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P,Q比が変更可能なScaLAPACKの コスト見積もり関数の開発
修士2年 斉藤 宏樹
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研究背景 グリッド グリッドコンピューティング ネットワークで遠隔地にある計算資源を接続 グリッドを利用して大規模計算
アプリケーションのスケジューリングが必要
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スケジューリングの必要性 適切な計算資源を選択することが困難 グリッドはCPUやネットワーク性能等が不均質 計算資源の状態が動的に変動
従来の均質環境と大きく異なる特徴を持つ
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スケジューリングへのアプローチ Launch-time Scheduling ReScheduling Meta-Scheduling
アプリケーション実行前のみ行う 適切な計算資源を選択 ReScheduling アプリケーション実行中にも行う 動的情報を考慮しながら計算資源を再選択 Meta-Scheduling 同時に同じ計算資源で実行するアプリケーションを考慮して順序などを決定
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研究目標 グリッドにおけるスケジューラの開発 ScaLAPACKのスケジューラ開発 分散アプリケーションを対象
有効な計算資源を選択したスケジュール生成 ScaLAPACKのスケジューラ開発 アプリケーション実行前に計算資源を選択 ScaLAPACKは計算と通信を頻繁に実行するため， スケジューリングの対象として有効
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ScaLAPACKとは？ 分散メモリ用の線形計算ライブラリ 通信しながら行列を分解（MPIなど使用） 計算資源に合わせてパラメータ調整可能
Scalable LAPACK 共有メモリ用のLAPACKを並列用に拡張 通信しながら行列を分解（MPIなど使用） LU分解，QR分解 計算資源に合わせてパラメータ調整可能 問題サイズ，ブロックサイズ，P,Q比など 科学技術分野で使用される重要なライブラリ
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P,Q比とは？（２次元） 行方向と列方向へのプロセスの割り当て方 ６ノードに行列を分配する場合
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コスト見積もり関数とは？ スケジューラ
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従来のコスト見積もり関数 パラメータに制限 Pが１に固定（１次元のみ）
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開発したコスト見積もり関数 P,Q比が変更可能 ２次元の方が１次元よりも実行時間は短くなる
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P,Q比が変更可能なコスト見積もり関数の開発
密連立一次方程式を解くアルゴリズムを対象 PDGESVルーチン LU分解による行列演算時間を見積もる 従来のコスト見積もり関数を調査 PDGESVルーチンのアルゴリズム解析 演算量と通信量の見積もり値・方法を決定 評価（見積もり値の正確さ） 修正
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ブロックLU分解フェーズ（１） 最大要素の探索（PDAMAX）
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ブロックLU分解フェーズ（２） ブロック列において行交換（PDSWAP）
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ブロックLU分解フェーズ（３） ブロック列（L）の計算（PDSCAL）
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ブロックLU分解フェーズ（４） ブロックパネル（U）の更新（PDGER）
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演算範囲の推移 これまでの演算をNB-1回繰り返す
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ピボット情報の送信 列方向にBroadCast
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各ブロック列において行交換 行方向でSendRecv
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ブロック行の更新フェーズ（１） 分解済みブロックパネル（L）の送信 BroadCast
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ブロック行の更新フェーズ（２） ブロック行（U）の更新
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未更新行列の更新フェーズ（１） 分解済みブロック（L）の送信 BroadCast
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未更新行列の更新フェーズ（２） 分解済みブロックの送信 BroadCast
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未更新行列の更新フェーズ（３） 行列積の演算（PDGEMM）
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コスト見積もり関数の開発 演算量の見積もり 演算時間の算出 計算時間の大部分を占めるルーチンを分析 行列更新の浮動小数点演算量を見積もる
DGEMMルーチン 行列更新の浮動小数点演算量を見積もる 演算時間の算出 DGEMMのピーク性能値（Flops）を用いる 演算量（Flops）/ピーク性能(Flops)=時間(sec)
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通信時間の見積もり SendRecv BroadCast 行交換の際に発生（P≧２） 送受信にかかる時間を計算
Split-ring方式を見積もる 送信ステップは(n+1)/2
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Split-ringの見積もり プロセス番号０の送受信が終了するまで
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数値実験（関数の評価） ScaLAPACKをクラスタで実行 ParadynによりScaLAPACKを実行
NWSにより計算資源情報を収集し関数へ入力 CPU利用可能率，バンド幅，レイテンシ収集 ATLAS, High Performance BLASを使用 正確な演算性能で計算させる コスト見積もり関数による見積もり値と比較 ParadynによりScaLAPACKを実行 Paradynにより演算時間や送受信量を計測 演算時間と送受信量を見積もり値と比較
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実験環境 ・静的情報 ・動的情報（NWSより） Cluster Gregor Xenia クロック周波数（MHz）
FLOPS／クロック周波数（Hz） DGEMMピーク性能（%） メモリ（MB） ノード数 1000 1.0 60 512 30 2400 2.0 87.5 48 ・動的情報（NWSより） CPU利用可能率（%） バンド幅（Mbps） レイテンシ（μsec） [0.0 – 1.0] -
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ScaLAPACKのパラメータ ・Gregor ・Xenia Problem Size(N) 9600 Block Size(NB) 80
Process Grid(P,Q) (1×30),(2×15),(3×10),(5×6), (6×5),(10×3),(15×2),(30×1) ・Xenia Problem Size(N) 11520 Block Size(NB) 80 Process Grid(P,Q) (1×48),(2×24),(3×16),(4×12), (6×8),(8×6),(12×4),(16×3), (24×2),(48×1)
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実測値と見積もり値の比較 ・Gregor ・Xenia 最小実行時間をとるP,Qの値が異なる
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見積もり値の誤差 ・Gregor ・Xenia GregorとXeniaで誤差に大きな差
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演算時間・送受信量の比較（Gregor）
演算時間の誤差は小さい
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まとめ P,Q比が変更可能な見積もり関数開発 実測値と見積もり値の比較 PDGESVルーチン解析 送受信の見積もりに行交換を新しく追加
クラスタにScaLAPACK，NWSをインストール Paradynにより演算時間と送受信量を比較 誤差の原因を把握して修正する必要がある
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