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第 7 週目: 周波数伝達関数とボード線図 周波数伝達関数 ボード線図 TUT, System & Control laboratory 1/16.

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1 第 7 週目: 周波数伝達関数とボード線図 周波数伝達関数 ボード線図 TUT, System & Control laboratory 1/16

2 今週の授業の目的 今週の大きな目的 周波数伝達関数,ボード線図について学ぶ.周波数伝 達関数から正弦波入力を与えたときの定常状態での出力 を求めることができる.ボード線図は制御系を設計する 際に利用する.今週の授業内容は,制御系の応答を確認 する際や制御系を設計する際に重要なものである. 周波数伝達関数を学ぶ ボード線図の概念を学ぶ 積分要素のボード線図を学ぶ 微分要素のボード線図を学ぶ 1次遅れ要素のボード線図を学ぶ 2次遅れ要素のボード線図を学ぶ むだ時間要素のボード線図を学ぶ 2/16 TUT, System & Control laboratory

3 周波数伝達関数(1) 伝達関数 G(s) で表される安定なシステムに,周波数  0 の正弦波 入力 を加えると,十分長い時間がたった後,すなわち,定常状態に おいて出力は, となる.このように,出力は入力と同じ周波数  0 をもつ正弦波 になる.ただし,その振幅は |G(j  0 )| 倍され,位相は∠ G(j  0 ) だ け遅れる. |G(j  0 )| を周波数  0 におけるゲイン,∠ G(j  0 ) を位相 角と呼ぶ.  0 をさまざまな値に変化させたときの入力 u(t) と,出力 y(t) の伝 達関数 G(s) (0<  <∞) を周波数伝達関数,あるいは周波数応答と 呼ぶ.これは伝達関数 G(s) において s=j  とおいて得られるもの である. |G(j  )| をゲイン特性,∠ G(j  ) を位相特性と呼ぶ. TUT, System & Control laboratory 3/16

4 周波数伝達関数(2) 例1:周波数 1Hz の正弦波入力で,ゲインは 0.5 ,位相角は 0deg の出力波形 4/16 例2:周波数 1Hz の正弦波入力で,ゲインは1,位相角は 180deg の出力波形 TUT, System & Control laboratory u(t)y(t)u(t)y(t) u(t)y(t)u(t)y(t) tt 位相角 0[deg] 位相角 180[deg] ゲイン:1 ゲイン: 0.5 例1例2

5 周波数伝達関数(3) ここで入力 u(t) から出力 y(t) を導出しておく.入力 u(t) ,出力 y(t) のラプラス変換をそれぞれ U(s) , Y(s) とおく.定常状態を考える と, TUT, System & Control laboratory 5/16 が得られる.ただし, である.

6 周波数伝達関数(4) G(j  0 ) と G(-j  0 ) が,互いに共役な複素数であることに注意すれ ば, TUT, System & Control laboratory 6/16 となる.

7 周波数伝達関数(5) 逆ラプラス変換すれば, TUT, System & Control laboratory 7/16 ここで下記の公式を用いると,出力 y(t) が得られる. ただし,以下の関係を用いる.

8 周波数伝達関数(6) 例: 1+s s=j  と代入したとき,実部と虚部は, Re[G(j  )]=1 , Im[G(j  )]=  となる.このとき,先の公式から, 8/16 の関係を得る.  =0.01 のとき  =1 のとき  =10 のとき 定常状態の出力は,このように明らかにできる.また,これ らの関係をグラフで表わしたものをボード線図と呼び,続け て説明する. TUT, System & Control laboratory

9 ボード線図 周波数伝達関数 G(j  ) のゲイン特性 |G(j  )| と位相特性∠ G(j  ) を, 周波数  の関数として別々のグラフに図示したものをボード線 図という.横軸に角周波数  を対数目盛でとり,縦軸にゲイン の対数量 g(  )=20log 10 |G(j  )| dB で表わしたものをゲイン曲線, また,別のグラフに縦軸に位相角を  (  )= ∠ G(j  ) deg として表わ したものを位相曲線と呼ぶ.ボード線図は,広い範囲で詳細な 特性を表わすことができることから,フィードバック制御系の 解析や設計において広く用いられている. 積分要素,微分要素,1次遅れ要素,2次遅れ要素,むだ時間 要素のゲイン特性と位相特性の式,ボード線図を説明する.ま た,次回予定でボード線図の折線近似,1次遅れ要素,2次遅 れ要素のパラメータによるボード線図の違いや応答の違いを紹 介する. TUT, System & Control laboratory 9/16

10 ボード線図(積分要素) 積分要素 G(s)=1/s に対して s=j  とおくことで,周波数伝達関数は, TUT, System & Control laboratory 10/16 となる.このとき,ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる. -20dB/dec -90[deg] つまり,ゲインは  =1 のとき 0 であ り,  が 10 倍されるとき 20dB だけ減 少する.通常,ゲイン特性の直線の 傾きを表わすために, [dB/dec] とい う単位を用いる.よって,積分要素 のゲイン特性の傾きは -20dB/dec で ある.一方,位相は全体にわたって -90deg である.

11 ボード線図(微分要素) 積分要素 G(s)=s に対して s=j  とおくことで,周波数伝達関数は, TUT, System & Control laboratory 11/16 となる.このとき,ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる. 20dB/dec 90[deg] つまり,ゲインは  =1 のとき 0 であ り,傾きは 20dB/dec である.また, 位相は全体にわたって 90deg である.

12 ボード線図(1次遅れ要素) 1次遅れ要素 G(s)=1/(1+Ts) に対する周波数伝達関数は, TUT, System & Control laboratory 12/16 となる. T を時定数と呼ぶ.このとき,ゲイン特性と位相特性は以下のよう に求まる.  T >1 のときには, g(  )=- 20log 10 (  T) となり,傾きは - 20dB/dec である.また,位相角は  → 0 のとき 0deg となり,  → ∞ のとき -90deg である.  T =1 のとき -45deg となる. T =1 -20dB/dec

13 ボード線図(2次遅れ要素)(1) TUT, System & Control laboratory 13/16 となる.  n を固有角周波数,  を減衰係数と呼ぶ.このとき,ゲイン特性と 位相特性は以下のように求まる. 2次遅れ要素 G(s)=  n 2 /(s 2 +2  n +  n 2 ) に対する周波数伝達関数は,  n =1,  =1 周波数が増加するにつれて,ゲイン 曲線は 0dB の直線から -40dB/dec の傾 きに,位相曲線は 0deg から -180deg に変化する. -40dB/dec

14 ボード線図(2次遅れ要素)(2) TUT, System & Control laboratory 14/16 減衰係数  の変化に対するボード線 図を下記に示す.減衰係数が小さ いとき固有角周波数のゲインに ピークが現れる. -40dB/dec 自動車が走行する道路として,①細かいでこぼこ道と②ゆっくりとしたで こぼこ道を考える.でこぼこ道から受ける力は外乱 f=sin  t と考えることが でき,①は  が大きいことに,②は  が小さいことに対応する.  が小さく, f(t) に  =  n の成分が含まれると,その成分の振動が増幅されるため,乗り心 地が悪くなってしまう.そこで,自動車の振動をやわらげるためには,車 体重量に合わせて,バネ,ダンパ係数を調整して,ゲイン特性に現れる ピークを抑える必要がある.方法としては,望ましいバネ,ダンパ係数を 持つアブソーバを使う方法(パッシブ制御)のほか,路面の状況に合わせ て,バネ,ダンパ係数を油圧や空気圧の力によって変化させる方法(アク ティブ制御)などがある. 2次遅れ要素の例として,自動車 のショックアブソーバがある(2 回目,3回目資料参照).分子の 係数は異なるがゲイン曲線の形状 は同じであることに注意する.

15 ボード線図(むだ時間要素) むだ時間 L のむだ時間要素 G(s)=e -sL にする周波数伝達関数は, TUT, System & Control laboratory 15/16 となる.このとき,ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる. L=1 とした場合のボード線図を示す. ゲインは常に 0dB であり,位相は  に比例して遅れる. L =1

16 課題 下記のシステムに u(t) =asin  t の入力を加えたときの時間応答 y(t) を求めよ. TUT, System & Control laboratory 16/16


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