基本情報技術概論（第２回） 埼玉大学 理工学研究科 堀山 貴史

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1 基本情報技術概論（第２回） 埼玉大学 理工学研究科 堀山 貴史
2009/10/14 基本情報技術概論 (第２回) 数の表現方法 ・ 演算 埼玉大学 理工学研究科 堀山 貴史 2008/01/23

2 前回の復習 単位 bit, byte n 進数 k, M, G, T / m, μ, n
２進数 0, 1, 10, 11, 100, 101, … ８進数 0, 1, 2, …, 6, 7, 10, 11, 12, … 16進数 0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E, F, 10, … 基数の変換 数値の表現方法 k, M, G, T / m, μ, n … 続きを、今回やります (前回の資料参照)

3 コンピュータ内部での数値の表現方法 整数 符号なし整数 符号付き整数 絶対値表現 １の補数 ２の補数 小数 固定小数点数 浮動小数点数

4 小数の表現方法 固定小数点数 小数点の位置を固定 浮動小数点数に比べて、数値表現の範囲が狭い （大きな数、小さな数が扱えない）
________________ 固定小数点数 小数点の位置を固定 浮動小数点数に比べて、数値表現の範囲が狭い 　　　（大きな数、小さな数が扱えない） 例） (2) は？ (2) は？ 演算が容易 最上位ビットを符号とみて、符号付きの数も扱える

5 小数の表現方法 浮動小数点数 + 0.1 x 2 11 固定小数点数に比べて、数値表現の範囲が広い
指数部 + 0.1 x 2 11 ________________ 浮動小数点数 固定小数点数に比べて、数値表現の範囲が広い 例） (2) は 0.1 x 2 7 (2) は 0.1 x 2 -4 注意： 正規化が必要 　　　　　仮数部の左端から０が並んでいると、 　　　　　有効数字が小さくなる。これを防ぐため、 　　　　　 x 2 ○　という形にする。 符号部 仮数部 符号部 指数部 仮数部

6 浮動小数点数 （形式その１） + 0.1 x 2 11 符号部 ： 仮数部の符号 ０：正 １：負
参考：　小数の表現方法 指数部 + 0.1 x 2 11 浮動小数点数 （形式その１） 符号部 ： 仮数部の符号 ０：正 １：負 仮数部 ： 符号を取り除いた絶対値 　　　　　　　正規化 0.1○○○ 指数部 ： 正の数も負の数も、ありえる ２の補数表現 符号部 仮数部 符号部(S) 指数部(E) 仮数部(M) 1 bit 7 bit 24 bit (-1) S x 0.M x 2 E

7 浮動小数点数 （形式その２） + 0.1 x 2 11 符号部 ： 仮数部の符号 ０：正 １：負
参考：　小数の表現方法 指数部 + 0.1 x 2 11 浮動小数点数 （形式その２） 符号部 ： 仮数部の符号 ０：正 １：負 仮数部 ： 符号を取り除いた絶対値 　　　　　　　正規化 1.○○○ 指数部 ： 正の数も負の数も、ありえる 指数部にバイアス (127) が加わっている 符号部 仮数部 符号部(S) 指数部(E) 仮数部(M) 1 bit 8 bit 23 bit バイアス127を 加える バイアス127を 引く (-1) S x 1.M x 2 E-127

8 IEEE 浮動小数点数 + 0.1 x 2 11 単精度 （４ バイト ： 32 ビット） float
参考：　小数の表現方法 指数部 + 0.1 x 2 11 IEEE 浮動小数点数 単精度 （４ バイト ： 32 ビット） 倍精度 （８ バイト ： 64 ビット） 形式その２を使う （倍精度のバイアスは 1023） 符号部 仮数部 float 符号部 指数部 仮数部 1 bit 8 bit 23 bit double 符号部 指数部 仮数部 1 bit 11 bit 52 bit

9 四則演算 （＋, －, ×, ÷）

10 加算 10進数の加算と同様に、下位の桁からの 桁上がり （ キャリー ） を足していく 注意： オーバーフロー
10進数の加算と同様に、下位の桁からの　　　　　桁上がり （ キャリー ） を足していく ________________ 例）４ bit 符号なし整数 １ １ １ １ １ 　 ０１００ ＋ ０１１０ 　 １１１１ ＋ ０００１ １ ０ １ ０ １ ０ ０ ０ ０ ________________ 注意： オーバーフロー 　 演算結果が、表現できる数値の範囲より外側に 　 超えてしまうことがある

11 減算 10進数の加算と同様に、下位の桁からの 桁借り （ ボロー ） を引いていく 注意： オーバーフロー
10進数の加算と同様に、下位の桁からの　　　　　桁借り （ ボロー ） を引いていく ________________ 例）４ bit 符号なし整数 １ １ １ １ １ 　 １０１０ － ０１１０ 　 ００００ － ０００１ ０ １ ０ ０ ？ １ １ １ １ 注意： オーバーフロー 　 演算結果が、表現できる数値の範囲より外側に 　 超えてしまうことがある

12 減算 （方法２） ２の補数表現を使って、加算 ２の補数表現では無視する 例） ４ － １ ＝ ４ ＋ (-1) １ １ ０１００
減算 （方法２） ２の補数表現を使って、加算 例） ４ － １ ＝ ４ ＋ (-1) １ １ 　 ０１００ ＋ １１１１ … ４ … －１ １ ０ ０ １ １ … ３ ２の補数表現では無視する

13 ２の補数表現の加算 ２の補数表現を使って、加算 注意： オーバーフロー 演算結果が、表現できる数値の範囲より外側に 超えてしまうことがある
例） ４ ＋ ４ １ 　 ０１００ ＋ ０１００ … ４ … ＋４ １ ０ ０ ０ … 　８？ 正＋正＝負 負＋負＝正 注意： オーバーフロー 　 演算結果が、表現できる数値の範囲より外側に 　 超えてしまうことがある

14 シフト演算 論理シフト あふれた値を捨てる / 空き地に ０ を入れる 符号なしの数の、 ２倍（左シフト）や １/２倍（右シフト）に対応
シフト … ビット列を 左 or 右に 移動させる 論理シフト あふれた値を捨てる / 空き地に ０ を入れる 符号なしの数の、 　　２倍（左シフト）や １/２倍（右シフト）に対応 例） 左シフト 右シフト ０ １ ０ １ … ５ １ １ ０ １ … 13 １ ０ ｘ ０ １ ｘ ________________ … 10 … ６

15 シフト演算 算術シフト 符号ビットを保持する ２の補数表現の、 ２倍（左シフト）や １/２倍（右シフト）に対応 例） 左シフト ０ ０ ０
　　２倍（左シフト）や １/２倍（右シフト）に対応 例） 左シフト ０ ０ ０ １ … １ １ ０ ｘ … -６ … -３ ｘ ０ ０ １ ０ … ２

16 シフト演算 算術シフト 符号ビットを保持する ２の補数表現で、 ２倍（左シフト）や １/２倍（右シフト）に対応 例） 右シフト ０ １
　　２倍（左シフト）や １/２倍（右シフト）に対応 例） 右シフト ０ １ … １ … ２ ｘ １ ０ … -３ … -６ ｘ

17 乗除算 シフトと加減算を組み合わせて実現する ０１０１ … 5 １１０１ … 13 … １１０１ １００００１１ … 67 ｘ ０１０１
　　１１１１ 　　１１０１ 　　　　１０ ０１０１ … 5 … 2 … １１０１　１００００１１ … 67 　 １１０１ ｘ ０１０１ … 13 … 5 　　　１１０１ 　　００００ 　１１０１ ００００ １０００００１ … 65

18 オーバーフロー アンダーフロー 全学向け (情報向けは、「参考」→「用語」) + 0.1 x 2 11 １ １ １ １ 参考： 誤差
参考：　誤差 　 １１１１ ＋ ０００１ 全学向け (情報向けは、「参考」→「用語」) ________________ オーバーフロー 演算結果が、表現できる数値の範囲より 外側に超えること アンダーフロー 浮動小数点演算では、オーバーフローの他に　　　　アンダーフローも起こりえる 演算結果が、表現できる数値の範囲より　　　　　　　細かな数になること １ ０ ０ ０ ０ ________________ 指数部 + 0.1 x 2 11 数値範囲 符号部 仮数部 数直線 ０ オーバーフロー アンダーフロー オーバーフロー

19 情報落ち 桁落ち 全学向け (情報向けは、「参考」→「用語」) 参考： 誤差 ________________ 浮動小数点演算において、
参考：　誤差 全学向け (情報向けは、「参考」→「用語」) ________________ 情報落ち 浮動小数点演算において、 絶対値の大きな数 と 絶対値の小さな数 の 加減算で、絶対値の小さな数の有効桁数の一部または全部が 演算結果に反映されないことで生じる 例） (2) x 24 – (2) x 2-8 桁落ち 値がほぼ等しい数同士の加減算で、 有効桁数が大幅に減ってしまう 例） x 24 x 24 = x 2-3 ________________ 意味があるのはこの桁のみ

20 打切り誤差 丸め誤差 全学向け (情報向けは、「参考」→「用語」) 参考： 誤差 ________________
参考：　誤差 全学向け (情報向けは、「参考」→「用語」) ________________ 打切り誤差 演算を途中で打ち切ったことで発生する誤差 例） sin x を x – x3/3 ! で計算 (本当は、 x – x3/3 ! + x5/5 ! – x7/7 ! + ・・・ と続く) 丸め誤差 最下位桁より小さい部分について、 丸め（四捨五入や切り上げ、切捨て）を 行うことによって生じる誤差 例) 10/3 = 3.333… → 3.3 ________________

21 文字の表現方法 文字コード 　　　文字集合（扱う文字の集合）の 　　　符号化方式（どのように２進数を対応させるか）を 　　　定めたもの

22 ASC I I コード ANS I (American National Standards Institute) で
　　制定された７ビットのコード 英数字、記号、 　　制御コードからなる 例） Ａ の文字コード １ ０ ０ ０ ０ ０ １

23 より多くの文字を取り扱うために ... J I S コード ISO-2022 を符号化方式とした ７ビット １～２バイトのコード
全学向け (情報向けは、２ページに伸ばす) J I S コード ISO-2022 を符号化方式とした 　　　　７ビット １～２バイトのコード 電子メールのやりとりには、ISO-2022-JP の 　　　　符号化方式を用いるのが主流 シフト J I S EUC (EUC-JP) Unicode 世界中の言語で使う文字を 　　　　１つのコード体系に納め（ようとしてい）るコード

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25 「情報向け」 と 「全学向け」 で 微調整が入っているものを、以下に置く

26 オーバーフロー アンダーフロー 情報向け (全学向けは、「参考」→「用語」) 用語： 誤差 ________________
用語：　誤差 情報向け (全学向けは、「参考」→「用語」) ________________ オーバーフロー 演算結果が、表現できる数値の範囲より 外側に超えること アンダーフロー 浮動小数点演算では、オーバーフローの他に　　　　アンダーフローも起こりえる 演算結果が、表現できる数値の範囲より　　　　　　　細かな数になること ________________ 数値範囲 数直線 ０ オーバーフロー アンダーフロー オーバーフロー

27 情報落ち 桁落ち 情報向け (全学向けは、「参考」→「用語」) 用語： 誤差 ________________ 浮動小数点演算において、
用語：　誤差 情報向け (全学向けは、「参考」→「用語」) ________________ 情報落ち 浮動小数点演算において、 絶対値の大きな数 と 絶対値の小さな数 の 加減算で、絶対値の小さな数の有効桁数の一部または全部が 演算結果に反映されないことで生じる 例） (2) x 24 – (2) x 2-8 桁落ち 値がほぼ等しい数同士の加減算で、 有効桁数が大幅に減ってしまう 例） x 24 x 24 = x 2-3 ________________ 意味があるのはこの桁のみ

28 打切り誤差 丸め誤差 情報向け (全学向けは、「参考」→「用語」) 用語： 誤差 ________________
用語：　誤差 情報向け (全学向けは、「参考」→「用語」) ________________ 打切り誤差 演算を途中で打ち切ったことで発生する誤差 例） sin x を x – x3/3 ! で計算 (本当は、 x – x3/3 ! + x5/5 ! – x7/7 ! + ・・・ と続く) 丸め誤差 最下位桁より小さい部分について、 丸め（四捨五入や切り上げ、切捨て）を 行うことによって生じる誤差 例) 10/3 = 3.333… → 3.3 ________________

29 より多くの文字を取り扱うために ... J I S コード シフト J I S 情報向け (全学向けは、１ページに圧縮)
________________ J I S コード ISO-2022 を符号化方式とした ７ビット １～２バイトのコード 電子メールのやりとりには、ISO-2022-JP の 符号化方式を用いるのが主流 シフト J I S J I S コードと同じ文字集合 （８ビット １～２バイト） 以前の Windows や MacOS では、 内部処理用のコードとして主に利用された （現在でも、ユーザはファイル保存時に使える） ________________

30 より多くの文字を取り扱うために ... EUC (EUC-JP) ： 拡張 Unix コード Unicode 情報向け
(全学向けは、１ページに圧縮) ________________ EUC (EUC-JP)　： 拡張 Unix コード J I S コードと同じ文字集合 （８ビット １～２バイト） 主に Unix で用いられる Unicode 世界中の言語で使う文字を １つのコード体系に納め（ようとしてい）るコード Window，Mac OS X，Unix 等の最近の OS で 標準的に扱える 符号化方式には、UTF-8 や UTF-16 が用いられる ________________

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33 この文面は、TOKYO TECH OCW の利用 条件を参考にしました
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この powerpoint ファイルの著作者 堀山 貴史　 改変等を加えられた場合は、お名前等を追加してください 図の著作者 各ページとも 堀山 貴史