一階述語論理 (first-order predicate logic) 一階述語論理入門 構文論（論理式の文 法） 意味論（論理式の解 釈） 認知システム論 知識と推論（４） 知識と論理でを組み合わせて問題を解決する.

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2 一階述語論理 (first-order predicate logic) 一階述語論理入門 構文論（論理式の文 法） 意味論（論理式の解 釈） 認知システム論 知識と推論（４） 知識と論理でを組み合わせて問題を解決する

3 一階述語論理入門 (1/9) ：命題論理の世界 命題論理の世界 （原始命題の世 界） 原始命題を論理記号（￢∧∨ → ）で つないで複雑な命題を表現 P Q 原始命題の真偽しか表現されない true false 原始命題より細かな情報は表現されな い

4 一階述語論理入門 (2/9) 命題論理の表現力の限界 雨が降っているならば道路が濡れている 雨が降っている 道路が濡れている これはＯＫ 論理的帰結

5 一階述語論理入門 (3/9) 命題論理の表現力の限界 ソクラテスは人間である (Socrates is a human.) ソクラテスは死ぬ運命にある (Socrates is mortal.) 論理的帰結 これは？ すべての人間は死ぬ運命にある (Every human is mortal.)

6 一階述語論理入門 (4/9) 一階述語論理の世界 （オブジェクトの世 界） Socrates Jack Will Elizabeth Mickey Mortal Aibo Human オブジェクトの性質 (property) を命題として表現 できる オブジェクト（個体）を表現 できる オブジェクト間の関係 (relation) を命題として表現でき る オブジェクト間の関数 (function) を表現できる 名前のない 要素もＯＫ Human

7 一階述語論理入門 (5/9) A B A is a friend of B. father of A A A Mortal A is mortal. A オブジェクトの性質 (property) を命題として表 現 オブジェクト（個体）を 表現 オブジェクト間の関係 (relation) を命題として 表現 オブジェクト間の関数 (function) を表 現 個体記号 述語記号 （１変 数） 述語記号 （ 2 変 数） 関数記号 名前の ない要素

8 一階述語論理入門 (6/9) A A is a friend of the father of B. B 原始命題は，１つの述語記号とそ の引数（項）から構成される 項 (term) 原子式 (atom) 一階述語論理では，原子式が原始命題を表現す る．

9 一階述語論理入門 (7/9) すべての人間は死ぬ運命にある (Every human is mortal.) 変数記号 全称記号 Every human is mortal. = Everything is mortal if it is human. = For all object, if it is human, then it is mortal. ∀ と → の組合せは，相性が良い．

10 一階述語論理入門 (8/9) ソクラテスは人間である (Socrates is a human.) ソクラテスは死ぬ運命にある (Socrates is mortal.) 論理的帰結 すべての人間は死ぬ運命にある (Every human is mortal.) これは機械的に導出可能！ ( x = Socrates )

11 一階述語論理入門 (9/9) ミッキーは，人間の友達をもっている (Mickey has a human friend.) 存在記号 Mickey has a human friend. = Mickey has something which is human and his friend. = There exists something which is human and which is a friend of Mickey. ∃ と ∧ の組合せは，相性が良い．

12 述語論理の構文論 論理式の文法

13 構文論 (1/6) 一階述語論理の構成要素 個体記号（定数）： 変数： 関数記号： 述語記号： 一階述語論理の構文要素 ジョンの父は医師であり，かつ，その年齢は a+30 より大きい

14 構文論 (2/6) 項 定数：特定のオブジェクト 変数：不特定のオブジェクト 項：定数や，変数，関数記号を用いて 別のオブジェクトを表現 （項に，述語記号は用いない）

15 構文論 (3/6) 項 項

16 構文論 (4/6) 原子式 原子式：それ以上分解すると命題ではなくなる命題 原子式

17 構文論 (5/6) 限量子 限量子： 全称記号 「すべての x について」 存在記号「ある x が存在して」 (for all x, …) (there exists x such that …) All Exist s

18 構文論 (6/6) 論理式 論理式：原子式を論理結合子および 限量子と組合せて作る命題 原子式 は論理式である． 論理式 が論理式ならば，以下の５つも 論理式である． が論理式ならば，以下の２つも論理式で ある．

19 述語論理の意味論 解釈に基づく論理式の真理値の計算

20 意味論 (1/7) 解釈 命題論理： 命題記号への真理値の割り当てを解釈と呼ぶ 一階述語論理： 定数，変数，関数記号，述語記号がそもそも何を意味 するかを決定しなければならない

21 意味論 (2/7) 解釈 解釈

22 意味論 (3/7) 解釈 解釈の例 定義域 D={0, 1, 2, …. } 定数への割当て 述語への割当て OneNine 19 GREATER > 解釈１

23 意味論 (4/7) 解釈 解釈２ 定義域 D={ 尾根さん，仁根さん } 定数への割当て OneNine 尾根さん仁根さん 述語記号への割当て xyGREATER(x,y) 尾根さん F 仁根さん T 尾根さん F 仁根さん F GREATER(x,y): 「 x は y よりも偉大である」

24 意味論 (5/7) 解釈 関数記号を含む場合の解釈 定義域 D={ 人物 1, 人物 2, 人物 3, …} John 人物 5 述語記号への割当て father( 人物 i) = 人物 (i+1) 関数への割当て 定数への割当て LOVES( 人物 i, 人物 (i+1)) = T LOVES( 人物 i, 人物 (i+2)) = T それ以外は， LOVES( 人物 i, 人物 j) = F 実世界のＤＢを 用いても可

25 意味論 (6/7) 論理式の真理値の計算 原子式の真理値は解釈によって直接定まる． 論理式の真理値 の真理値が定まっていれば， 以下の論理式の真理値も計算できる． は， P の真理値が D のすべての 要素 x について T ならば T ，さもなくば F ． は， P の真理値が D の少なくとも １つの 要素 x について T ならば T ，さもなくば F ．

26 意味論 (7/7) 充足不能，充足可能 恒真 どんな解釈のもとでも 真 充足不能 どんな解釈のもとでも偽 充足可能 ある解釈のもとで 真 論理的帰結 のすべてを真とするどんな解釈のもとでも が真 が充足不能