依田高典『不確実性と意思決定の経済学』日本評論社 1997年

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1 依田高典『不確実性と意思決定の経済学』日本評論社 1997年
『ミクロ経済分析入門』 意思決定の経済学（経済心理学）(2) 不確実性編 参考文献： 依田高典『不確実性と意思決定の経済学』日本評論社 1997年 第2章「不確実性の意思決定理論」 京都大学大学院経済学研究科　助教授 依田高典

2 1 不確実性の意思決定理論：50年前 ナイトの危険と不確実性の峻別： 確率理論の適用可能性をめぐって アローの1951年展望論文：
1　不確実性の意思決定理論：50年前 　ナイトの危険と不確実性の峻別： 確率理論の適用可能性をめぐって 　アローの1951年展望論文： 　ノイマン・モルゲンシュテルン期待効用理論か 　シャックル不確実性理論か 　期待効用理論が有望 　アローの予言通り、期待効用理論が普及： 　期待効用理論はゲーム理論の基礎概念として大成功。 　しかし現在、期待効用理論は、確率加法性と加重平均(基数主義)という二つの観点から、現実妥当性が揺らいでいる。 　奇妙なことに、昨今の期待効用理論の批判的検討は、まさにシャックルの理論の先駆性を証左。

3 2 聖ペテルスブルグの逆説 その期待値は∞： しかし我々はこの賭に∞の価値を見出さない。ベルヌーイは効用関数を仮定し、この問題を解決。
2　聖ペテルスブルグの逆説 コインをはじき、裏表を見る繰り返しゲ−ムを考え、ｎ回目に表が出た時に２ｎドルの賞金が貰えるものとする。表が出続ける限りゲ−ムを続行し、より高い賞金に挑戦してもよいが、裏が出ればその時点で賞金は没収され、ゲームは終了となる。 その期待値は∞： しかし我々はこの賭に∞の価値を見出さない。ベルヌーイは効用関数を仮定し、この問題を解決。 例えばU＝logならば、このゲームの期待効用はlog4にすぎない。このベルヌーイの解法こそ危険回避型効用関数と呼ばれるもの。

4 3 期待効用関数 期待効用関数定理： 一連の公理体系が満足されるもとで次の等値命題が成立する。
3　期待効用関数 　期待効用関数定理： 一連の公理体系が満足されるもとで次の等値命題が成立する。 a1 (≧)a2 　⇔　EU(a1)＝ΣpjU(x1j)≧EU(a2)＝ΣpjU(x2j) 即ち、行為a1がa2よりも選好されるか少なくとも無差別であるときそのときに限り、a1の期待効用はa2の期待効用以上である。 　独立性公理： 任意の三つの確率分布P、P*とP**に関して、任意の実数λ∈(0,1]に関して、P*(≧)P⇔λP*＋(1−λ)P**(≧)λP＋(1−λ)P**という等値性が成立する。 もしも確率変数P*がPよりも選好されるか少なくとも無差別であるならば、確率λで表、確率(1−λ)で裏が出る２つのコインを考え、一方のコインは表が出ればP*、裏が出ればP**、他方のコインは表が出ればP、裏が出ればP**とした場合、前者のコインが後者のコインよりも選好されるか少なくとも無差別でなければならない。 独立性公理は、実数値関数が確率に関して線形（加重平均）であること(U(p1,…,pn)＝ΣpiU(xi)) を保証する。

5 4 危険回避とリスクプレミアム 確率変数P：P＝(利得x1,確率1−p；x2,p)、x1＞x2
4　危険回避とリスクプレミアム 確率変数P：P＝(利得x1,確率1−p；x2,p)、x1＞x2 確率変数の数学的期待値の効用Ｕ(Ｅ(Ｐ))と期待効用ＥＵ(Ｐ)： U(E(P))＝U((1−p)x1＋px2) EU(P)＝(1−p)U(x1)＋pU(x2) 危険愛好的　⇔　U(E(P))＜EU(P) 危険愛好的な選好　⇔　凸の効用関数 ρという定数を考え、 U(E(P)−ρ)＝EU(P) とする。(E(P)−ρ)を確率変数Pの「確実性等価」と呼ぶ。ρは「リスク・プレミアム」と呼ばれる。 効用曲線の曲率が大きいほどリスク・プレミアムの絶対値は大きくなるので、効用曲線の曲率を危険回避や危険愛好の強さの測度となる。

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7 5 保険の経済理論 保険需要者である契約者の期待効用： (Ｕ’＞0、Ｕ”＜0、初期所得Ｘ,事故損失額Ｌは正の定数。)
5　保険の経済理論 保険需要者である契約者の期待効用： (Ｕ’＞0、Ｕ”＜0、初期所得Ｘ,事故損失額Ｌは正の定数。) 状態１(無事故)；確率１−ｐ、所得Ｘ 状態２(事故)　；確率ｐ　　、所得Ｘ−Ｌ ＥＵ(Ｐ)＝(１−ｐ)Ｕ(Ｘ)＋ｐＵ(Ｘ−Ｌ) 保険者の提供する保険契約Ｉ＝(保険料Ａ,保険金額Ｂ)として、保険契約者の保険契約後の所得(ｘ１,ｘ2)、その期待効用ＥＵ(Ｐ,Ｉ)並びにｘ１のｘ2に対する限界代替率ＭＲＳ12： 状態１(無事故)；確率１−ｐ、所得ｘ１ ＝Ｘ−Ａ 状態２(事故)　；確率ｐ　　、所得ｘ２＝Ｘ−Ｌ−Ａ＋Ｂ ＥＵ(Ｐ,Ｉ)＝(１−ｐ)Ｕ(ｘ１)＋ｐＵ(ｘ2) ＭＲＳ12 ＝((１−ｐ)Ｕ’(ｘ１))/ｐＵ’(ｘ2) 保険契約者の期待効用極大化の一次条件： ＭＲＳ12＝(Ｂ−Ａ)/Ａ 即ち、限界代替率と純保険金額の保険料に対する比率が均等化。賭率として公平な保険契約（保険加入前後の期待所得が等しい契約）を考える。 Ａ/Ｂ＝ｐ (3.10) 即ち、保険料の保険金に対する比率(保険価格)が事故確率に均等化する。 ＭＲＳ12 ＝(１−ｐ)/ｐ　⇔　Ｕ’(ｘ１)＝Ｕ’(ｘ2) となる。以上から、保険契約者の最適保険は、 ｘ１＝ｘ2　⇔　Ｌ＝Ｂ 即ち 、損害額と保険金額が均等化する「完全保険」となる。

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9 6 シャックル理論の独自性 シャックル理論と期待効用理論の相違点：
6　シャックル理論の独自性 シャックル：不確実性を生涯のテーマとして探求し続けたケインジアン経済学者。学界からは敬されつつも遠ざけられた。その理論は非常に難解なので、ここでは取り上げない。 シャックル理論と期待効用理論の相違点： 　第一に、期待効用理論は加法性公理(あるいは独立性公理)を前提とする理論であるが、シャックル理論は加法性公理(あるいは独立性公理)を認めない理論である。 　第二に、期待効用理論は加重平均理論であるが、シャックル理論は加重平均を認めない理論である。 　従って、期待効用理論とシャックル理論は、確率加法性と加重平均の妥当性をめぐって比較検討されなければならない。

10 7　エルスバーグの反例 ２つの壷A1とA2があり、それぞれの中に赤玉(R)と黒玉(B)が計100個入っている。A1は赤玉と黒玉が等確率であることが判っているが、A2は赤玉と黒玉の確率分布がどのようなものか判っていない。 被験者は先ずA1とA2のどちらかの壷を指定し、次に赤と黒の色を指定した上で、玉を1つ引くように求められる。もしも指定した色と玉の色が一致すれば賞金が貰えるが、一致しなければ賞金は貰えない。 A1：(赤玉R1,確率1/2；黒玉B1,確率1/2) A2：(赤玉R2,確率？；黒玉B2,確率？) もしも「論拠不十分の原理」が適用されるならば、いずれの壷といずれの色それぞれ無差別なはず。しかしA1(＞)A2という選好が観察される。 主観的確率をP(･)として解釈すれば、P(R1)＝P(B1)、P(R2)＝P(B2)、P(R1)＞P(R2)、P(B1)＞P(B2)、P(R1ＵB1)＝P(R2ＵB2)となる。 ここで、P(R2)＜P(R1)＝1/2、P(B2)＜P(B1)＝1/2なので、P(R2)＋P(B2)＜P(R2ＵB2)となる。即ち、主観確率の確率加法性公理が破綻する。

11 8　アレの反例 　択一問題１ Ａ１：(賞金＄100,確率1) Ａ２：(賞金＄500,確率0.1;賞金＄100,確率0.89;賞金＄0,確率0.01) 　択一問題２ Ｂ１：(賞金＄100,確率0.11;賞金＄0,確率0.89) Ｂ２：(賞金＄500,確率0.1;賞金＄0,確率0.9) この択一問題に対して、意思決定者はＡ１(＞)Ａ２かつＢ１(＜)Ｂ２という選好を持つことが観察される。 この選択は、 (X, P; Z, 1-P)(＞)(Y, P; Z, 1-P) ⇔　(X, P; W, 1-P)(＞)(Y, P; W, 1-P) を要請する独立性公理に関する体系的破綻を意味する。

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13 9 期待効用理論の一般化 (1) 主観的確率理論 (2) プロスペクト理論 (3) リグレット理論 (4) 相互依存理論
9　期待効用理論の一般化 (1)　主観的確率理論 典型例ΣＳ(ｐ)ｘ： 利得の線形性を保持し、確率の線形性を緩和。 (2)　プロスペクト理論 典型例ΣＳ(ｐ)Ｕ(ｘ)： 確率と利得両方の線形性を緩和。 (3)　リグレット理論 典型例ΣｐＱ(Ｕ(ｘij)−Ｕ(ｘ-ij))： 実現しなかった利得の影響を考慮。 (4)　相互依存理論 典型例ΣｐＵ(ｘ,ｐ) or ΣＳ(ｐ,ｘ)Ｕ(ｘ)： 結果と確率の相互依存性を考慮。 (5)　マックス・ミニ期待効用理論 典型例MINｐ∈Ｐ[ΣｐＵ(ｘ)]： 期待効用基準と辞書式順序基準を折衷化。

14 10 プロスペクト理論(1) トベルスキ・カーネマンの画期的業績 (1) 編集過程：
10　プロスペクト理論(1) トベルスキ・カーネマンの画期的業績 (1)　編集過程： ａ　類型化(coding)：参照点(reference point)で利得を正領域と負領域に分類 ｂ　結合化(combination)：等利得の確率和算 ｃ　分離化(segregation)：確実な利得部分と危険な利得部分との分離 ｄ　切捨化(cancellation)：通常の独立性公理 ｅ　単純化(simplication)：小さい差異の無視 (2)　評価過程： 　　Ｓ(ｐ)；意思決定加重値(decision weight) 　　意思決定加重値には次のような特質がある。 ａ　単位和を満たさない(Ｓ(ｐ)＋Ｓ(１−ｐ)≦１) ｂ　低確率は過大評価 ｃ　非比例性(Ｓ(ｐｑ)/Ｓ(ｐ)≦Ｓ(ｐｑｒ)/Ｓ(ｐｒ)) ｄ　末端近くでの非連続性

15 10 プロスペクト理論(2) Ｖ(ｘ)；利得の主観的価値 ケ−ス１；ｐ＋ｑ＜１あるいはｘ≦０≦ｙあるいはｘ≧０≧ｙの場合、
10　プロスペクト理論(2) Ｖ(ｘ)；利得の主観的価値 ケ−ス１；ｐ＋ｑ＜１あるいはｘ≦０≦ｙあるいはｘ≧０≧ｙの場合、 Ｖ(利得x,確率ｐ;利得y,確率q)＝Ｓ(ｐ)Ｖ(ｘ)＋Ｓ(ｑ)Ｖ(ｙ) ケ−ス２；ｐ＋ｑ＝１かつ、 ０≦ｙ≦ｘ あるいは０≧ｙ≧ｘの場合、 Ｖ(利得x,確率ｐ;利得y,確率q)＝Ｖ(ｙ)＋Ｓ(ｐ)(Ｖ(ｘ)−Ｖ(ｙ)) (ケ−ス１と２が一致するのはＳ(ｐ)＋Ｓ(１−ｐ)＝１の時だけ。) 利得の主観的価値には次のような特質がある。 ａ　参照点からの乖離によって定義 ｂ　利得における凹、損失における凸 ｃ　利得よりも損失の方が勾配が急

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