ベクトル積（外積） -> 後で回転に使う。 ベクトル積（外積） 　　-> 後で回転に使う。

高校の数学の復習：微分 𝑦=𝑘 𝑓(𝑥) 𝑦′=𝑘 𝑓′(𝑥) 𝑦= 𝑓(𝑥) +𝑔(𝑥) 𝑦′= 𝑓′(𝑥) +𝑔′(𝑥) 数２ 𝑦=𝑘 𝑓(𝑥) 𝑦′=𝑘 𝑓′(𝑥) （𝑘は定数） 𝑦= 𝑓(𝑥) +𝑔(𝑥) 𝑦′= 𝑓′(𝑥) +𝑔′(𝑥) 𝑦= 𝑓(𝑥) −𝑔(𝑥) 𝑦′= 𝑓′(𝑥) −𝑔′(𝑥) 数３ 𝑦= 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑦′= 𝑓′(𝑥) 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) 𝑔′(𝑥) 𝑦= 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑦′= 𝑓′(𝑥) 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝑔′(𝑥) 𝑔(𝑥) 2 問題（前ではやりません。各自やっておいてください） 　極限を使った微分の定義を使って上記を証明しなさい。

高校の数学の復習 𝑠= 𝑔(𝑡) 𝑔′(𝑡), 𝑠 ′ , 𝑑𝑠 𝑑𝑡 , 𝑑 𝑑𝑡 𝑔(𝑡) 数２ 変数がx, y以外の文字の場合 関数　　　　　の導関数を などで表す。 またこの導関数を求めることを、変数を明示して、 「sをtで微分する」ということがある。 𝑠= 𝑔(𝑡) 𝑔′(𝑡), 𝑠 ′ , 𝑑𝑠 𝑑𝑡 , 𝑑 𝑑𝑡 𝑔(𝑡)

内積（スカラー積） 𝑨,𝑩 𝑨∙𝑩 𝑩 𝑨 𝑨∙𝑩= 𝑨 𝑩 cos 𝜃 𝜃 教科書p.21 内積（スカラー積） 前期も学びました。 仕事の所 𝑨,𝑩 ベクトル　　　　　のなす角をθとする。 内積　　　　　　を、 𝑨∙𝑩 𝑨∙𝑩= 𝑨 𝑩 cos 𝜃 𝑩 𝑨 と定義する。（スカラー量） 𝜃 問題 𝑨= 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 , 𝑩= 𝐵 1 , 𝐵 2 , 𝐵 3 のとき、 𝑨∙𝑩= 𝐴 1 𝐵 1 + 𝐴 2 𝐵 2 + 𝐴 3 𝐵 3 を示せ。 　　（各自やっておいて下さい。前ではやりません。）

𝑩 𝑨 ベクトルＡ，Ｂのなす角 angle between Ａ and Ｂ 0≤ 𝜃≤𝜋 𝜃 sin𝜃≥ 0 cos𝜃≥ 0 ≤ 0 為す(なす）＝作る、する angle made byＡ and Ｂ angle between Ａ and Ｂ ふつうは、 angle = 角度 0≤ 𝜃≤𝜋 𝑩 𝜃 𝑨 ２つの角度のうち、小さい方を使う。 この範囲のθに対して、 ≤は≦と同じ sin𝜃≥ 0 0≤ 𝜃≤ 𝜋 2 cos𝜃≥ 0 ≤ 0 𝜋 2 ≤ 𝜃≤𝜋

内積の問題の解答 𝑩 𝑪 𝜃 𝑨∙𝑩= 𝑨 𝑩 cos 𝜃 𝑨 cos 𝜃 = 𝑨 2 + 𝑩 2 − 𝑪 2 2 𝑨 𝑩 𝑪=𝑩−𝑨 (1) 𝜃 𝑨 余弦定理より（高校の数学）、 𝑪 cos 𝜃 = 𝑨 2 + 𝑩 2 − 𝑪 2 2 𝑨 𝑩 訂正しました 𝑪=𝑩−𝑨 を代入。成分を入れれば、 cos 𝜃 = 𝐴 1 𝐵 1 + 𝐴 2 𝐵 2 + 𝐴 3 𝐵 3 𝑨 𝑩 (1)に代入すると、 𝑨∙𝑩= 𝐴 1 𝐵 1 + 𝐴 2 𝐵 2 + 𝐴 3 𝐵 3

𝑨,𝑩 ベクトル積（外積） 𝑨×𝑩 𝑨×𝑩 𝑨×𝑩 𝑨,𝑩 𝑩 𝑨 𝑨×𝑩 𝑨= 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 , 教科書p.51 ベクトル積（外積） 𝑨,𝑩 𝑨×𝑩 ベクトル　　　　　のなす角をθとする。 ベクトル積　　　　　　は、 　　ベクトル　　　　に垂直で、 　　大きさは　　　 のベクトルである。 θはAからBに向けて測り、右ねじのしまる(進む）向きを ベクトル　　　　　　の向きとする。 𝑨×𝑩 𝑨,𝑩 𝑩 𝑨 𝑨×𝑩 = 𝑨 𝑩 sin𝜃 𝑨×𝑩 𝑨= 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 , 𝑩= 𝐵 1 , 𝐵 2 , 𝐵 3 に対して、 𝑨×𝑩 の成分は 𝑨×𝑩= 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2 , 𝐴 3 𝐵 1 − 𝐴 1 𝐵 3 , 𝐴 1 𝐵 2 − 𝐴 2 𝐵 1 になる （後で証明する問題が出てきます）

補足 右ネジとは 右ネジ：ネジを締めるときに、時計回りに回す。 ほとんどのネジは右ネジ。 右利きの人が締めやすい方向。 左ネジはいつ使うか？ 　　ほとんどのネジは右ネジ。 　　右利きの人が締めやすい方向。 左ネジはいつ使うか？ 　例１：扇風機の羽根を軸につけるときは、 　　　左ネジになっている。 　　　軸が時計回りに回るので、締まる方向になる。 　例２：自転車のペダルは、左足側は、左ネジで締めている。 　　　ペダルを外から見て反時計回りに回すので、 　　　締まる方向になる。

成分の覚え方 𝑨×𝑩= 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2 , 𝐴 3 𝐵 1 − 𝐴 1 𝐵 3 , 𝐴 1 𝐵 2 − 𝐴 2 𝐵 1 1 2 3 1 ① ② ③ 𝑨 𝑩 第１成分 ① 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2

訂正 9 5 0 9 6 0 1 6 ベクトル積の計算方法 𝑨 𝑩 𝑨 𝑩 𝑨= 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 , 𝑨= 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 , 𝑩= 𝐵 1 , 𝐵 2 , 𝐵 3 𝑨×𝑩= 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2 , 𝐴 3 𝐵 1 − 𝐴 1 𝐵 3 , 𝐴 1 𝐵 2 − 𝐴 2 𝐵 1 1 2 3 1 𝑨 ③ ① ② 𝑩 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2 例 𝑨= 9,5,0 , 𝑩= 6,0,1 9 5 0 9 6 0 1 6 𝑨 ③ ① ② 𝑩 𝑨×𝑩= 5∙1−0∙0, 　0∙6−9∙1, 　9∙0−5∙6 訂正 = 5,−9, −30

記号を使う場合 矢の裏の 矢の先の イメージ イメージ 言葉を使う場合 スクリーン（紙面） スクリーン（紙面） 裏から表 表から裏 y x 方向の表し方 記号を使う場合 矢の裏の イメージ 矢の先の イメージ 言葉を使う場合 スクリーン（紙面） 裏から表 スクリーン（紙面） 表から裏 x y z y x z

𝑨 内積（スカラー積）補足 𝑨∙𝒆= 𝑨 𝒆 cos 𝜃= 𝑨 cos 𝜃 𝒆 𝑨 cos 𝜃 product = 積 inner product, scalar product, dot product ・スカラー積と呼ぶ理由：積の結果がスカラー（数）。 ・「内積」と呼ぶ理由。 単位ベクトルとの内積は、 その単位ベクトルの方向への射影になる。 射影：projection 𝑨 𝑨∙𝒆= 𝑨 𝒆 cos 𝜃= 𝑨 cos 𝜃 θ 赤い部分の長さが射影 𝒆 𝑨 cos 𝜃 内側に倒れこむ感じ　-> 内積のイメージ。

外積（ベクトル積）補足 outer product, vector product, cross product ・「ベクトル積」と呼ぶ理由：積の結果がベクトル。 ベクトルとベクトルの掛け算　-> 数　（内積） 　　　　　　　　　　　　　　　 ベクトル（外積） ・「外積」と呼ぶ理由 　　　２つのベクトルの作る平面に垂直になる。 　　　　　　外に広がるイメージ。

ベクトル積の問題（続き） 𝑨×𝑩= -𝑩×𝑨 𝑨×𝑩 ×𝑪 ≠𝑨× 𝑩×𝑪 𝑨= 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 , 問１． 𝑨= 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 , 𝑩= 𝐵 1 , 𝐵 2 , 𝐵 3 に対して、 𝑨×𝑩= 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2 , 𝐴 3 𝐵 1 − 𝐴 1 𝐵 3 , 𝐴 1 𝐵 2 − 𝐴 2 𝐵 1 を示せ。ヒント　　　 𝑨×𝑩 を 𝑪= 𝐶 1 , 𝐶 2 , 𝐶 3 とおく 問2 𝑨×𝑩= -𝑩×𝑨 を示せ ヒント：問１の結果を使う。 𝑨×𝑩 ×𝑪 ≠𝑨× 𝑩×𝑪 問3 等号が成立しない例を示せ。具体的な数字を使って １つ示せばよい。 𝑑 𝑑𝑡 𝑨×𝑩 = 𝑑𝑨 𝑑𝑡 ×𝑩+ 𝑨 × 𝑑𝑩 𝑑𝑡 問4　 を示せ ヒント：問１の結果を使う。

問１の解答 𝑨×𝑩=𝑪= 𝐶 1 , 𝐶 2 , 𝐶 3 とおく。 CはA,Bと直交するので、 𝑨∙𝑪= 0 𝑩∙𝑪= 0 (1) 𝐴 1 𝐶 1 + 𝐴 2 𝐶 2 + 𝐴 3 𝐶 3 =0 (2) 𝐵 1 𝐶 1 + 𝐵 2 𝐶 2 + 𝐵 3 𝐶 3 =0 𝐶 3 を消去するには、(1)x - (2)x 𝐵 3 𝐴 3 𝐴 1 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 1 𝐶 1 + 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2 𝐶 2 =0 𝐶 1 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2 = 𝐶 2 𝐴 3 𝐵 1 − 𝐴 1 𝐵 3 𝐶 1 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2 = 𝐶 3 𝐴 1 𝐵 2 − 𝐴 2 𝐵 1 同様に(1)(2)から 𝐶 2 を消去して、 よって、 𝐶 1 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2 = 𝐶 2 𝐴 3 𝐵 1 − 𝐴 1 𝐵 3 = 𝐶 3 𝐴 1 𝐵 2 − 𝐴 2 𝐵 1 = 𝑘 𝑪=𝑘 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2 , 𝐴 3 𝐵 1 − 𝐴 1 𝐵 3 , 𝐴 1 𝐵 2 − 𝐴 2 𝐵 1

問１の解答　２ページめ 𝑪=𝑘 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2 , 𝐴 3 𝐵 1 − 𝐴 1 𝐵 3 , 𝐴 1 𝐵 2 − 𝐴 2 𝐵 1 より 𝑪 = 𝑨×𝑩 = 𝑨 𝑩 sin𝜃 𝑪 𝟐 = 𝑨 2 𝑩 2 sin 2 𝜃= 𝑨 2 𝑩 2 1− cos 2 𝜃 = 𝑨 2 𝑩 2 - 𝑨∙𝑩 2 = 𝐴 1 2 + 𝐴 2 2 +𝐴 3 2 𝐵 1 2 + 𝐵 2 2 +𝐵 3 2 - 𝐴 1 𝐵 1 + 𝐴 2 𝐵 2 + 𝐴 3 𝐵 3 2 = 𝐴 1 2 𝐵 2 2 + 𝐴 2 2 𝐵 1 2 + 𝐴 1 2 𝐵 3 2 + 𝐴 3 2 𝐵 1 2 + 𝐴 2 2 𝐵 3 2 + 𝐴 3 2 𝐵 2 2 - 2 𝐴 1 𝐴 2 𝐵 1 𝐵 2 -2 𝐴 2 𝐴 3 𝐵 2 𝐵 3 -2 𝐴 3 𝐴 1 𝐵 1 𝐵 3 = 𝐴 1 𝐵 2 − 𝐴 2 𝐵 1 2 + 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2 2 + 𝐴 3 𝐵 1 − 𝐴 1 𝐵 3 2 よって、 あとは右ねじが進む向きを考えて、k=1

問１の解答 ２つめの方法 𝑨= 𝐴 1 𝒆 1 +𝐴 2 𝒆 2 +𝐴 3 𝒆 3 𝑩= 𝐵 1 𝒆 1 +𝐵 2 𝒆 2 +𝐵 3 𝒆 3 問１の解答　２つめの方法 単位ベクトルを使って表す。 𝑨= 𝐴 1 𝒆 1 +𝐴 2 𝒆 2 +𝐴 3 𝒆 3 𝑩= 𝐵 1 𝒆 1 +𝐵 2 𝒆 2 +𝐵 3 𝒆 3 𝑨×𝑩 = 𝐴 1 𝒆 1 +𝐴 2 𝒆 2 +𝐴 3 𝒆 3 × 𝐵 1 𝒆 1 +𝐵 2 𝒆 2 +𝐵 3 𝒆 3 = 𝐴 1 𝐵 1 𝒆 1 × 𝒆 1 + 𝐴 1 𝐵 2 𝒆 1 × 𝒆 2 + 𝐴 1 𝐵 3 𝒆 1 × 𝒆 3 +𝐴 2 𝐵 1 𝒆 2 × 𝒆 1 + 𝐴 2 𝐵 2 𝒆 2 × 𝒆 2 + 𝐴 2 𝐵 3 𝒆 2 × 𝒆 3 +𝐴 3 𝐵 1 𝒆 3 × 𝒆 1 + 𝐴 3 𝐵 2 𝒆 3 × 𝒆 2 + 𝐴 3 𝐵 3 𝒆 3 × 𝒆 3

𝑨,𝑩 問１の解答 ２つめの方法 その２ 𝑨×𝑩 𝑨×𝑩 𝒆 3 𝒆 2 𝒆 1 ベクトル積の定義は、 ベクトル積 は、ベクトル に垂直で、 問１の解答　２つめの方法　その２ ベクトル積の定義は、 ベクトル積　　　　は、ベクトル　　　　に垂直で、 大きさ　　　　　　のベクトルである。 θはAからBに向けて測り、右ねじのしまる向きを ベクトル　　　　　　の向きとする。 𝑨,𝑩 𝑨×𝑩 𝑨 𝑩 sin𝜃 𝑨×𝑩 大きさが sin𝜃 に比例しているので、角度0なら外積はゼロ。 同じベクトルの外積は０． 𝒆 1 × 𝒆 1 =0 𝒆 3 また直交するベクトルの場合、 sin𝜃＝１ 𝒆 2 𝒆 1 × 𝒆 2 = 𝒆 3 𝒆 1 𝒆 2 × 𝒆 1 = − 𝒆 3 前ページの最後の式にこれらの単位ベクトルの式を 代入する。

問１の解答　２つめの方法　その３ 𝑨×𝑩 = 𝐴 1 𝒆 1 +𝐴 2 𝒆 2 +𝐴 3 𝒆 3 × 𝐵 1 𝒆 1 +𝐵 2 𝒆 2 +𝐵 3 𝒆 3 = 𝐴 1 𝐵 1 𝒆 1 × 𝒆 1 + 𝐴 1 𝐵 2 𝒆 1 × 𝒆 2 + 𝐴 1 𝐵 3 𝒆 1 × 𝒆 3 +𝐴 2 𝐵 1 𝒆 2 × 𝒆 1 + 𝐴 2 𝐵 2 𝒆 2 × 𝒆 2 + 𝐴 2 𝐵 3 𝒆 2 × 𝒆 3 +𝐴 3 𝐵 1 𝒆 3 × 𝒆 1 + 𝐴 3 𝐵 2 𝒆 3 × 𝒆 2 + 𝐴 3 𝐵 3 𝒆 3 × 𝒆 3 は同じベクトルの外積なので0になる。 𝒆 1 × 𝒆 2 = 𝒆 3 𝒆 2 × 𝒆 1 = − 𝒆 3 𝑨×𝑩 = 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2 𝒆 1 + 𝐴 3 𝐵 1 − 𝐴 1 𝐵 3 𝒆 2 + 𝐴 1 𝐵 2 − 𝐴 2 𝐵 1 𝒆 3 = 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2 , 𝐴 3 𝐵 1 − 𝐴 1 𝐵 3 , 𝐴 1 𝐵 2 − 𝐴 2 𝐵 1

問2の解答　 問１の結果より、 𝑨×𝑩= 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2 , 𝐴 3 𝐵 1 − 𝐴 1 𝐵 3 , 𝐴 1 𝐵 2 − 𝐴 2 𝐵 1 𝑩×𝑨 の第１成分は、 𝐵 2 𝐴 3 − 𝐵 3 𝐴 2 = − 𝐴 2 𝐵 3 −𝐴 3 𝐵 2 の第１成分になっている。 で −𝑨×𝑩 他の成分についても同様。よって、 𝑨×𝑩= -𝑩×𝑨

問2の別の解答 𝑨,𝑩 𝑩 𝑨 𝑨 𝑩 𝑩×𝑨= - 𝑨×𝑩 𝑨×𝑩 𝑨×𝑩 𝑨,𝑩 𝑩 𝑨 𝑨×𝑩 𝑩 𝑨 𝑩×𝑨 𝑨×𝑩 問2の別の解答　 ベクトル積の定義は、 𝑨,𝑩 𝑨×𝑩 ベクトル　　　　　のなす角をθとする。 ベクトル積　　　　　　は、 　　ベクトル　　　　に垂直で、 　　大きさは　　　 のベクトルである。 θはAからBに向けて測り、右ねじのしまる(進む）向きを ベクトル　　　　　　の向きとする。 𝑨×𝑩 𝑨,𝑩 𝑩 𝑨 𝑨×𝑩 = 𝑨 𝑩 sin𝜃 𝑨×𝑩 𝑩 𝑨 𝑨×𝑩 と 𝑩×𝑨 を比較すると、 ・なす角θは同じなので、大きさは同じ。 ・ 𝑩 𝑨 から 　　　に右ねじをしめた時と、 𝑨 に右ねじをしめた時では、しまる方向が逆。 𝑩 から よって 𝑩×𝑨= - 𝑨×𝑩

問３の解答 𝑨,𝑩 𝑨× 𝑩×𝑪 =(0,−2,0) 𝑨×𝑩 ×𝑪 ≠𝑨× 𝑩×𝑪 𝑨×𝑩 ×𝑪 ≠𝑨× 𝑩×𝑪 𝑨×𝑩=𝟎 反例を示す。 𝑨,𝑩 例えば、 が平行だとすると、 𝑨×𝑩=𝟎 で左辺は０． しかし右辺はゼロでない。 成分で書くと、 𝑨=(1,0,0),𝑩=(2,0,0), 𝑪=(0,1,0) 𝑨×𝑩 ×𝑪=(0,0,0) 𝑨×𝑩=(0,0,0) 𝑩×𝑪=(0,0,2) 𝑨× 𝑩×𝑪 =(0,−2,0) よって 𝑨×𝑩 ×𝑪 ≠𝑨× 𝑩×𝑪

問4の解答 𝑑 𝑑𝑡 𝑨×𝑩 = 𝑑𝑨 𝑑𝑡 ×𝑩+ 𝑨 × 𝑑𝑩 𝑑𝑡 を示せ 𝑑 𝑑𝑡 𝑨×𝑩 = 𝑑𝑨 𝑑𝑡 ×𝑩+ 𝑨 × 𝑑𝑩 𝑑𝑡 左辺の第１成分は、 𝑑 𝑑𝑡 𝑨×𝑩 1 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐴 2 𝐵 3 − 𝐴 3 𝐵 2 = 𝑑 𝐴 2 𝑑𝑡 𝐵 3 + 𝐴 2 𝑑 𝐵 3 𝑑𝑡 − 𝑑 𝐴 3 𝑑𝑡 𝐵 2 - 𝐴 3 𝑑 𝐵 2 𝑑𝑡 = 𝑑 𝐴 2 𝑑𝑡 𝐵 3 − 𝑑 𝐴 3 𝑑𝑡 𝐵 2 + 𝐴 2 𝑑 𝐵 3 𝑑𝑡 − 𝐴 3 𝑑 𝐵 2 𝑑𝑡 = 𝑑𝑨 𝑑𝑡 ×𝑩 1 + 𝑨× 𝑑𝑩 𝑑𝑡 1

回転の話 ・回転と人体 ・回転のベクトル ・回転角速度と速度の関係

回転と人体 人間は回転をどこで感じるか？ 内耳で感じる。 耳がやられると、目まいがする。平衡感覚がおかしくなる。 三半規管 半円状の器官が、 　内耳で感じる。 　耳がやられると、目まいがする。平衡感覚がおかしくなる。 三半規管 　半円状の器官が、 　垂直な面上にある。 　中にリンパ液が入っている。 　流れが変わると、半規管中の 　感覚毛が感知して、神経を通して 　脳に信号が行く。

𝝎 𝝎 角速度ベクトル 回転を表すベクトル オメガ 大きさは、単位時間に回った角度。 単位は、ラジアン/秒 rad/s 方向は、回転面に垂直 角速度ベクトル　　　　　　　回転を表すベクトル オメガ 大きさは、単位時間に回った角度。 　単位は、ラジアン/秒　　rad/s 方向は、回転面に垂直 向きは右ねじが進む方向 𝝎 回転ベクトルの向きに注意。 　　日常会話の「回転の方向」と 　　ベクトルの向きは違う。

𝝎 𝑎 AB 𝑎 𝒂 ベクトルの復習 ベクトルとは、方向を持った線分である。 矢印で表す。 Ｂ 終点 始点と終点の上に 矢印 Ａ ベクトルの復習　　　　　 高校の数Ｂの復習 𝝎 ベクトルとは、方向を持った線分である。 矢印で表す。 𝑎 Ｂ AB 始点と終点の上に 矢印 終点 𝑎 Ａ １文字の上に矢印 始点 𝒂 物理では太文字でベクトルを 表すことが多い。

ベクトルの成分　　　　　 高校の数Ｂの復習 平面上のベクトルは、 平行でない２つのベクトル（0ベクトルではない）を を使って書ける。 𝒂=𝑟𝒒+𝑠𝒑

角速度ベクトルは何を表すか？ 単位時間に回る角度 角速度ベクトルの大きさ（長さ）から (2) 回転面 角速度ベクトルに垂直 角速度ベクトルは何を表すか？　　　　　　　 単位時間に回る角度　　 　　　角速度ベクトルの大きさ（長さ）から (2) 回転面 　　　角速度ベクトルに垂直 (3) どちら向けの回転か。

π（円周率）とは 中学校の 復習 円の周の長さは、直径に比例している。 直径 円の周の長さ ＝ 直径 × π あるいは、直径＝半径×２より 円の周の長さ　＝　直径　×　π あるいは、直径＝半径×２より 円の周の長さ　＝　半径　×　2π 半径 π=3.14159.. 円周率

ラジアンを使った角度の表し方（弧度法） 高校の数２ の復習 半径１の円上の弧の長さで角度を表す。 0から2πの範囲。 radian ラジアン 　0から2πの範囲。 (円周＝2π×半径　より、 　半径が1の円の周の長さは2π） 単位：ラジアン(rad) 　無次元量 radian　ラジアン 似た単語 　radius 半径 1 度数法との対応 　0° 　 180°　 0　　　　　　π=3.14.. θ O 問1 １ラジアンは何度であるか、計算しなさい。 　（πに数を入れて計算すること）　　前ではやりません。 問2　次の角度を弧度法で書きなさい。前ではやりません。 　　a) 30°　b) 60°　c) 90°

ℓ=𝑟𝜃 ℓ ℓ 𝜃 𝑟 𝜃= ℓ 𝑟 ラジアンを使った弧の長さ 高校の数２の復習 扇形の半径がr, 弧の長さが の時、 中心角は、 弧の長さが　　の時、 中心角は、 ℓ 𝜃= ℓ 𝑟 ℓ 𝜃 あるいは 𝑟 ℓ=𝑟𝜃

無次元量とは 教科書p.383 物理の４つの基本単位で表せない量 m(メートル） 長さ kg(キログラム）質量 s （秒） 時間 　　　A (アンペア）　電流-> 後期の電磁気でやります。 例： 　　個数　N （個） 　　角度　θ（ラジアン）

比率 ratio 同じ単位の物の割り算 例：あるクラスの女子の比率は1/2 = 女子の人数/全体の人数 　同じ単位の物の割り算 例：あるクラスの女子の比率は1/2 = 女子の人数/全体の人数 例２：雨が降る日は1/4 = 雨が降る日/全部の日数 ・比率は一般には足せない。 　　上記の1/2 + 1/4 = 3/4　を求めても、意味がない。 ・分母が同じなら足せる場合もある。 　　例：ずっと晴れている日は1/3=晴れの日/全部の日数 上記の数字と足して、1/4 + 1/3 = 7/12 　　　　　晴れた日か雨が降る日になる確率

𝝎 𝝎 角速度ベクトルの問題 回転を表すベクトル オメガ 大きさは、単位時間に回った角度。 単位は、ラジアン/秒 rad/s 角速度ベクトルの問題　　　　　　　 回転を表すベクトル オメガ 大きさは、単位時間に回った角度。 　単位は、ラジアン/秒　　rad/s 方向は、回転面に垂直 向きは右ねじが進む方向 𝝎 問題：地球の自転の角速度ベクトルの 　　　　方向を図示せよ。理由も述べよ。