東北大 情報科学 田中和之,吉池紀子 山口大 工 庄野逸 理化学研究所 岡田真人 ガウス模型に基づく画像修復と 確率伝搬法 東北大 情報科学 田中和之,吉池紀子 山口大 工 庄野逸 理化学研究所 岡田真人 参考文献：田中和之, 統計力学を用いた確率的画像処理アルゴリズムの基礎 ---確率伝搬法と統計力学 ---, 計測と制御, Vol.42, No.8, pp.631-636, 2003.

ポイント 可解確率場モデルを用いた確率的画像処理に対して確率伝搬法はどの程度の精度が出せるのだろうか？ ハイパパラメータの推定も含めて検証したい．

画像修復の確率モデル 雑音 通信路 原画像 劣化画像

ベイズの公式と確率的画像処理 事前確率 劣化過程 原画像 劣化画像 画素 事後確率

周辺尤度最大化によるハイパパラメータ推定 周辺化 In the image restoration, we usually have to estimate the hyperparameters alpha and p. In statistics, the maximum likelihood estimation is often employed. In the standpoint of maximum likelihood estimation, the hyperparameters are determined so as to maximize the marginal likelihood defined by marginalize the joint probability for the original image and degraded image with respect to the original image. The marginal likelihood is expressed in terms of the partition functions of the a priori probabilistic model and the a posteriori probabilistic model. We can calculate these partition functions approximately by using the Bethe approximation. 劣化画像 原画像 周辺尤度

画像修復の劣化過程と事前確率 劣化過程 事前確率

ベイズの公式と画像修復の事後確率

周辺確率の導入

確率伝搬法（ベーテ近似） In the Bethe approximation, the marginal probabilities are assumed to be the following form in terms of the messages from the neighboring pixels to the pixel. These marginal probabilities satisfy the reducibility conditions at each pixels and each nearest-neighbor pair of pixels. The messages are determined so as to satisfy the reducibility conditions.

Message Update Rule of Loopy Belief Propagation Fixed-Point Equations The reducibility conditions can be rewritten as the following fixed point equations. This fixed point equations is corresponding to the extremum condition of the Bethe free energy. And the fixed point equations can be numerically solved by using the natural iteration. The algorithm is corresponding to the loopy belief propagation. Natural Iteration

画像修復 事前分布から生成された画像による数値実験 （ハイパパラメータα,σは周辺尤度最大化で決定） 原画像(α=0.001) 劣化画像 (σ=40) 平均場近似 確率伝搬法 厳密解

ガウス模型を用いた画像修復 原画像 劣化画像 平均場近似 確率伝搬法 MSE: 1409 MSE: 593 MSE: 324 MSE:306 厳密解 平滑化フィルター ウィーナーフィルター メジアンフィルター Finally, we show only the results for the gray-level image restoration. For each numerical experiments, the loopy belief propagation ca give us better results than the ones by conventional filters. MSE:306 MSE: 268 MSE: 369 MSE: 259

ガウス模型を用いた画像修復 原画像 劣化画像 平均場近似 確率伝搬法 MSE: 1512 MSE: 591 MSE: 325 MSE:315 厳密解 平滑化フィルター ウィーナーフィルター メジアンフィルター Finally, we show only the results for the gray-level image restoration. For each numerical experiments, the loopy belief propagation ca give us better results than the ones by conventional filters. MSE:315 MSE: 411 MSE: 545 MSE: 447

まとめ ベイズの公式と周辺尤度を用いた確率的画像処理において可解確率場モデルのひとつであるガウス模型を事前確率に採用した場合の確率伝搬法（ベーテ近似）の精度と性能の評価 ハイパパラメータ推定において平均場近似から確率伝搬法へと，厳密解で得られる結果に系統的に近づいている． 既存のフィルターに比較して平均場近似，確率伝搬法のいずれもMSEでみて同等以上の結果が得られるのみならず見た目にも良好な結果が得られている．