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近似解法からメタ戦略へ ー巡回セールスマン問題を例としてー 東京商船大学 久保 幹雄
近似解法からメタ戦略へ ー巡回セールスマン問題を例としてー 東京商船大学 久保 幹雄 巡回セールスマン問題って何？ ー数学の時間 なぜこんな問題を研究するの？ ー歴史の時間 良い近似解法ってどんなの？ ー哲学の時間 メタヒューリスティクスって何？ ー物理，生物などの時間
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巡回セールスマン問題って何？ Traveling Salesman Problem (TSP)
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Definition otherwise Asymmetric TSP
Given n points (cities) and a distance function between two points, find a minimum length Hamiltonian circuit |ab|=|ba| Symmetric TSP a b |ab|=|ba| otherwise Asymmetric TSP ΔTSP a b c |ac|≦|ab|+|bc| points are in d-dim. Euclidean space Euclidean TSP
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なぜ巡回セールスマン問題 を研究するの？ 難しいから（と評判だから） ー登山家の立場 暇つぶしに最適 ーパズル愛好者の立場
暇つぶしに最適 ーパズル愛好者の立場 応用がたくさんあるから ー実務家の立場 組合せ最適化の代表例だから ー最適化リサーチャーの立場
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TSPは難しい？ 最も `naïve’ な解法（全列挙法）
某新聞曰く：３０都市の巡回セールスマン問題になると総あたり法は高性能計算機でも約３日かかる! （本当？） (n-1)×(n-2)×…×3×2×1=(n-1)! 1 PIPS (Peta Instruction Per Second) 29!/1015 （秒） ≧ π×1014 （秒） ≒ 105 （世紀） James Stiringの公式 n! ≒2√πn(n/e)n Tom Duffの格言 π秒は1ナノ世紀
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World Records of Exact Algorithms for Euclidean Benchmarks (TSPLIB)
Dantzig, Fulkerson & Johnson cities (1954) Held & Karp cities (1971) Grotschel cities (1977) Crowder & Padberg cities (1980) Padberg & Rinaldi cities (1987) Grotschel & Holland cities (1991) Padberg & Rinaldi cities (1991) Applegate, Bixby, Chvatal & Cook cities (1996) Applegate, Bixby, Chvatal & Cook cities (1998) Applegate, Bixby, Chvatal & Cook cities (2001) Applegate, Bixby, Chvatal & Cook cities (????)
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DANTZIG42 solved by George Dantzig, Ray Fulkerson and Selmer Johnson (1954)
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GR120 solved by Groetschel (1977)
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The optimal tour of ATT532 (532 AT&T switch locations in the USA) found by Padberg and Rinaldi (1987)
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The optimal tour of GR666 (666 cities in the world) found by Groetschel and Holland (1987)
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The optimal tour through a layout of 2,392 (PR2392) found byPadberg and Rinaldi (1991)
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PLA7397 (a programmed logic array application containing 7,397 cities)
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The optimal tour of PLA7397 found by David Applegate, Robert Bixby, Vasek Chvátal and William Cook (1994)
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USA13509 (13,509 cities in the United States having a population of at least 500)
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The optimal tour of USA13509 found by Applegate, Bixby, Chvátal, and Cook (1998)
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D15112 (15,112 cities in Germany)
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The optimal tour of D15112 found by Applegate, Bixby, Chvátal, and Cook (2001)
CPU time used is years of computer time, adjusted to a 500 MHz, EV6 Alpha processor
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1,904,711-city instance
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パズルとＴＳＰ（１） Knight Tour
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A Knight Tour (by Leonhard Euler：1707-1783)
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パズルとＴＳＰ（２） Icosian Game (Origin of Hamiltonian Circuit) Invented by W
パズルとＴＳＰ（２） Icosian Game (Origin of Hamiltonian Circuit) Invented by W. R. Hamilton ( )
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Icosian Game (1) １ ２ ４ ３ ２０
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Icosian Game (2) １ ２ ７ ６ ５ ４ ３ ２０
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Icosian Game (3) １ ２ ７ ６ ５ ４ ３ ９ ８ ２０
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Icosian Game (4) １ ２ ７ ６ ５ ４ ３ ９ ８ １４ １３ １２ １１ １０ ２０
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Icosian Game (5) １ ２ ７ ６ ５ ４ ３ １９ ９ ８ １８ １７ １６ １５ １４ １３ １２ １１ １０ ２０
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Applications of TSP 基盤配線 配送計画 タンパク質構造解析
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10 P Applications clustering a data array circuit board assembly
2 circuit board assembly computer wiring 3 circuit board drilling vehicle routing 4 protein conformations x-ray crystallography 5 VLSI Scan Chain Optimization 6 VLSI fabrication 7
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良いアルゴリズムとは？ アルゴリズムの評価尺度
性能 速さ（CPU時間，仮想実行時間，メモリアクセス回数），メモリ使用量，解の良さ（性能比率，相対誤差） 一般性 頑強性，パラメータに対する頑強性，汎用性 利便性 単純性，実装の容易さ，拡張の容易さ，モジュール化のし易さ 報道価値性 新規性，重要性
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アルゴリズム評価のパラダイム 最悪値解析 確率的解析 実験的解析
すべての問題例に対する悲観値（Christofides’ algorithm） 確率的解析 特定の問題例の分布に対する期待値（Karp’s algorithm） 実験的解析 代表的な問題例に対する実験値
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Theoretical Results（最悪値解析）
Assuming P ≠NP no polynomial-time algorithm can guarantee A(I)/OPT(I) ≦ 2 p(n) for any fixed polynomial p Symmetric TSP △TSP A(I)/OPT(I) ≦ 1+ε for an ε>0 A(I)/OPT(I) ≦1.5 (Christofides’ O(n3) algorithm) d-dimensional Euclidean TSP A(I)/OPT(I) ≦ 1+ε for an ε>0 if d is Θ(n) for any ε>0 if d is O(1) (Arora’s O(n log n/ε) algorithm)
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Approximate Algorithms
Construction Algorithms Nearest Neighbour Greedy Christiofides’ Insertion Karp’s Bucket Improvement Algorithm 2,3,..k-opt Lin-Kernighan opt
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適当な点から出発し、まだ訪問していない最も近い点へ移動する
Nearest Neighbor 全ての点を訪問したら出発点へもどる 適当な点から出発し、まだ訪問していない最も近い点へ移動する
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Nearest Neighbor (Worst Case Results)
Running Time : NN(I) OPT(I) ∀I NN(I) OPT(I) ∃I
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Greedy （Multiple Fragment)
閉路ができたり、次数が２を超えないように、枝を短い順に加えていく
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Greedy (Worst Case Results)
Running Time : Greedy(I) OPT(I) ∀I ∃I Greedy(I) OPT(I)
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奇数次数を持つ頂点に対して最小マッチングを求める
Christofides’ （１） 奇数次数を持つ頂点を赤く塗りつぶす 奇数次数を持つ頂点に対して最小マッチングを求める 最小木を作る
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Christofides’ （２） 一度通過した点をスキップすることにより、順回路をえる
まだ通過していない枝をグラフ非連結にならないようにたどる
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Christofides’ (Worst Case Results)
Running Time : Christofides(I) OPT(I) ∀I ∃I Christofides(I) OPT(I)
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Karp’s Partitioning Method (1)
各小領域に対する最適巡回路を求める 長方形で、p個の点が入るように分割する
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Karp’s Partitioning Method (2)
長方体と交わる点の枝を非連結にならないようにたどる
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Bucket Running Time : 決められた順序（小領域内では任意）で点を訪問する
全ての点を含む単位正方形で小領域に分割し、適当な順序をつける
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Karp’s Partitioning Method Probabilisitcs Analysis（確率的解析）
BHH Theorem (Beardwood, Halton and Hammersley, 1959) 面積Aの正方領域にランダムにばらまかれた n個の点に対する lim OPT(I) ＝ (β≒0.7124) β= BHH (1959) too optimistic! β= Stein (1977)
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実験的解析 特定の応用（実務）のためのアルゴリズムに対する実験 (application paper）
（標準的な問題に対する）アルゴリズムの優越性を示すための実験 (salespitch paper) アルゴリズムの平均的・実際的な振る舞いについての知識を得るための実験 (experimental paper)
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どんな問題例を使うべきか？ Application paper（検証実験） Salespitch paper（競争的実験）
実際問題もしくはそれに類似した問題 Salespitch paper（競争的実験） ベンチマーク問題（なければ自分で作成；開発したアルゴリズムで解きやすいクラスだけ生成しないように！） Experimental paper （分析的実験） ランダム問題生成プログラム（E.g., U(0,1] for bin packing) ->漸近値解析 特に有効なのはパラメータで制御可能なランダム問題生成プログラム（E.g., U(a,b] for bin packing) ベンチマーク問題は補完的（頑強性を調べるため）
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Implementaion for solving 108 TSP within 1% of optimum
Geometric data structure Bucket Delaunay Triangulation K-d tree Tour data structure Array Two-level Tree Segment Tree Splay Tree for solving 108 TSP within 1% of optimum
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実験的解析の結果 Karp’s Percent Excess over OPT(I) 30% Bucket Insertion 25%
Nearest Neighbor Christofides’ 15% Greedy 2-opt 5% SA,GA Tabu Search 3% 3-opt 2% Lin-Kernighan Iterated-LK 1% 0% n nlogn Running Time
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メタヒューリスティクスって何? 自由な発想から生まれた（他分野からのアイディアをもとにした）ものが多い 計算機資源をやたらと食う
時間をかければ良好な近似解が得られる場合が多い（保証はあまりない） 作り手によって性能が大きく変わる 理論的な評価がしずらい Sexyな名前がついている（場合が多い） 改善法（local search）とよばれる古典的な方法をベース（もしくはサブルーチン）にする場合が多い
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組合せ最適化問題(概念図) 大域的最適解 目的関数 f(x) 実行可能解の集合 F
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山頂を目指す闇夜の登山者 ｘ 近傍 N(x)
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2-opt,3-opt neighborhood
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Local Search
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闇夜の登山者(ここが山頂?) 局所最適解
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Lin-Kernigan opt (=3-opt + Depth-first Tabu Search using 2-opt neighborhood)
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LK Search (Depth-first Tabu Search using 2-opt neighborhood)
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LK Search (Depth-first Tabu Search using 2-opt neighborhood)
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2-opt,3-opt,k-opt (Worst Case Results)
Running Time : ∃I PLS-complete ∃I A k-opt(I) OPT(I) A 2-opt(I) A 3-opt(I) A 2,3,k-opt(I) OPT(I) ∀I
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Simulated Annealing 法 （模擬焼きなまし法）
温度Ｔが高い 温度 T＝0 徐々に冷却
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Simulated Annealing法 低温期 高温期 徐々に冷却
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温度による受理確率の変化 受理確率 1 高温 低温 Δ=f(y)-f(x) 目的関数値の変化量
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Genetic Algorithm (遺伝的アルゴリズム)
遺伝（ダーウインの進化論）にアナロジーをもつ． 複数の実行可能解（集団:population）を保持する点が特徴． 新たな集団を生成するために，交叉(crossover)および突然変異(mutation)と呼ばれる操作を用いる．
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交叉と突然変異 交叉(crossover) 親世代 子孫 突然変異 (mutation)
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Tabu Search (禁断探索法) 人間の記憶過程にアナロジーを持つ． 別名
最急上昇・最緩下降法 (steepest ascent mildest descent method) 適応型記憶計画(adaptive memory programming) 同じ場所を巡回しないように，記憶を頼りに，常に最も高い方向(下りの場合は最も勾配の緩やかな方向)を目指す．
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Tabu Search(概念図） |TL|=2
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Tabu Search 1 に戻らないように 一番高い地点へ移動しよう！
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Tabu Search 2 |TL|=2
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Tabu Search 3 |TL|=2 FIFO
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Tabu Search 4
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Tabu Search 5
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Tabu Search 6
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Tabu Search 7
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Tabu Search 8
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Tabu Search 9
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Tabu Search 10
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アルゴリズム工学の将来 異分野との積極的な情報交換 自由な発想による新しい研究体系の受け入れ 理論，応用，実務との間の橋渡し
実際問題，応用，アルゴリズムのアイディア 自由な発想による新しい研究体系の受け入れ 理論，応用，実務との間の橋渡し
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