土木計画学 第３回：１０月１９日 調査データの統計処理と分析２ 担当：榊原 弘之. 標本調査において，母集団の平均や分散などを直接知ることは できない． 母集団の平均値（母平均） 母集団の分散（母分散） 母集団中のある値の比率（母比率） p Sample 標本平均 標本分散（不偏分散） 標本中の比率.

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1 土木計画学 第３回：１０月１９日 調査データの統計処理と分析２ 担当：榊原 弘之

2 標本調査において，母集団の平均や分散などを直接知ることは できない． 母集団の平均値（母平均） 母集団の分散（母分散） 母集団中のある値の比率（母比率） p Sample 標本平均 標本分散（不偏分散） 標本中の比率 P ？ わからない！ Population

3 標本から母集団のパラメータを推定するための手法 統計的推定手法 （ Statistical estimation ） 標本調査における利用法 ・必要な標本数の算出 ・推定値の信頼区間の算定 統計的手法を用いれば，標本調査でも十分実用に耐える 結果を出すことができる．

4 統計理論の復習 収集されたデータから特性を明らかにする． 度数分布表 (Frequency table) データが取り得る値をいくつかの区間に分けておき（カテゴライズ）， 各カテゴリーに該当するデータの個数（度数）を表にまとめる． 身長度数 140cm ～ 150cm 2 150cm ～ 160cm 8 160cm ～ 170cm 18 170cm ～ 180cm 10 180cm ～ 190cm 3 ヒストグラム：度数分布を度数を高さとする長方形で表したグラフ (Histogram)

5 標本平均 (sample mean) i 番目の観測値 メディアン（中央値） (median)m モード (mode) （最頻値） 代表値の例 i 番目の観測値の度数 50 パーセンタイル値 度数が最大となる観測値 パーセンタイル (percentile)

6 散布度（ dispersion ）の指標 分散 (variance) 2 乗の平均－平均の 2 乗 標準偏差 (standard deviation) 変動係数 (coefficient of variation)

7 共分散 (covariance) 相関係数 (correlation coefficient) 複数の調査項目間の相関の有無の検討 クロス集計表（ p80 ）

8 大数の法則 (law of large numbers) 同一の確率分布（期待値 μ ，標準偏差 σ ）に従う n 個の 確率変数 X 1,X 2,…,X n の標本平均 は， n が大きくなれば，限りなく μ に近づく． 後の統計的推測に重要 観測数を増やせば，より正確な期待値の推定が可能となる．

9 さいころの目の標本平均の推移 （エクセルによる計算） 回数が増えるほど，母平均 3.5 に収束

10 正規分布（ガウス分布） (normal distribution) 確率密度関数 期待値 分散 期待値 0 ，分散 1 の場合 標準正規分布 を正規分布表に当てはめる 配布資料参照 正規分布の 分布関数の値

11 確率密度関数 分布関数

12 正規分布が重要な理由 １．観測誤差の分布がよく適合する． 平均を中心に，左右に同じように 広がっている 例１：部材の強度 平均よりも強い部材，弱い部材が存在 例２：離散選択モデル （個人が複数の選択肢から一つを選択する過程をモデル化） 誤差が正規分布 プロビットモデル

13 正規分布が重要な理由 ２．中心極限定理 (central limit theorem) 同一の確率分布（期待値 μ ，標準偏差 σ ）に従う n 個の 確率変数 X 1,X 2,…,X n の標本平均 は， n が大きくなれば，正規分布 N(μ,σ 2 /n) に従う． X 1,X 2,…,Xn がどのような確率分布に従う場合も成立する． 後の統計的推測に重要

14 母集団：直接すべて調べることができない集団 標本：調査可能な，限られた数の集団 母集団の一部 母数： 母集団の特性値 （平均，分散など） 統計的推計手法：標本から母数を推定するための手法 正確に 真の母数を 知ることはできない

15 大数の法則 同一の確率分布（期待値 μ ，標準偏差 σ ）に従う n 個の 確率変数 X 1,X 2,…,X n の標本平均は， n が大きくなれば， 限りなく μ に近づく． 観測数を増やせば，より正確な期待値の推定が可能となる． 確率的推定の前提：大数の法則と中心極限定理 中心極限定理 同一の確率分布（期待値 μ ，標準偏差 σ ）に従う n 個の 確率変数 X 1,X 2,…,X n の標本平均は， n が大きくなれば， 正規分布 N(μ,σ 2 /n) に従う． X 1,X 2,…,X n がどのような確率分布に従う場合も成立する．

16 不偏推定量 期待値が母数に一致するような推定量 ＝何度も標本抽出して当該の値を求めることを多数回 繰り返せば目的とする母数に近づいてゆくような推定量 母平均の不偏推定値＝標本平均 母分散の不偏推定値

17 点推定 最尤推定法 母数をある一つの値として推定する 観測値： x 1,x 2,…,x n 母数が θ の場合に， 観測値の組 (x 1,x 2,…,x n ) が 実現する確率 母数 θ のもっともらしさ．．．尤度関数

18 「もっともらしさ」が最大となる母数 θ を求める（尤度関数の最大化） 対数尤度関数 実際は対数尤度関数を最大化 よりもの方が標本が生起する確率が大きい の方が母数として現実的（もっともらしい） 最尤推定法