ゲーム理論・ゲーム理論Ⅰ （第７回） 第４章 戦略形ゲームの応用 2014 年 5 月 23 日 担当 古川徹也 2014/05/231.

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1 ゲーム理論・ゲーム理論Ⅰ （第７回） 第４章 戦略形ゲームの応用 2014 年 5 月 23 日 担当 古川徹也 2014/05/231

2 今日の講義 教科書第４章「戦略形ゲームの応用」 4.3 【応用】オークション 4.4 【実践】インターネットオークション 2014/05/232

3 4.3.1 オークションとゲーム理論 オークションは，卸売市場やサザビーズなど の限られた場所だけでなく，ネットオーク ションなど，我々の生活に深く浸透している。 公的機関のオークション，入札，温室効果ガ ス排出権取引など。 オークションの理論は，ゲーム理論の応用分 野として成功をおさめているものの１つ。 ミルグロム・ウィルソンによる周波数オーク ションの設計など，オークションの理論が実 際にも応用されている。 2014/05/233

4 4.3.2 オークションの経済学的意義 経済学では，社会的総余剰が最大化され た配分が，「効率的な資源配分」と呼ば れれる。 端的に言うと，「ある財をもっとも高く 評価する人の手に渡るのが望ましい」と いうこと。 逆に言えば，それほど欲しくない人の手 元にわたってしまう配分をもたらすよう なメカニズムは望ましくないと言える。 オークションは，もっとも高く評価する 人の手に渡るようなメカニズムである。 2014/05/234

5 モデル 15 2014/05/235 売り手 評価額 500 円 買い手１ 評価額 1500 円 財 １２００円 売り手の余剰 ７００円 買い手の余剰 ３００円 社会的総余剰 １０００円

6 社会的総余剰と財の配分 「交換は社会の幸せを高める」：交換に より評価の高い人に財を移動させること で，余剰が生まれる。 適当な価格を設定することで，交換が双 方に利益を生み出し，社会の幸せを高め ることを促進する。 価格水準は，社会的総余剰の配分を決め るものであって大きさを決めるものでは ない（交換が成立する範囲であれば）。 2014/05/236

7 モデル 16 2014/05/237 売り手 評価額 500 円 買い手１ 評価額 1500 円 財 売り手の余剰 １１００円 買い手の余剰 ９００円 社会的総余剰 ２０００円 買い手２ 評価額 2500 円 １６００円

8 効率的資源配分 売買と余剰の大きさとの関係 (1) 交換が起きない：余剰０円 (2) 買い手１が買う：余剰１０００円 (3) 買い手２が買う：余剰２０００円 「買い手２が買う」という状態が，効率 的資源配分の状態。 効率的資源配分を達成するメカニズム （ここでは (1)(2) が起こらないようにする メカニズム）の１つがオークション 2014/05/238

9 4.3.3 様々なオークション 単一財オークションと複数財オークショ ン：ここでは単一財のケースを考える。 公開オークションと封印オークション 公開オークションの代表例：イングリッ シュオークションとダッチオークション 封印オークション：参加者が入札価格を 紙に封印して競り人に渡し，開封して一 番高い値段をつけた参加者が落札 2014/05/239

10 4.3.3 ファースト & セカンド プライスオークション ファーストプライスオークション：封印 オークションで落札者の書いた価格が落 札価格（落札者が払う価格）となるオー クション。 セカンドプライスオークション：一番高 い値をつけたものが落札者となるが，落 札価格（支払額）は２番目に高い入札額。 セカンドプライスオークションは，ネッ トオークションの一部で使われているに 過ぎないが，理論的には重要。 2014/05/2310

11 4.3.4 セカンドプライスオークション 入札者は２人という場合を考える。 (1) 入札額の最少単位： 500 円 (2) 最低入札額： 500 円 (3) 同点のとき：くじびき。 50% の確率で手 に入れることができる。 先ほどと同様買い手 1 の評価額は 1500 円， 買い手 2 の評価額は 2500 円とする。 2014/05/2311

12 セカンドプライスオークションの利得行列 買い手 2 買い手 1 50010001500200025003000 500(5, 10)(0, 20) 1000(10, 0)(2.5, 7.5)(0, 15) 1500(10, 0)(5, 0)(0, 5)(0, 10) 2000(10, 0)(5, 0)(0, 0)(-2.5, 2.5)(0, 5) 2500(10, 0)(5, 0)(0, 0)(-5, 0) (0, 0) 3000(10, 0)(5, 0)(0, 0)(-5, 0)(-10, 0)(-7.5, -2.5) 2014/05/2312

13 ナッシュ均衡は？：全部で 20 個！ 買い手 2 買い手 1 50010001500200025003000 500(5, 10)(0, 20) 1000(10, 0)(2.5, 7.5)(0, 15) 1500(10, 0)(5, 0)(0, 5)(0, 10) 2000(10, 0)(5, 0)(0, 0)(-2.5, 2.5)(0, 5) 2500(10, 0)(5, 0)(0, 0)(-5, 0) (0, 0) 3000(10, 0)(5, 0)(0, 0)(-5, 0)(-10, 0)(-7.5, -2.5) 2014/05/2313

14 自分の評価額を入札することが弱支配戦略 買い手 2 買い手 1 50010001500200025003000 500(5, 10)(0, 20) 1000(10, 0)(2.5, 7.5)(0, 15) 1500(10, 0)(5, 0)(0, 5)(0, 10) 2000(10, 0)(5, 0)(0, 0)(-2.5, 2.5)(0, 5) 2500(10, 0)(5, 0)(0, 0)(-5, 0) (0, 0) 3000(10, 0)(5, 0)(0, 0)(-5, 0)(-10, 0)(-7.5, -2.5) 2014/05/2314

15 2 nd の場合の入札額と利得 Ｙ≦ＬＬ＜Ｙ≦ＸＸ＜Ｙ≦ＨＹ＞Ｈ X より小さい Ｌを入札 Ｘ－Ｙ＞０Ｏ００ X を入札Ｘ－Ｙ＞０Ｘ－Ｙ≧０００ X をこえるＨ を入札 Ｘ－Ｙ＞０Ｘ－Ｙ≧０Ｘ－Ｙ＜００ 2014/05/2315 ＨやＬを入札する戦略を，Ｘを入札する戦略が 弱支配する。 → 真の評価額を入札することが各 プレイヤーにとって弱支配戦略。したがって， 財は最も高い評価額をもつプレイヤーの手元に 行き，支払額は２番目に高い評価額となる。

16 メカニズムデザイン ポイント 28 （メカニズムデザイン）入札方 法，税の徴収方法，契約方法など，ルール が決まれば人の行動は変化する。これを読 み込んで新しい制度を設計する方法が，メ カニズムデザインである。 2014/05/2316

17 4.3.5 ファーストプライスオークション 入札者は２人という場合を考える。 (1) 入札額の最少単位： 500 円 (2) 最低入札額： 500 円 (3) 同点のとき：くじびき。 50% の確率で手 に入れることができる。 先ほどと同様買い手 1 の評価額は 1500 円， 買い手 2 の評価額は 2500 円とする。 2014/05/2317

18 ファーストプライスオークションの利得行列 買い手 2 買い手 1 50010001500200025003000 500(5, 10)(0, 15)(0, 10)(0, 5)(0, 0)(0, -5) 1000(5, 0)(2.5, 7.5)(0, 10)(0, 5)(0, 0)(0, -5) 1500(0, 0) (0, 5) (0, 0)(0, -5) 2000(-5, 0) (-2.5, 2.5)(0, 0)(0, -5) 2500(-10, 0) (-5, 0)(0, -5) 3000(-15, 0) (-7.5, -2.5) 2014/05/2318

19 ナッシュ均衡：３つ 買い手 2 買い手 1 50010001500200025003000 500(5, 10)(0, 15)(0, 10)(0, 5)(0, 0)(0, -5) 1000(5, 0)(2.5, 7.5)(0, 10)(0, 5)(0, 0)(0, -5) 1500(0, 0) (0, 5) (0, 0)(0, -5) 2000(-5, 0) (-2.5, 2.5)(0, 0)(0, -5) 2500(-10, 0) (-5, 0)(0, -5) 3000(-15, 0) (-7.5, -2.5) 2014/05/2319

20 弱支配される戦略の繰り返し削除 順序に依存する解を避けるため，「弱支配さ れた戦略は両プレイヤー同時に削除する」と いう方法をとる。 両プレイヤーの特徴 (1) 買い手 1 ： 1500 円以上の入札は， 1000 円の入 札に弱支配される。また 500 円の入札も， 1000 円の入札に弱支配される。 (2) 買い手 2 ： 2500 円以上の入札は， 2000 円の入 札に支配または弱支配される。 500 円の入札 も， 1000 円の入札に弱支配される。 2014/05/2320

21 ファーストプライスオークションの利得行列 （削除済み） 買い手 2 買い手 1 100015002000 1000(2.5, 7.5)(0, 10)(0, 5) 2014/05/2321 ・評価額がもっとも高い買い手以外は，自分の評価額 より１単位低い入札額だけが残る。ここでは買い手１ の「 1000 円」 ・このとき，買い手 2 にとっては 2 番目に高い評価額が 他の入札額を弱支配。 →1500 円を入札

22 ファーストプライスオークション 支配された戦略の繰り返し削除で解くと，評 価額の一番高い買い手が２番目に高い評価額 を入札し，その他の買い手は評価額より１単 位低い価格を入札することがゲームの解とな る。このとき評価額の一番高い買い手が２番 目に高い評価額で落札する結果となる。 これは，相手の評価額が分かっているケース の結論だが，不確実な場合でも同等の結果を 得られる（収入等価定理）。 ある仮定のもとで，広いクラスのオークショ ンに収入等価定理が成立する（！） 2014/05/2322

23 演習 4.4 １の評価は２，２の評価５ ファーストプライス 2014/05/2323 ０１２３４５６ ０ １ 2,0 ２ ３ 2, ４ ５ ６

24 演習 4.4 １の評価は２，２の評価５ セカンドプライス 2014/05/2324 ０１２３４５６ ０ 1,2.50,5 １ 2,00.5,20,4 ２ 2,01,00,1.50,3 ３ 2,01,00,0-0.5,10,2 ４ 2,01,00,0-1,0-1,0.50,1 ５ 2,01,00,0-1,0-2,0-1.5,00,0 ６ 2,01,00,0-1,0-2,0-3,0-2,-0.5