錯視実験 (18年度計量心理学演習  受講者データ) 要因ー斜線分の長さ 要因数ー1 要因の水準ー3 サンプル数ー12名 従属変数ー錯視量 (単位mm) 1要因反復測定デザイン ANOVA 15mm  条件 30mm 45mm    1 17.8 18.5 19.5   2 25.8 30.5 28.8   . .  12 21.0 29.0 31.5

5 3つ以上の平均値の差の検定(4) 分散分析例(4)
3つ以上の平均値の差の検定(4)        分散分析例(4) 反応時間実験データ    (18年度修士2年       金田君データ) 要因ー反応形態と刺激の中立性 要因数ー2 要因の水準ー反応形態3、刺激の中立性2 サンプル数ー25名 従属変数ー反応時間 2要因反復測定デザイン ANOVA A1 B1 B2 A2 A3 1 240 218 437 439 485 567 2 197 195 267 382 366 363 25 256 301 411 416 407 480

6 3つ以上の平均値の差の検定(5) 分散分析の広がり(1)
3つ以上の平均値の差の検定(5)    分散分析の広がり(1) 3つ以上の平均値の差の検定の方法である分散分析には、いろいろなものが知られている。 一般には、この種の方法は、研究者が関心を持つ従属変数に対して影響を持つと考えられる多くの独立変数、すなわち要因のうち、少数の要因に絞り他はできる限り統制し、少数要因の効果の有無を統計的に検討する方法の全体を実験計画法 (design of ex- periment 又は experimental design) と呼ぶが、狭義にはそれによる分析手続きを分散分析 (analysis of variance, 略して ANOVA) と呼ぶ。

7 3つ以上の平均値の差の検定(6) 分散分析の広がり(2)
3つ以上の平均値の差の検定(6)    分散分析の広がり(2) 分散分析は、狭義には1変量分散分析を指すが、広義にはそれのみでなく、共分散分析 (analysis of co- variance, 略して ANCOVA)、多変量分散分析 (multivariate analysis of variance, 略して MANOVA)、及び一般多変量分散分析 (general multivariate analysis of variance, 略して GMANOVA) が含まれる。 また、複数の条件(分散分析では、これを処理とか水準とかいうことがある)に対して、同一被験者が反応させられるデザインとして、反復測定(測度)分散分析(repeated measures ANOVA) がある。

8 3つ以上の平均値の差の検定(6) 分散分析の広がり(3)
3つ以上の平均値の差の検定(6)    分散分析の広がり(3) この授業では、それらのうち、要因数が2つまでの基本的な4つの方法について、まず簡単に紹介する。 それらは、完全無作為化デザイン (completely ran-domized design)、完全無作為化要因デザイン (completely randomized factorial design)、乱塊法 (randomized block design)、分割区画デザイン (split-plot design) である。 分散分析では、つぎに示すように、データを収集する前に、研究目的に照らして、適切な要因及び被験者を計画的に集める必要がある。

9 3つ以上の平均値の差の検定(7) 完全無作為化デザイン(CR-p)
当該実験での主要な1つの因子の各水準に対して、各被験者を無作為に割り付ける方法。 CR-p デザインでは、Fisher の実験計画法の3原則のうちどれとどれを使うか? 水準 観測値 均質な被験者集団 A1 ・・・ Ap

10 3つ以上の平均値の差の検定(8) 完全無作為化2要因デザイン(CRF-pq)
当該実験での主要な2つの因子の各水準に対して、各被験者を無作為に割り付ける方法。 CR-p デザインとどこが異なる? B1 Bq A1 ׃ 均質な被験者集団 Ap

11 3つ以上の平均値の差の検定(9) 乱塊法デザイン(RB-p)
当該実験での主要な1つの因子の各水準に対して、均質でない被験者を1つの局外因子によりブロック化し、ブロックごと無作為に割り付ける方法。 RB-p デザインでは、Fisher の実験計画法の3原則のうちどれとどれを使うか? 均質でない被験者を 1つの局外因子で分ける BL1 BLk ・・・ A1 ・・・ ・・・ Ap BLK BL1 BL2 ・・・

12 3つ以上の平均値の差の検定(10) 分割区画デザイン(SPF-p.q)
当該実験で重要度の異なる2つの因子の水準に対して、各被験者を2つの局外因子によりブロック化し2段階の無作為割り付けにより被験者を割り付ける方法。 RB-p デザインとどこが異なる? 均質でない被験者を2つの 局外因子によりブロック化 B1 Bq A1 BL(1)1 BL(1)2 ׃ ׃ ׃ ׃ Ap BL(1)p BL(2)1 BL(2)r BL(2)2

13 3つ以上の平均値の差の検定(11) 条件間での平均値の差の持つ意味
3つ以上の平均値の差の検定(11)   条件間での平均値の差の持つ意味 睡眠遮断データでは、12時間、24時間、36時間、48時間の睡眠遮断を課す4グループ各8名の手先の敏捷性(鈍感度)のデータの平均値は、睡眠遮断時間が増すにつれて、増大している。 水準間での平均値の違いは、手先の敏捷性に対する睡眠遮断という要因の効果の有無を表している、と考えられる。 まず、睡眠遮断要因の効果の検定結果が分散分析ではどのように示されるのかを、統計ソフト SAS を用いてみてみよう。

14 3つ以上の平均値の差の検定(12) SAS による分散分析の出力例
変動因 自由度 平方和 平均平方  F 値 Pr>F Model 3 194.5 63.83 44.28 .0001 Error 28 41.0 1.46 Corrected total 31 235.5 Anova 平均 平方 level

15 3つ以上の平均値の差の検定(13) SAS による分散分析の出力例
変動因 平方和 自由度 平均平方  F値 p値 要因名 SS_A I-1 / (I-1) U_A / U_E p  誤差 SS_E N-I /(N-I)   計 SS_T N-1

16 3つ以上の平均値の差の検定(14) SAS による分散分析の出力例
構造模型ー分散分析では、どのデザインでも、それにより得られるデータ y を実現値とする確率変数 Y に対するモデル(構造模型)を仮定する。例えば、CR-p デザインでは、 ここで、μは一般平均、αi は因子 A の第 i 水準の 主効果、Eik は誤差項である。

17 3つ以上の平均値の差の検定(15) 分散分析での3つの仮定
3つ以上の平均値の差の検定(15)    分散分析での3つの仮定 (1)正規性     (構造模型の)誤差項は正規分布に従う (2)等分散性     各セルの(母集団での)分散はすべて     等しい (3)独立性     従属変数の値は互いに独立である

18 3つ以上の平均値の差の検定(16) 基本用語1-平方和(1)
3つ以上の平均値の差の検定(16) 基本用語1-平方和(1) 例えば、分散分析表の中の平方和の1つである SSAは、第 i 水準の Ni 人のサンプルの従属変数の値の平均を実現値とする確率変数から全サンプルの平均を引いたものの二乗和(平方和)である: は、第 i 水準の主効果 αi と、誤差に関わる項であ ることが、うえの構造模型を用いると証明できる。

19 3つ以上の平均値の差の検定(17) 基本用語1-平方和(2)
3つ以上の平均値の差の検定(17) 基本用語1-平方和(2) 同じく分散分析表の中の平方和の1つである SS E は、第 i 水準の k 番目のサンプルの値 yik を実現値とする確率変数 Yik から第 i 水準の Ni 人のサンプルの平均を引いたものの二乗和(平方和)である: は、誤差に関わる項のみから成ることが、先ほどと同 様、構造模型から証明できる。

20 3つ以上の平均値の差の検定(18)         平均平方 つぎに、分散分析表の中の平均平方の1つである UEは、誤差平方和 SSE を N – I で割ったものである: 同様に、UA は、要因平方和を I -1 で割ったもので、

21 3つ以上の平均値の差の検定(19) CR-p デザインにおける F 値の意味(1)
として定義されることがわかる。

22 3つ以上の平均値の差の検定(20) CR-p デザインにおける F 値の意味(2)
結局、CR-p デザインに限らず、一般に分散分析では、テキスト p.8 上方の枠内にまとめたように、   分散分析ではデータの全変動を、組み込 んだ因子の変動と誤差変動に分解し、誤差 変動に比べて当該因子の変動がどれ程大 きいのかを検討する。


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