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5章  3次元形状を2次元面に投影する 3次元空間内に定義した形状を,2次元面上(ディスプレイのスクリーン面,プリンタの紙面など)に投影して表示するために必要になる変換について説明する.

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1 5章  3次元形状を2次元面に投影する 3次元空間内に定義した形状を,2次元面上(ディスプレイのスクリーン面,プリンタの紙面など)に投影して表示するために必要になる変換について説明する.

2 5.1 同次座標と射影変換 1. 同次座標 同次座標(homogeneous coordinate) 直交座標系の座標
5.1 同次座標と射影変換    1. 同次座標 同次座標(homogeneous coordinate) 直交座標系の座標 W=0の場合,(0,X,Y,Z)を[X,Y,Z]方向の 無限遠点を表すものとする.

3 同次座標による変換行列 CGの最も基本概念の1つに同次座標がある. 同次座標が必要な背景
平行移動,回転,スケーリング変換を一貫した方法で実現したい.すべて行列の乗算で実現できれば都合がよい. 平行移動の変換式は行列の乗算ではなく,行列の和となっている. 同次座標を用いれば,変換の処理を数学的に統一できる. 同次座標とは,n次元空間の点を(n+1)の座標で表す.(n+1)番目の座標はw座標とよぶ. たとえば,3次元空間の点(x,y,z)を(x,y,z,1)で書き直せば,点(x,y,z)の同次座標となる. 3次元空間 同次座標

4 5.1 同次座標と射影変換 2. 射影変換 同次座標(W,X,Y,Z)の空間を,射影空間(projective space)という.
5.1 同次座標と射影変換    2. 射影変換 同次座標(W,X,Y,Z)の空間を,射影空間(projective space)という. この変換のことを,射影変換(projective transformation)という. W’=Wの場合,特に,アフィン変換(affine transformation)という.

5 5.2 投影変換    1. 投影の一般式 x y z 投影面をxy平面とすると,z’=0であるから

6 5.2 投影変換    2. 射影変換による表現 同次座標で考える. 任意の点B 視点E 投影像の点P Z’=0であるから,上式を行列表現すると

7 5.2 投影変換    2. 射影変換による表現 透視投影(perspective projection)と平行投影(parallel projection) 投影面 投影中心 投影線 投影中心が 無限遠 透視投影 平行投影

8 5.3 平行投影 投影方向 z軸方向,投影面 xy平面 空間内の点B(x,y,z),平行投影された点P(x’,y’,z’)

9 5.4 透視投影 視点 E(0,0,h),投影面 xy平面,空間内の点 B(x,y,z),投影された点 P(x’,y’,z’)


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