Kalman Filter Finite Element Method Applied to Dynamic Motion of Ground Yusuke KATO Department of Civil Engineering, Chuo University.

カルマンフィルタとは？ 予測 濾波 平滑 カルマンフィルター 宇宙工学 制御工学 通信工学 統計学 土木工学 経済学 Filtering noise ノイズで乱された観測値から 高精度な解析解を推定する 時間方向の推定 空間方向の推定 宇宙工学　制御工学　 通信工学 統計学 　 土木工学　 経済学 予測 　　観測区間より将来の状態を推定 濾波 現在の観測区間の状態を推定 　 本研究では有限要素法とカルマンフィルターの２つの手法を用います。 カルマンフィルタというのは、１９６０年代にＲ．Ｅ．Ｋａｌｍａｎと Ｒ．Ｓ．Ｂｕｃｙが発表したもので、逐次法のひとつです。 当初は宇宙工学の分野で、人工衛星やミサイルなどの軌道を推定する 目的で使われていました。 それが現在では制御工学や通信工学、土木工学、経済学にまで発展して 使われています。 このカルマンフィルタは、ノイズで乱された観測値から 高精度な解析解を推定することができます。 つまり、ある観測されたデータを確率過程に基づいた カルマンフィルタというフィルタリングをかけることで、 ゴミを除去するフィルタのようにノイズを取り除くことが出来ます。 これには３種類ありまして、一つ目は予測です。 現在の観測区間よりも将来の状態を推定することができます。 二つ目は濾波で、現在の観測区間の状態を推定できます。 また平滑というのもあり、過去の状態を推定を指します。 本研究では濾波を用います。 しかしこのカルマンフィルタは大きな欠点があり、 時間方向に対する推定しかできません。 つまり空間方向の推定を行うことができないことになります。 このままでは 平滑 　　観測区間より過去の状態を推定

What is the Kalman Filter? Mechaninal Human

Kalman Fileter + Finite Element Method Introduction Kalman Fileter + Finite Element Method KF-FEM is capable to estimate not only in time but also in space directions. KF-FEM is capable to estimate whole domain using limited observation data. The kalman filter finite element method is capable of estimating not only in time but also In space direcitions.

カルマンフィルターの基礎方程式 システムモデル 観測モデル : 状態ベクトル : 観測ノイズ : システムノイズ : 観測ベクトル As a state equation of Kalman filter , it is applied state space model. State space model consist system model and observation model. : 状態遷移行列 : 観測行列 : 駆動行列

ＫＦ－ＦＥＭ KF-FEM これらはカルマンフィルタのアルゴリズムです。 Ｋはカルマンゲイン、Ｐは推定誤差共分散、 Γは予測誤差協分散、ｘ＊は推定値で、ｘ＾は最適推定値です。 この赤い部分は状態遷移行列ですが、このマトリックスに 有限要素方程式を挿入することで、カルマンフィルタ有限要素法 となります。

Finite element equation This equation is finite element equation. S,L,R is expresses these.

State transition matrix F F matrix F mat State transition matrix F This matrix of finite element equation shows State transition matrix.

数値解析例１ 5m 10m 5m Nodes : 2577 5m Elements : 12008 Numerical Example 5m As a numerical example, This figure shows the finite element mesh. The total number of nodes and elements are 2577 and 12008, respectively. The image of this mesh is tunnel. Nodes : 2577 5m Elements : 12008

Observation Point Observation point 2 Observation point 1 The upper surface assumed the ground. The other surfaces is slip conditions. As a observation point, this point and this point are chosen. And estimation point is set to this point. Estimation point

External Force 弾性係数 密度 ポアソン比 Δt 1000KN/m2 Each parameter is expressed these. As a external force, Uniformly distributed load is added to tunnel face. This external force is image of blasting excavation. 1000KN/m2

Observation Data X-direction Y-direction Z-direction Time[s] Observation Data X-direction Acceleration[m/sec2] Time[s] Time[s] Observation data Y-direction Z-direction Acceleration[m/sec2] Acceleration[m/sec2] As a observation data, These figures show the analysis acceleration at this observation point using finite element method. This figure show the x-direction,y-direction,z-direction. In this research, add noise to observation data in order to ascertain the effect of Kalman filter finite element method. This research uses these observation data. Time[s] Time[s] Time[s]

Result<Acceleration> Acceleration[m/sec2] Time[s] X-direction Acceleration[m/sec2] Time[s] Result –acc- Acceleration[m/sec2] Time[s] Y-direction Z-direction As a result of acceleration, Red line is estimation value. Blue point is analysis value using FEM. Two line is in good agreement.

Result<Velocity> velocity[m/sec] X-direction Time[s] velocity[m/sec] Time[s] Result –vel- velocity[m/sec] Time[s] Y-direction Z-direction

Resule<displacement> displacement[m] X-direction Time[s] displacement[m] Result –dis- displacement[m] Z-direction Time[s] Y-direction Time[s]

Numerical Study 2 <Futatsuishi Quarry Site>

Numerical Study 2 <Futatsuishi Quarry Site> Observed points Blasting area

Numerical Study2＜Futatsuishi Quarry Site＞ Numerical Example As a numerical example, This model is kinowa mountain. Kinowa mountain located in miyagi prefecture. This figure shows the finite element mesh. The total number of nodes and elements are 5056 and 24961, respectively. Magnify the image for display. Nodes : 5056 Elements : 24961

External Force 密度 ポアソン比 Δt Each parameter is expressed these. As a external force, Uniformly distributed load is added to this face. In fact, blasting powder that is called unfo is used. This external force is image of blasting excavation.

Layer CM CL Young’s modulus CM C L This figure shows the image of layer. This green part is CM layer. This red part is CL layer.

Observation Points Observation Estimation This point and this point are observation points. Accelerometer set to these points.

Observation Data X-direction Y-direction Z-direction Time[s] Time[s] Acceleration[m/sec2] Time[s] Result –vel- Y-direction Z-direction Acceleration[m/sec2] Acceleration[m/sec2] As a result of acceleration at this point, Red line is analysis value using FEM. Blue line is observed data at this point. Compared with two lines, accuracy of calculation falls in comparison with this point. This reason depend on the Damping coefficient and young’s modules. So, Require ample examination of these Parameter. この点での解析解より精度が落ちている。 その理由として、この点より、距離や位置が荷重面より離れているため、 減衰係数や弾性係数の影響を受けている。 さらに適切な係数を考慮する必要がある。 Time[s] Time[s]

Estimation<acceleration> X-direction Acceleration[m/sec2] Time[s] Result –acc- 100 100 Y-direction Z-direction Acceleration[m/sec2] Acceleration[m/sec2] As a result of acceleration at this point, Red line is analysis value using FEM. Blue line is observed data at this point. Compared with two lines, Amplitude is almost same. Focus attention on observed value, occurred small amplitude vibration. But purpose of this research, peak amplitude, structure behavior are important. Therefore, good results are obtained in this case. Time[s] Time[s]