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線形代数学 4.行列式 吉村 裕一.

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1 線形代数学 4.行列式 吉村 裕一

2 4.1 面積、体積(1) 平面 上の二点A,Bをとるとき、座標原点Oと結ぶ線分OA、OBの位置ベクトルを以下のように表す。
4.1 面積、体積(1)   平面  上の二点A,Bをとるとき、座標原点Oと結ぶ線分OA、OBの位置ベクトルを以下のように表す。 今Sの面積を   の関数と考え、 と表し、以下のような性質を持つ (ⅰ)                   (ⅱ)任意のλに対して (ⅲ)                   (ⅳ)

3 4.1 面積、体積(2) 行列式の表し方 任意の に対し であるので よって と求まる。3次の行列式についても同様にして求めることができる。

4 4.2 行列式(1) ・行列式の定義 n次正方行列Aに対する行列式を次のように定義する この行列式は次の性質をみたす関数として定義する
4.2 行列式(1) ・行列式の定義 n次正方行列Aに対する行列式を次のように定義する この行列式は次の性質をみたす関数として定義する 1 (交代性)任意のi≠jに対し 2 (多重線形性)任意のiに対し 3 (単位の定義)単位行列Iに対し

5 4.2 行列式(2) 主な定理 (ⅰ) n個の列ベクトルのどれか2つが等しければ、行列式は0である。 (ⅱ) λをスカラーとするとき
4.2 行列式(2) 主な定理 (ⅰ) n個の列ベクトルのどれか2つが等しければ、行列式は0である。 (ⅱ) λをスカラーとするとき (ⅲ) 任意のスカラーλと任意のi≠jに対し  を      でおきかえても行列式の値は変わらない。 (ⅳ)n次行列式はAの関数として唯1つ存在しその形は (ⅴ)

6 備考 は(1 2 ・・・ n)を       に並べ替える のに必要なだけ(-1)のべきを作ったもの 例:

7 4.2 行列式(3) (ⅵ) n個のn次元ベクトル の関数 が行列式の定義の条件のうち が成立する。 1 (交代性)任意のI≠jに対し
4.2 行列式(3) (ⅵ) n個のn次元ベクトル      の関数        が行列式の定義の条件のうち  1 (交代性)任意のI≠jに対し 2 (多重線形性)任意のIに対し をみたしているとき、 が成立する。

8 4.2 行列式(3) サラスの方法

9 4.3 行列式とその性質(1) 余因子 定義:行列式detAにおいて を交差点とする行ベクトルと列ベクトルを除いて 作る小行列を
4.3 行列式とその性質(1) 余因子 定義:行列式detAにおいて  を交差点とする行ベクトルと列ベクトルを除いて        作る小行列を 赤枠部分を除いて作った行列 とし、それに(i,j)に対応する符号      をかけたものを とおき、detAの(i,j)-余因子(または余因数)といいこれを用いてdetAを以下のように表せる。

10 4.3 行列式とその性質(2) 余因子を並べて作った行列を とおき、Aの余因子行列という。また、detA≠0ならAは正則であり、
4.3 行列式とその性質(2) 余因子を並べて作った行列を とおき、Aの余因子行列という。また、detA≠0ならAは正則であり、 逆行列  を次のように表すことができる。 また、連立一次方程式 において、係数行列Aの行列式が0でないならば解xは以下の式より求まる。 :Aの列ベクトル

11 4.4 行列の積と行列式(1) (1) 2つのn次正方行列A、Bに対し (2) Aが正則ならdetA≠0
4.4 行列の積と行列式(1) 定理 (1)  2つのn次正方行列A、Bに対し (2)  Aが正則ならdetA≠0   (3)  Aを(m,n)-行列、Bを(n,m)-行列としたとき(m,m)-行列AB    の行列式は (i) m>nならば det(AB)=0 (ii) m<nならば det(AB)=

12 4.4 行列の積と行列式(2) が一次独立であるためにはグラム行列式が0でなければいけない。 グラムの行列式
4.4 行列の積と行列式(2) グラムの行列式 m個のn次元ベクトル       にたいして次の行列式をグラムの行列式という。       が一次独立であるためにはグラム行列式が0でなければいけない。

13 宿題 1.次の行列式を計算せよ。 2.次の行列は正則かどうか調べ正則であるならば逆行列を調べよ。 3.行列式を用いて次の方程式を解け


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