確率の考え方の基礎 二項分布と正規分布 2006年1月25日 作成：本間聡

アウトライン 設問1：打者はヒットを打てるのか？ 二項分布から正規分布へ 設問２：サイコロを170回振る． 1の目が25～35回出る確率は？ 演習問題１：設問１の内容の繰り返し 二項分布から正規分布へ 設問２：サイコロを170回振る．　　　　　　　　　　　　　1の目が25～35回出る確率は？ 正規分布表の使い方 演習問題２：設問２の内容の繰り返し 例題：試験で上位の人の得点を求める

設問１ 打率が1/3のバッターがいる．3打席で少なくとも1本のヒットを打つ確率は？ その確率は１となるか？

「打率が1/3」の本質 ヒットを○，アウトを×とする． ○ 打率＝ ヒットを打った打席数 全打席数 成績を見ると，打率1/3と言っても， ある打者の成績 成績を見ると，打率1/3と言っても， 3打席中に必ず1本のヒットが出るわけではないことがわかる １ ２ ３ ４ ５ ６ ○ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ 打率＝ ヒットを打った打席数 全打席数 設問内容：打率が1/3のバッターがいる．3打席で少なくとも1本のヒットを打つ確率は？

3打席で，ヒット・アウトはどのように発生するのか？ 発生する事象と確率 各事象の発生確率は １打席 ２打席 ３打席 × ○ 2/3× 2/3× 2/3=（2/3）3 1/3× 2/3× 2/3= （1/3） （2/3）2 2/3× 1/3× 2/3= （1/3） （2/3）2 1/3× 1/3× 2/3= （1/3）2 （2/3） 1/3× 2/3× 1/3= （1/3）2 （2/3） 2/3× 1/3× 1/3= （1/3）2 （2/3） 1/3× 1/3× 1/3= （1/3）3 ヒット・アウトになる確率 ヒット：1/3 アウト：1-1/3=2/3 設問内容：打率が1/3のバッターがいる．3打席で少なくとも1本のヒットを打つ確率は？

3打席で少なくとも1本のヒットを打つ確率は？ ＝1ー（1本もヒットを打たない確率） ＝１－(2/3)3 ＝0.704 つまり，3打席で少なくとも1本のヒットを打つ確率は約７０％ 打率1/3というのは，3打席中に必ず1本のヒットを打つことではない． データ（成績）にはばらつきがあることを頭に入れること． 設問内容：打率が1/3のバッターがいる．3打席で少なくとも1本のヒットを打つ確率は？

ヒットになる確率p，アウトになる確率q（=1-p）とする 数学としての整理1 ヒットになる確率p，アウトになる確率q（=1-p）とする 各事象の確率 １打席 ２打席 ３打席 × ○ q3 pq2 p2q p3 ヒット0本の確率 q3 3C0 p0q3 ヒット１本の確率 3C1 p1q2 3pq2 ヒット２本の確率 3C2 p2q1 3p2q ヒット3本の確率 3C3 p3q0 p3 設問内容：打率が1/3のバッターがいる．3打席で少なくとも1本のヒットを打つ確率は？

数学としての整理２ 1回の試行で，事柄Aの起こる確率がpの試行を独立にn回繰り返した時，事柄Aの起こる回数Xとするとその確率は P(X=k)=nCkpkqn-k (k=0,1…, n) Xに対するP(X)の分布を2項分布Bin(n,p)と呼ぶ 二項分布の大原則は，試行毎に確率が変動しない．また，事象が起こる，起こらないと事のみを対象とする． （つまりは，先の打席の問題で，二塁打，ホームランなどとは考えず，ヒットを打ったかどうかが重要）

数学としての整理３ Bin(3, 1/3) 打率が1/3のバッターがいる．p=1/3，q=2/3 3打席で0本のヒットを打つ確率は？　→P(0)=3C0p0q3 = 0.296 　　 3打席で1本のヒットを打つ確率は？　→P(1)=3C1p1q2 = 0.444 3打席で2本のヒットを打つ確率は？　→P(2)=3C2p2q1 = 0.222 3打席で3本のヒットを打つ確率は？　→P(3)=3C3p3q0 = 0.037 Bin(3, 1/3)

MATLABで関数を定義する 自分で定義する関数はmファイルとして保存する必要がある． ファイル→新規作成→mファイル 編集画面が出てくる function[出力変数リスト]=関数名（入力引数リスト） 関数名と同じファイル名をつけて保存する 例）　「ファイル→新規作成→mファイル」で編集画面を出す．以下の文を入力する function y=test(x) h=0; for k=0:x h=h+k; end y=h ファイル名はtest.mとして保存 通常のmatlabの画面で test(3)と入力する．結果を表示する

MATLAB覚え書き Mファイル作成 Command Windowで<ファイル><新規作成><M-file>を実行する M-fileを記述する． 関数のファイルをc:\MATLABR11\WORKにセーブして実行を確認し，シャットダウン前に個人のフォルダにコピーして実行する ． ↑自分でパスを設定してもよい．Webページなどを参考に

組み合わせの関数のプログラム（MATLAB） nCr　を計算する関数staticC(n,r)の定義 mファイルを作成する． 新規作成→mファイル function result=staticsC(n,r) k=1; for m=0:r-1 k=k*(n-m)/(r-m); end result=k; ファイルの名前はstaticsC.mとする 約分 staticC(5,3)と打てば，5C3の結果を出力する

組み合わせの関数のプログラム（octave） Mファイルを作成せずに出来ます． ただし保存しないと，プログラム終了後 関数情報は消える nCr　を計算する関数C(n,r)の定義 >>function y=staticC(n,r) k=1; for m=0:r-1 k=k*(n-m)/(r-m); end y=k; 約分 staticC(5,3)と打てば，5C3の結果を出力する カレントディレクトリにmファイルを作成すれば，matlabと同様通常の関数として使用可能． ファイルはテキストエディタで作成すること．ファイル名は関数名と同じ，拡張子はmとする

スライド9のグラフ作成のプログラム >>n=3; ←試行回数を入力 >>p=1/3; ←事象Aが起きる確率 >>q=1-p; ←事象Aが起こらない確率 >>for m=0:n ←事象Aの起きる回数X B(m+1)=staticC(n,m)*p^m*q^(n-m);　 ←Xに対する発生する確率 end >>X=0:1:n; >>stem(X,B) BはP(X=k)=nCkpkqn-k (k=0,1…, n)を 計算している 試行回数を100回にした場合の結果を表示すること

演習問題１ セールスマンがある製品を売るために20件の家庭を訪問する．この製品が売れる確率は10%(p = 0.1) であるという．以下の問題に答えよ． 全く売れない確率を求めよ． 2 個売れる確率を求めよ． 3 個以上売れる確率を求めよ． サイコロを10回振る．1の目がX回出る確率P(X)を求めよ．さらにXに対するP(X)のグラフを作成せよ．

試行回数が増えるとどうなる？ 打率1/3の打者の話に戻そう．スライド9を見直すと，3回の打席で1本のヒットを打つ確率が最も高い値となったが，次に高い値となったのが1本もヒットを打てない場合． 打席数を増やしたらどうなるだろうか？

試行回数が増えるとどうなる？２ 試行回数に対する確率分布の形状変化 試行数nが大きくなると n/3を中心とする 対称な分布になる． →正規分布で近似される

設問２ サイコロを170回振る．　　　　　　　　　　　　　1の目が25～35回出る確率は？

設問２の一つの回答(1) スライド8より，1回の試行で，事柄Aの起こる確率がpの試行を独立にn回繰り返した時，事柄Aの起こる回数Xとするとその確率は P(X=k)=nCkpkqn-k (k=0,1…, n) 先ほどのプログラムで，1回の試行で事柄Aが起こる確率をp=1/6とし，試行回数を170として，回数X（=25～35）に対するP(X)を計算し，ぞれぞれを足し合わせる． 設問２の内容：サイコロを１７０回振る．1の目が２５～３５回出る確率は？

設問２の一つの回答(2) つまりは 約71% Bin(170,1/6) 右図のX=25～35の範囲の確率を足し合わせる 約0.709 　　　　約0.709 つまりは　約71% 確率P(X) 回数X 設問２の内容：サイコロを１７０回振る．1の目が２５～３５回出る確率は？

演習問題２ サイコロを100回振る １．　奇数の出る回数に対する確率分布を 計算し，図示せよ． ２．　10回～20回出る確率を求めよ

演習問題追加2-2 １，２，３の数字を記したカードがそれぞれ1枚，2枚，3枚合計6枚ある．Aさんが一枚のカードを引き，そのカードの数字をXとする．次にそのカードを戻してから，Bさんが一枚のカードを引き，そのカードの数字をYとする X+Yの確率分布を求めよ

正規分布を利用する理由 試行回数が多い場合，条件となるXについてすべての確率を求め，足し合わせるのは非常に時間と労力がかかる． スライド14と17を比較すると，試行回数が多い場合は設問１，設問2の確率分布は形が非常によく似ている． →正規分布で近似

期待値と分散値： 正規分布を利用するために必要なパラメータ 正規分布に行く前に，期待値と分散値について 二項分布Bin(n,p)に従う確率変数Xの期待値と分散を求める 確率pで起こる事柄Aが，n回の試行で起こる回数がX 第i回目の試行の結果について，以下の確率変数X1，X2・・・Xnを考える 各Xi　の確率分布は 事象Aが起きるか起きないかが重要で，事象自体には値はない物とする Xi 1　　　0 計 P p　　　q 1 但しq=1-p

2項分布の期待値と分散値 期待値及び分散値は 第i回目の試行の結果について，以下の確率変数X1，X2・・・Xnを考える 各Xiの期待値： 各Xiの分散値 n回試行を繰り返した場合（n倍して） 期待値及び分散値は

正規分布と確率 スライド12より試行回数nが大きくなると，期待値を中心に左右対称の確率分布になる． これは期待値E(x)=μ，分散値V(x)=σ2とした場合の正規曲線で近似される． 変曲点 変曲点 積分すると1となる μ-σ μ+σ

正規分布の特性 μ-σ μ+σ μ-2σ μ+2σ μ-3σ μ+3σ 約68％が含まれる 約95％が含まれる 約99.7％が含まれる

二項分布と正規分布の比較 サイコロを170回振った場合の１の目が出る確率について 赤：二項分布Bin(170,1/6)

正規分布の標準化(1) 正規分布N(μ，σ2)を標準正規分布N(0，1)に変換することで，より使い勝手が良くなる X Y Z μ μ－σ μ－σ μ＋σ －σ σ －１ １ ②σで割って標準偏差を１とする 　　　Z=Y/σ＝（X-μ）/σ ①μだけずらして平均を0とする（Y=X－μ）

正規分布の標準化(2) 標準正規分布に変換するとは XはN(μ，σ2)に従う ZはN(1，0)に従う とすること．その場合， 　期待値，分散値は→ XはN(μ，σ2)に従う ZはN(1，0)に従う 重要！

正規分布表の使用方法(1) 横軸上のメモリzから，色がついている領域の面積 I (z)を求めるものが正規分布表 z 使用例） 正規分布表よりz=1.25に対する値を探してみましょう． 縦軸より　1.2 横軸より　0.05 　　→青の範囲の確率は　　 　　　　　　　0.3944となる z 1.25

正規分布表の使用方法(2) Zが負となる領域も含む場合 ＋ ＋ I (0.67) =0.2486 I (1.12) =0.3686 正に折り返して計算する z=0.67 z=1.12 合計：0.6172

設問２の解法(1) サイコロを170回振る． 1の目が25～35回出る確率は？ まず，期待値E，分散値Vを求める． サイコロを170回振る．　　　　　　　　　　　　　1の目が25～35回出る確率は？ まず，期待値E，分散値Vを求める． E=npより，E=28.33・・・ V=npqより，V=23.61・・・ いま求める確率はP(25≤X ≤35)． より， 設問２の内容：サイコロを１７０回振る．1の目が２５～３５回出る確率は？

設問２の解法(2) ＋ ＋ I (0.69) =？？？ I (1.37) =？？？ 青の領域の面積を求める z=－0.69 z=1.37

設問２の解法(3) 標準正規分布表より求めた結果は？ →0.668 二項分布より求めた結果は →0.709 →0.715 標準正規分布表より求めた結果は？　→0.668 二項分布より求めた結果は　　　　　　　→0.709 試行回数が小さいと誤差が生じる． 試行回数が小さい場合は，以下のように補正値を加えると良い →0.715 試行回数が大きい場合は補正は必要ない 設問２の内容：サイコロを１７０回振る．1の目が２５～３５回出る確率は？

演習問題３ 10000人を対象にテストを実施した．その結果，平均点75点（満点は100ではない）．標準偏差が10点であった． 75点以上100点未満の人数を推定せよ． 60点以下の人数を推定しなさい． 点数をXとし，75-Y≦X ≦75+Yの範囲に入る確率を0.95とする．Yを求めよ

演習問題3-1 まずZ=（X-75)/10で変換 人数は10000×0.4938＝4938人と推定 人数は10000×0.0668＝668人と推定

2 よってY=19.6となる

演習問題４ 打率0.25の打者がいる．年間500回打席がまわってくる．ヒット（ホームランも含む）を140本以上打つ確率を求めよ． 標準正規分布表を使って 余裕のある方は二項分布を使って真の値を求めよ． （計算機を使って） サイコロを360回振って，１または２の目の出る回数がX=100～120となる確率を求めよ．

追加）センター試験の例題 ある年の大学入試センター試験のある科目で，受験者数450000人の得点は，平均点65点，標準偏差20点の正規分布に従うものとする． 70～90点の受験生は，ほぼ何人と考えられるか？ P(70≤X ≤90）を求めればよい　→自分でやること 得点上位50000人目の得点はいくらか？ 50000人目とは上位から50000/450000=0.111である． （次のスライドに解法を書いているので参照すること） 得点上位10000人目の得点はいくらか？ 自分で求めること

追加）センター試験の例題の続き Xは約89点 となるので，I(Z1)＝0.389より，正規分布表で 0.111 Z1 0.5-0.111 =0.389 上位 となるので，I(Z1)＝0.389より，正規分布表で 条件に合うZ1の値を求める．→Z1=1.22 Xは約89点 最後にZからXの値に変換する． 設問の内容：得点上位50000人目の得点はいくらか？ 50000人目とは上位から50000/450000=0.111である．