Akio Arimoto March 7,2011 Seminar at Tokyo City University

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1 Akio Arimoto March 7,2011 Seminar at Tokyo City University
ふしぎな微分　Schwarzian Akio Arimoto March 7,2011 Seminar at Tokyo City University

2 Agenda １．Schwarzian の 一般的性質 2.非線型微分方程式 の解 ３．一次元力学系 ４．等角写像
2.非線型微分方程式　 の解 ３．一次元力学系 ４．等角写像 ５．ガウス超幾何微分方程式 ６．２つの完全楕円関数の比が満たす 　　　　微分方程式 ７．Halphen システム

3 Schwarzianの定義

4 Schwarzian の性質 ２． 一次分数変換を保存する ,

5 一次分数変換により保存

6 ポアンカレ計量metric 一次分数変換はポアンカレ計量で等距離変換 ユークリッドの長さ ポアンカレ計量での長さ 双曲幾何 フックス群

7 Schwarzian の性質 ３． ４． 合成関数の微分 , 逆関数の微分

8 Schwarzian の性質 ５． ６． ７． ,

9 非線型微分方程式 の解は 線型微分方程式の解からもとまる。
非線型微分方程式　　　　　　の解は 線型微分方程式の解からもとまる。 定理：微分方程式　 の一次独立な解を、 , とする は の解

10 証明

11

12 ３．１次元力学系 反復 　　　　　は周期点（１） はアトラクタ（吸引点）（２） （１）かつ（２） は吸引周期点

13 ： Schwarzian が力学系を支配 定理 臨界点の個数 吸引周期点の個数 となる　　　　を臨界点という

14 Example　　　　　　　　　 吸引周期点は１個 の微分は０となれない

15 Example 吸引不動点が２つ

16 力学系のSchwarzian はマイナス符号
定理 は正の極小または負の極大をもつことができない 定理 臨界点 有限個 周期点は有限個

17 ４．等角写像 .Gauss が解析関数であることを示した 平面上の伸縮運動 Mercator の射影。
Coppenhagen 王立科学協会が提出した懸賞問題(1822) ２つの解析面の対応が等角であるための条件を求めよ Riemann の博士論文1851 .Gauss が解析関数であることを示した 任意の２領域間の等角写像を与える関数の存在定理

18 問題：上半平面を を頂角とする circular linear polygon の内部に移す等角写像 を求めよ
複素上半平面

19 異なる実数　 答：　　　　　　　　　　　　　　　 　 実数 微分方程式 の解 が求めるもの　これは解析関数である

20 特に , ,

21 の一次独立な解の組 求める等角写像

22 微分方程式の変換

23 ガウス超幾何微分方程式 結局つぎの微分方程式が得られる

24 定理 上半平面 を 頂角とするcircular linear polygon の内部に移す等角写像は 超幾何微分方程式
の2つの１次独立な解　　　　　　　にたいして 　　　　　　　　　　で与えられる

25 Fuchs型微分方程式 複素関数　　　　　　　　に対し２階微分方程式 確定特異点　　　　　　をもつとするとき

26 確定特異点regular singular points
は の確定特異点 大体　極 は　　　　　　　　　　　　　　　で正則（多価でよい）

27 決定方程式 の根 は特性根と呼ばれる

28 Riemann　Scheme 　　確定特異点 　　　　　　　に於ける特性根を 、

29 ガウス超幾何微分方程式の登場

30 楕円周期関数 は２階線形微分方程式の基本解

31 ルジャンドルの微分方程式

32 次の変換をつかえばよい

33 変換しても基本解の比は保存 基本解 であるから

34 の基本解を　 　　　　に関する第一種完全楕円積分の値の比

35 も同一の微分方程式を満たす

36 　　基本解 が満たす微分方程式 の基本解を　

37 変換された非線形微分方程式

38

39 Halphenシステム 部分分数表示

40 得られたHalphen システム これからSchwarz 導関数を用いた微分方程式ができる

41 Yousuke Ohyama, Systems of Nonlinear Differential Equations Related to Second Order Linear Equaiotns, Osaka J. Math. 33 (1996), Zeev Nehari, Conformal Mapping, Dover 難波誠, 複素関数三幕劇 朝倉書店　

42 Thank You for your Patience