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資源制約スケジューリング問題 ―メタヒューリスティクスによるアプローチ
野々部宏司 法政大学デザイン工学部
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背景 組合せ（最適化）問題： “離散的”な集合を扱う問題 実用上の要請 高性能アルゴリズム 汎用近似アルゴリズム
計算の複雑さの理論： NP困難性 現実には，多くの場合において厳密解を求めることは困難 実用上の要請 解きたい問題（問題例）に対して，一定時間内に実務上許容可能な解が実際 に得られること 比較的良質の解で満足 近似解法，発見的手法 高性能アルゴリズム 問題構造を巧く利用 適用範囲限定 汎用近似アルゴリズム 性能と汎用性のトレードオフ
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本研究の目指すところ 実用性の高いスケジューリング・エンジンの開発 適用可能性（汎用性）： 拡張RCPSPモデル
高性能： メタヒューリスティクス RCPSP ソルバ 汎用モデル RCPSP RCPSPに 定式化 スケジュール スケジューリング最適化エンジン 理 論 ―――― 応 用 ―――― 実 用 Theory Application Practice
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モデル
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RCPSP (Resource Constrained Project Scheduling Problem)
資源 r ∈ R 機械，工具，マンパワー，… 各時間 Kr まで利用可能 作業（仕事，工程） i ∈ I 処理時間： di （中断不可） 必要資源量： ki,r for r ∈ Ri 開始時刻（決定変数, 非負整数）： si 先行制約 i → j si + di sj 評価基準 最大完了時刻，フロー時間，最大納期遅れ，…
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ガントチャート 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 i ki,r di t
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ガントチャート 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t 資源 r i ki,r di 3 4 Kr = 3 2 4 5 4
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拡張RCPSP 資源供給量が時間の経過とともに変化 作業による資源消費量が処理の経過とともに変化 時間制約（一般化先行制約）
資源供給量： Kr Kr,t (t = 1, 2, …) 作業による資源消費量が処理の経過とともに変化 資源消費量： ki,r ki,r,t (t = 1, 2, …, di) 時間制約（一般化先行制約） Multiple 処理モード 作業の中断，並列処理
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時間制約 sj – si dij dij 0 の場合 最小遅延時間，最早開始時刻 i dij 0 j t si sj
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時間制約 sj – si dij dij 0 の場合 最大遅延時間，納期 i dji < 0 j t si sj
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時間制約 sj – si dij dij 0 i dji < 0 j t sj 時間枠の設定なども可能
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時間制約スケジューリング si + dij sj dij i j Activity-on-node project network
作業間の先行関係（時間制約）を表現 i から j への最長路を dist(i, j) とすれば，si + dist(i, j) sj 実行可能スケジュールが存在することは，長さ正の閉路が存在しないこ とに対応 （全点間）最長路問題： O(n (m + n log n)) 時間 si + dij sj i j dij 1 –3 –1 2 –4 4 8 –5 3 5 6 1 3 10 8 dist(0, i): 最早開始時刻
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Multiple 処理モード 作業の処理方法（＝処理時間，必要資源量） MRCPSP（Multi-mode RCPSP）
処理モードとして，複数の選択肢を設定可能 例 性能の異なる機械 作業量（人×日）一定 特急処理 MRCPSP（Multi-mode RCPSP） 各作業をいつ，どの処理モードで行うかを決定
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Multiple 処理モード 作業 i の処理モード集合 Mi 0-1 変数 xi,m を用いて作業 i の処理モードを表現
xi,m =1 ⇔ 作業 i を処理モード m で処理 xi,m = 1, for all i m∈Mi 処理モード割当て： x = (xi,m | i ∈ I, m ∈ Mi) 非再生資源制約 s ∈ Rnon スケジュール全体での利用可能量に制限 例： 原材料，予算，... hm,s xi,m Hs i m 処理モードのみに関する制約
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作業の中断 d 作業 i 1 2 … t … d it 作業 i 作業は中断後, 再処理可能
作業 i （処理時間 d） を d個の小作業 iτ (1 τ d) に分解 d 作業 i 1 2 … t … d it 作業 i
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作業の中断 1 2 … t dm 作業 i t+1 it it+1 b(t) 中断 作業は中断後, 再処理可能
作業 i （処理時間 d） を d個の小作業 iτ (1 τ d) に分解 小作業間で中断可能 iτ, iτ+1 間の最大中断時間 b(τ) を設定可能 1 2 … t dm 作業 i t+1 it it+1 b(t) 中断
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作業の中断 1 2 … t dm 作業 i t+1 it it+1 作業は中断後, 再処理可能
作業 i （処理時間 d） を d個の小作業 iτ (1 τ d) に分解 小作業間で中断可能 iτ, iτ+1 間の最大中断時間 b(τ) を設定可能 各作業の開始時刻ベクトル si = (sit | 1 t di) を決定 中断中も資源を消費可能 1 2 … t dm 作業 i t+1 it it+1
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例：勤務時間を考慮した生産スケジューリング
ジョブショップ型のスケジューリング問題 各製品は複数の工程を経て生産 工程は，手動処理（前半） + 自動処理（後半） 設備資源は工程全体を通して，作業員資源 は手動処理においてのみ必要 休憩時間，シフト間においては， 手動処理を中断，自動処理は続行 割り込み不可 8 12 18 24 6 自動処理 手動処理 時
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例：勤務時間を考慮した生産スケジューリング
ジョブショップ型のスケジューリング問題 各製品は複数の工程を経て生産 工程は，手動処理（前半） + 自動処理（後半） 設備資源は工程全体を通して，作業員資源 は手動処理においてのみ必要 休憩時間，シフト間においては， 手動処理を中断，自動処理は続行 割り込み不可 8 12 18 24 6 自動処理 手動 割り込み禁止（中断中も設備資源を消費） 時
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作業の並列処理 1 2 … t … d it i1 i2 it 作業 i p(t): 最大並列数 小作業を並列処理可能
資源集合 R を，消費のされ方によって Rsum, Rmax に 分割 1 2 … t … d it 作業 i i1 i2 p(t): 最大並列数 it
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例： 配員計画を含む生産スケジューリング 大きな構造物が対象 総仕事量のみが与えられ，詳細な計画なし 作業： 溶接，研磨，塗装など
資源： 構造物の配置場所，工員 総仕事量のみが与えられ，詳細な計画なし 溶接 研磨 塗装 t
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例： 配員計画を含む生産スケジューリング 大きな構造物が対象 総仕事量のみが与えられ，詳細な計画なし 作業： 溶接，研磨，塗装など
資源： 構造物の配置場所，工員 総仕事量のみが与えられ，詳細な計画なし 溶接 研磨 塗装 t
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例： 配員計画を含む生産スケジューリング 大きな構造物が対象 総仕事量のみが与えられ，詳細な計画なし
作業： 溶接，研磨，塗装など 資源： 構造物の配置場所，工員 総仕事量のみが与えられ，詳細な計画なし 「工員」資源 ∈ Rsum： 各小作業が消費する資源量の合計が必要 「配置場所」資源 ∈ Rmax： 小作業が消費する資源量の中で最大のものが必要 塗装 研磨 溶接 作業の並列処理 t
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アルゴリズム
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局所探索法 適当な初期解 x を何らかの方法で生成
x に対して，局所的な変更を加えて得られる解の集合（近傍） N(x) の中に x よりもよい解 x が存在すれば，x := x として （x から x に移動して）2. に戻る 存在しなければ終了 N(x) x x
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タブー探索法 局所探索法の拡張 改悪解への移動を許可 近傍内の最良解へ（改悪であっても）移動 過去の探索履歴を基に，近傍を制限
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アルゴリズムの概略 基本的枠組みはタブー探索 解 (x, ℓ)
実行可能処理モード割当て x = (xi,m | i∈I, m∈Mi) 非再生可能資源制約をすべて満足 作業リスト （作業の順列） ℓ = (ℓ1, ℓ2,…, ℓ|I|): リストスケジューリングによって，解 (x, ℓ) からスケジュール (x, s) を生成 s = (si | i ∈ I ) si = (siτ | 1 τ di,m) : 作業 i の開始時刻ベクトル リストスケジューリングにより得られるスケジュールで解を評価
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リストスケジューリング 入力： 解 (x, ℓ) 出力： 実行可能スケジュール (x, s) or “failure”
各作業の開始時刻ベクトル si（各小作業の開始時刻）をリストの順に決定 si ： すべての制約を満たす最早開始時刻（最小ベクトル） フォワード・スケジューリング 実行可能な開始時刻ベクトルが存在しない場合は，バックトラック
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リストスケジューリング： バックトラック 入力： 解 (x, ℓ) 出力： 実行可能スケジュール (x, s) or “failure” 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 i j i ... j t
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リストスケジューリング： バックトラック 入力： 解 (x, ℓ) 出力： 実行可能スケジュール (x, s) or “failure” 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -4 i j i ... j t
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リストスケジューリング： バックトラック 入力： 解 (x, ℓ) 出力： 実行可能スケジュール (x, s) or “failure” バックトラック回数に制限 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -4 i j i ... j t
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解空間の縮小 Activity-on-node project network の利用 以下の条件を満たす解 (x, ℓ) のみ探索
1. dist(i, j) < , dist( j, i) = リスト ℓ において，i は j に先行 2. 同一強連結成分内の作業はリスト ℓ 中連続して出現 1 –3 –1 2 –4 4 8 –5 3 5 6
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初期解 初期解 (x0, ℓ0) 初期処理モード割当て x0 初期リスト ℓ0
実行可能性判定（すべての非再生可能資源制約を満たすことができるかどうかの 判定）がNP困難 制約充足問題に対するメタヒューリスティクス（TabuCSP） 初期リスト ℓ0 ランダムもしくは発見的手法
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近傍 近傍 N(x, ℓ) 1. ChangeMode(i, m) 2. ShiftForward(i, j)
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近傍 近傍 N(x, ℓ) 1. ChangeMode(i, m) 2. ShiftForward(i, j)
作業 i の処理モードを m∈ Mi に変更 その結果，x が非再生可能資源制約に違反するようであれば， x を初期解として TabuCSP を実行 TabuCSP は，ある定められた反復回数で打ち切り 2. ShiftForward(i, j)
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近傍 近傍 N(x, ℓ) 1. ChangeMode(i, m) 2. ShiftForward(i, j)
1. dist(i, j) < , dist( j, i) = リスト ℓ において，i は j に先行 2. 同一強連結成分内の作業はリスト ℓ 中連続して出現
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近傍 近傍 N(x, ℓ) 1. ChangeMode(i, m) 2. ShiftForward(i, j)
クリティカルパスによる近傍の縮小
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計算実験
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ベンチマーク問題： MRCPSP Tabu search1 30 秒 95/270 284.07%
Multi-mode RCPSP (資源制約, 先行制約) PSPLIB [Kolisch and Sprecher, 1997] j20: 554 個の問題例 |R| = |Rnon| = 2, | I | = 20, |Mi| = 3 アルゴリズム 計算時間 #実行可能 最良値からの平均誤差 Tabu search1 30 秒 95/270 284.07% Priority-rule method2 270/270 180.05% Our tabu search3 10 秒 269/270 95.88% 1. [De Reyck and Herroelen, 1999] 333MHz PC 上で実行 2. [Heilmann, 2001] 333MHz PC上で実行 3. 1GHz PC上で実行
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ベンチマーク問題： MRCPSP/max Tabu search1 30 秒 95/270 284.07%
Multi-mode RCPSP with minimum and maximum time lags ProGen/max [Schwindt, 1998] 270 個の問題例: |R| = |Rnon| = 3, | I | = 100, |Mi| = 3, 4 or 5 アルゴリズム 計算時間 #実行可能 最良値からの平均誤差 Tabu search1 30 秒 95/270 284.07% Priority-rule method2 270/270 180.05% Our tabu search3 10 秒 269/270 95.88% 1. [De Reyck and Herroelen, 1999] 333MHz PC 上で実行 2. [Heilmann, 2001] 333MHz PC上で実行 3. 1GHz PC上で実行
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