電磁気学C Electromagnetics C 5/28講義分 電磁波の反射と透過 山田 博仁.

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1 電磁気学C Electromagnetics C 5/28講義分 電磁波の反射と透過 山田 博仁

2 電磁波における重要な関係式 伝搬速度: v 真空中の光速度: c 波長: λ 周波数: f 角周波数: ω 周期: T 波数: k
電場(電界)ベクトル: E 磁場(磁界)ベクトル: H 波数ベクトル: k インピーダンス: Z 真空のインピーダンス: Z0 電界振幅: |E| 磁界振幅: |H| 電磁場のエネルギー密度: u ポインティングベクトル: S (等方性媒質の場合) 電磁場の運動量密度: g

3 正弦波 +x 方向に伝搬する正弦波 波数 角周波数 位相角 従って、波数と角周波数の比は、 x1 x = 0 t = T x = λ
波の伝搬速度 t1 もし、時間を止めて(t = t1)見てみると、 もし、場所を決めて(x = x1)見てみると、 +x -x +t -t

4 参考) 伝送線路上の電圧波の伝搬 ZL E x 入射波 反射波
ej(ωt±βx) = cos(ωt±βx)+j sin(ωt±βx)は、∓x方向に進む角周波数ω, 位相定数β の正弦波 vp: 位相速度 ここで、 x は波の振幅を表し、α > 0 (α < 0)なら、xが増大する方向に振幅が増大(減少)する 因みに、波の包絡線の形状が伝わる速度を群速度: vgという x

5 異なる媒質の界面における境界条件 誘電率 e1, e2 の異なる媒質が接している界面 界面には真電荷が面密度 se にて存在 n -n
5.3 (教科書p.64) の復習 誘電率 e1, e2 の異なる媒質が接している界面 界面には真電荷が面密度 se にて存在 n -n 単位法線ベクトル + 界面での 真電荷密度 se 界面 e1 e2 S D1 界面での電束密度 D に対して、どのような条件が満たされなければならないか? D2 電場に関するGaussの法則を、界面に 存在する高さが無限小の円柱に適用 Gaussの定理 従って、 上式は、任意の面 S に対して成り立つことから、 表面電荷 se が存在しなければ、

6 異なる媒質の界面における境界条件 誘電率 e1, e2 の異なる媒質が接している界面 e1 e2 界面 Dh Dl t: 単位接線ベクトル
DS C Faradayの電磁誘導の法則を、図のように界面の一部を囲む高さ Dh が無限小の長方形 DS に適用 ここで、B/t は境界面の近くで有限であるから、DS→0の極限で右辺の積分はゼロになる 従って、Stokesの定理を用いると左辺は、 従って、 上式は、任意の Dl の長方形に対して成り立つことから、

7 異なる媒質の界面における境界条件 透磁率 m1, m2 の異なる媒質が接している界面 単位法線ベクトル
9.4 (教科書p.146) の復習 透磁率 m1, m2 の異なる媒質が接している界面 界面での磁束密度 B に対して、どのような条件が満たされなければならないか? n -n 単位法線ベクトル m1 m2 界面 S B1 B2 磁場に関するGaussの法則を、界面に 存在する高さが無限小の円柱に適用 Gaussの定理 従って、 上式は、任意の面 S に対して成り立つことから、 よって、

8 異なる媒質の界面における境界条件 透磁率 m1, m2 の異なる媒質が接している界面 ie: 界面での 伝導電流密度 ie
Dh Dl t: 単位接線ベクトル t H1 界面での磁場 H に対して、どのような条件が満たされなければならないか? C H2 DS Ampere-Maxwellの方程式を、図のように界面の一部を囲む高さ Dh が無限小の長方形 DS に適用 ここで、界面に表面電流が存在しない限り、ie も D/t も境界面の近くで有限であるから、DS→0の極限で右辺はゼロになる 従って、Stokesの定理を用いると左辺は、 従って、

9 異なる媒質の界面における境界条件 E1 E2 e1 e2 電場の接線成分は連続 電束密度の法線成分は連続 D1 D2 e1 e2 表面電荷が
存在しない場合 t は界面に平行な単位接線ベクトル n は界面に垂直な単位法線ベクトル H1 H2 m1 m2 磁場の接線成分は連続 磁束密度の法線成分は連続 B1 B2 m1 m2 表面電流が 存在しない場合

10 界面での反射と透過 2種類の媒質が x-y 平面 (z = 0) を境に接しており、 z > 0 を媒質Ⅰが、 z < 0 を媒質Ⅱが満たしている。平面電磁波が媒質Ⅰから媒質Ⅱに入射角 qi で斜め入射し、その一部が反射角 qr で反射され、またその一部が透過角 qt で媒質Ⅱ内に透過する場合を考える。 x z 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ Ei Hi Er Hr ki kr kt Ht Et y qi qr qt 入射波、反射波および透過波の波数ベクトルと角周波数をそれぞれ (ki, wi), (kr, wr) および (kt, wt) とし、電場ベクトルは図の様に x-z 平面上にあり、磁場は y 成分のみとする。 波の位相は、 入射波 反射波 透過波

11 界面での反射と透過 境界面 (z = 0) 上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、 この条件が成立しなければならない
の関係より、媒質Ⅰ内で電磁波の速度 v1 は入射波、反射波に共通なので、 ならば、 v1 v2 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ qi qr qt ki kr kt 従って、 (反射の法則) (Snellの法則) v1 と v2 は、それぞれ媒質Ⅰ、Ⅱ内を進む電磁波の速度 比誘電率 n1, n2は各々、媒質Ⅰ, 媒質Ⅱの屈折率

12 界面での反射と透過 入射波 x z 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ Ei Hi Er Hr ki kr kt Ht Et y qi qr qt 反射波
透過波 Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の電磁インピーダンス

13 界面での反射と透過 次に、電磁波の振幅について考えると、界面での電場 E および磁場 H の接線成分の連続性より、 従って、
上式から Et を消去すると、 ここで、θi = θr の関係を用いている (電界反射係数) 上式から Er を消去すると、 (電界透過係数)

14 界面での反射と透過 因みに、磁界に対する反射係数および透過係数を求めてみると、
媒質の屈折率 n は、真空中での光の速度 c と媒質中での光の速度 v の比で表され、 特に、媒質1と2が非磁性の場合には m1 = m2 = m0 が成り立ち、それぞれの媒質の屈折率は真空の固有インピーダンス Z0 を用いて、 と表せる。 従って、反射係数と透過係数は、

15 界面での反射と透過 垂直入射の場合には、qi = qt = 0 とすることにより反射係数と透過係数は、 n1 n2 t r i
入射波のエネルギー流に対する反射波と透過波のエネルギー流の比をそれぞれ反射率 R および透過率 T という。 入射波、反射波、透過波のエネルギー流は、各々に対するポインティングベクトルの 大きさの界面に垂直方向成分であるから、 Z1 Z2 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ qi qr qt 入射波 反射波 透過波 入射エネルギー流 Si Sr 反射 エネルギー流 St 透過エネルギー流

16 界面での反射と透過 従って、反射率 R と透過率 T は、 屈折率 n1, n2 で表せば、反射率 R と透過率 T は、

17 演習: 界面での反射と透過 図に示す様に、2種類の媒質が x-y 平面 (z = 0) を境に接している。今、平面電磁波が媒質Ⅰから媒質Ⅱに入射角 qi で斜め入射する場合を考える。 x z 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ Ei Hi Er Hr ki kr kt Ht Et y qi qr qt 入射波、反射波および透過波の波数ベクトルと角周波数をそれぞれ (ki, wi), (kr, wr) および (kt, wt) とし、電場ベクトルは図の様に x-z 平面上にあり、磁場は y 成分のみとする。 電場、磁場ベクトルの向きを教科書とは違えております 波の位相は、 入射波 反射波 透過波 境界面 (z = 0) 上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、 この条件が成立しなければならない

18 演習: 界面での反射と透過 入射波 x z 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ Ei Hi Er Hr ki kr kt Ht Et y qi qr qt
反射波 透過波 Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の電磁インピーダンス

19 演習: 界面での反射と透過 界面での電場 E および磁場 H の接線成分の連続性より、 従って、 上式から Et を消去すると、
ここで、θi = θr の関係を用いている (電界反射係数) 反射係数や透過係数の値は、電界や磁界ベクトルの取り方によって異なる 上式から Er を消去すると、 (電界透過係数) 磁界に対する反射係数および透過係数は、