コラッツ予想の変形について 白柳研究室 ５５０９０６４ 田渕　康貴.

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1 コラッツ予想の変形について 白柳研究室 ５５０９０６４ 田渕　康貴

2 研究目的と背景 本研究では、コラッツ予想の規則性に興味を持っ た。Ｍａｐｌｅ１４を用いて、コラッツ予想の変 形に関する計算機実験を行い、新たな規則性を発 見する。 そして、本来のコラッツ予想と比較し、解決への 糸口を探る。 昨年度４年生、藤田の研究論文ではコラッツ予想 の変形、πとeについて的をしぼり研究していた。

3 コラッツ予想 コラッツ予想とは、任意の自然数Ｎに対して、そ れが偶数の場合は２で割り、奇数の場合は３倍し て１を加えるという操作を繰り返して行くと、必 ず有限回で１に到達するであろうという予想であ る。 Ｎ＝２１のときでは ２１→６４→３２→１６→８→４→２→１→４→ ２→１→・・・ 　１の周期サイクル

4 コラッツ予想の変形 本来のコラッツ予想（２，３，１，ｎ） コラッツ予想の変形 ｛ｎが１～１００｝ （２，３，４，ｎ）、（２，５，１，ｎ） （２，３，２，ｎ）・・・ 定数項１を置き換える （２，３，４，ｎ）・・・発散するものもある （２，３，５，ｎ）・・・収束した （２，３，６，ｎ）・・・発散するものもある

5 実験結果１ （２，３，５，ｎ）で（１～１００）までの値で なんらかの数に収束することを発見。 収束値は１，５，１９，２３の４パターン。 例：ｎ＝８１ ８１→２４８→１２４→６２→９８→４８→１５ ２→７６→３８→１９→６２→９８→４８→１５ ２→７６→３８→１９ 規則性はｎが５の倍数のときは５に収束すること。 ５以外にも同様のことが言えるかどうかを確かめ る。

6 ｒを（４～１１）までの値で実験 （２，３，ｒ，ｎ） ｒが偶数の場合 ４，６，８，１０では 適当な値で発散するものもあった。 ｒが奇数の場合 ５，７，９，１１ ではすべて収束した。 ｒ＝７、ｎ＝「７の倍数」のとき、収束値は７。 ｒ＝９、ｎ＝「９の倍数」のとき、収束値は９。 ｒ＝１１、ｎ＝「１１の倍数」のとき、収束値は １１。

7 （２，３，ｒ，ｎ）に対し、 ｎとして１から１００までの数でｒの倍数でないものも試してみる。
（２，３，５，ｎ）と同様に 　３，７，９，１１でもその倍数だけでなく、 １から１００までの値を入れて試してみる。 （２，３，３，ｎ） （２，３，７，ｎ） （２，３，９，ｎ） （２，３，１１，ｎ）

8 結果 全てのパターンで発散することなく収束した。 （２，３，３，ｎ）すべての値が３に収束。
　このとき（２，５，５，ｎ）、（２，７，７， ｎ）も計算機実験を行ったが５，７では収束は見 られなかった。 （２，３，７，ｎ） 　７の倍数はすべて７に 　収束したが、それ以外の値では５に収束。 　（２，３，９，ｎ） ９の倍数だけでなく、すべての値が９に収束する ことを発見。 　（２，３，１１，ｎ） 　１，１１，１３と複数の収束値があった。

9 まとめ 今後の課題 （２，３，３，ｎ）、（２，３，９，ｎ）はいか なる自然数に対してもそれぞれ３，９に収束する ことがわかった。
　今回の研究でコラッツ予想の解決の糸口とまで はいかないが、１でなく３，９に収束するコラッ ツ予想の変形を見つけることができたことは大き い。 今後の課題 プログラムを並列処理させて時間を短縮させる必 要がある。