九州大学大学院総合理工学研究院 エネルギー理工学部門

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1 九州大学大学院総合理工学研究院 エネルギー理工学部門
Nov. 10, 2004 核反応理論入門 ー　光学模型と統計模型　－ Introduction to Nuclear Reaction Theory ー　Optical model and Statistical model　－ 渡辺幸信 九州大学大学院総合理工学研究院 エネルギー理工学部門

2 講　義　内　容 １．序：　核データ生産における理論の役割 ２．核反応の基本事項 ３．核反応の概要 ４．核反応理論模型 - 光学模型 - 直接反応理論: DWBA - 統計理論（Hauser-Feshbach 理論・蒸発理論） - 前平衡模型（励起子模型） ５．応用例: GNASHコード ＋ RIPL

3 核データ生産の流れ 実験核物理 理論核物理 "Nuclear data evaluation" provides the most probable data set by using experimental data, theoretical model calculation, statistics, etc. Evaluated nuclear data are compiled to numerical data sets having specific formats, e.g., ENDF-6 These data sets are processed according to user's requirements 応用

4 核反応の基本事項 (1) 原子核反応の分類（例：中性子反応） 弾性散乱断面積＋全反応断面積＝全断面積 衝突前 衝突後
弾性散乱　 ：　X(n,n)X 散　乱 Xが励起状態へ遷移、 最終的にはγ線放出 非弾性散乱　 ：　X(n,n’)X* 捕獲反応　 ：　X(n,g)Y 反　応 交換反応　 ：　X(n,p)Y, X(n,a)Y　等 核分裂　 ：　X(n,f) 弾性散乱断面積＋全反応断面積＝全断面積

5 核反応の基本事項（つづき） (2) 保存量 エネルギー、運動量、角運動量、電荷、核子数 パリティー、アイソスピン (3) 断面積の定義
F [cm-2s-1] 事象が起こる回数／時間 断面積　＝ 入射ビームのフラックス 微分断面積 [cm2/sr] N: 数密度 [1/sec] 入射粒子数

6 核反応の概要（１）：全断面積 238Uの全断面積 共鳴領域 本講義で取り上げる連続領域
Ref.) BNL-325, Second Ed. (1958)

7 核反応の概要（２）： 共鳴領域（複合核形成）
核反応の概要（２）：　共鳴領域（複合核形成） X + a → C* →Y + b 連続領域 共鳴領域 反応Q= - Q0 = 　　(mX+ma)c2－(mY+mb)c2 (mY+mb)c2 静止質量 (mX+ma)c2 引用： 八木浩輔、原子核物理学、朝倉書店 複合核 mC c2

8 Compound (evaporation)process
核反応の概観（３）：エネルギースペクトル 核子入射反応による放出粒子のエネルギースペクトルと角度分布 QCM(deg) PE DR EV Excitation energy (MeV) 54Fe(p,p’) Elastic scattering MeV Compound (evaporation)process Direct process Preequilibrium process Ref.of exp.data: F.E. Bertrand and R.W. Peele, Phys. Rev. C 8, 1045 (1973).

9 光　学　模　型 ポテンシャル散乱：　入射粒子が原子核の平均ポテンシャルの作用を受けて、散乱する現象。入射粒子も標的核も励起しなければ弾性散乱。 屈折率と吸収率をもった媒質中での光の伝播とのアナロジー 相互作用は光学ポテンシャルで記述：　U(r)=V(r)+iW(r) Coulomb項 Volume項 Imaginary項 (Volume+Surface) Spin-orbit項 Woods-Saxson form : A : mass number ri : nuclear radius parameter ai : diffuseness parameter 形状パラメータ

10 散乱理論の要約 シュレーディンガー方程式 境界条件 散乱振幅 ： 波数 微分断面積 :
Scattering amplitude ：　波数 反応 a → b va, vb：入射、出射チャネルでの粒子間の相対速度 微分断面積 : 部分波展開法（ partial wave expansion method） L : 軌道角運動量（partial wave ) ：位相のずれ（Phase shift） ：　散乱行列scattering matrix

11 光学模型で計算可能な断面積 (1) 入射エネルギーが高い場合（複合核弾性散乱の影響がない場合） 弾性散乱断面積： 全反応断面積：
全断面積 : 透過係数 (Transmission Coefficient) :

12 光学模型で計算可能な断面積（2） 入射エネルギーが低い場合（複合核弾性散乱の影響がある場合）
光学模型は弾性散乱の散乱振幅 f のエネルギー平均 　を記述 複合核準位の間隔より大きいエネルギー区間 I での平均 ゆらぎの振幅 形状弾性散乱(shape elastic scattering) 計算可 複合核弾性散乱(compound elastic scattering) 計算不可 全断面積 光学定理 計算可 全反応断面積 計算不可 複合核形成断面積 計算可

13 現象論的光学模型パラメータ 最小 グローバルOMP (A, Z, Einの関数）
光学模型パラメータ (OMP) の決定：　実験データ (stot, sel(q), Ay(q) 等) 最小 個々の標的核に対するOMP グローバルOMP (A, Z, Einの関数） 例） Becchetti-Greenlees (1969) for proton Ep <50 MeV, A>40 Ref.) F.D. Becchetti and G.W. Greenlees, Phys. Rev. 182, 1190 (1969).

14 計算コードとパラメータの編纂 代表的な光学模型計算コード
　代表的な光学模型計算コード SCAT (O. Bersillon ) ECIS (J. Raynal) OPTMAN (E.Sh. Sukuhovitskĩ) チャンネル結合法 Coupled Channels method 　光学模型パラメータの編纂 例）　Phenomenological OMPs ( ) C.M. Perey and F.G. Perey, At. Data and Nucl. Data Tables 17, (1976). Neutrons, Protons, Deuterons, Tritons, He-3, Alphas, and Heavy-Ion 核データ評価用 Reference Input Parameter Library (RIPL2) IAEA Nuclear Data Section

15 中間エネルギー領域の核子光学模型パラメータ
One of the latest parameter sets : “Local and global nucleon optical potentials for energies up to 200 MeV” A.J. Koning and J.P. Delaroche, Nucl. Phys. A713, 231 (2003). Energy and mass range Energy dependence of potential depth for 56Fe solid line: local, dashed : global

16 微視的光学ポテンシャルと相対論的光学ポテンシャル
1) Folding modelに基づく微視的光学ポテンシャル 実験データのない 不安定核の計算に有力 t-matrix or G-matrix Nuclear density Nuclear Structure Theory (B-H) Nucleon-nucleon interaction For instance, J.P. Jeukenne, A. Lejeune, and C. Mahaux, Phy. Rev. C 16, 80 (1977). K. Amos et al., Adv. in Nucl. Phys. 25, 275 (2000). 2) 相対論的光学ポテンシャル （特に高エネルギー領域） Relativistic Impulse Approximation (RIA)やDirac phenomenology For instance, RIA: D.P. Murdock and C.J. Horowitz, Phys. Rev. C 31, 538 (1985). Dirac Phenomenology: E.D. Cooper et al., Phys. Rev. C 47, 297 (1993).

17 Compound (evaporation)process
直　接　過　程 核子入射反応による放出粒子のエネルギースペクトルと角度分布 QCM(deg) EV Excitation energy (MeV) 54Fe(p,p’) Preequilibrium process Elastic scattering Compound (evaporation)process Direct process MeV QCM(deg) PE QCM(deg) DR 残留核への運動量移行が小さい、体系の少数の自由度しか励起されない。

18 歪曲波ボルン近似： 非弾性散乱 集団状態の励起 歪曲波ボルン近似 DWBA
歪曲波ボルン近似：　 非弾性散乱 Excitation of collective states (rotation, vibration) by direct inelastic scattering 集団状態の励起 Coupled-channels theory Coupling between those collective states Strong Weak Distorted Wave Born Approximation (DWBA) 歪曲波ボルン近似 DWBA A reaction A(a,a’)A* : Ref.) G.R. Satcher, Direct Nuclear Reactions (Oxford University Press, 1983) a A* Initial channel i Final channel f A a’ The interaction between a and A : Nuclear transition Distorting potential Residual interaction Dynamics of the incident and outgoing particle is described by distorting wave

19 遷移振幅と微分断面積 DWBA 遷移行列 (“T-matrix”) Form factor 微分断面積 : （aとAのスピンがゼロの場合）
形状因子 Form factor ゼロレンジ近似 ここで、 　　：核の内部状態の波動関数 微分断面積 : （aとAのスピンがゼロの場合） : チャネル i と f の換算質量 : 入射と出射波の波数

20 集団励起の場合 Form factor 60Ni(p,p’)@40MeV DWBA calculation 核構造の情報 代表的な計算コード
変形パラメータ (deformation parameter) 核構造の情報 Quadrupole vib. L: 多重度 （偶偶核では、移行軌道角運動量 ） Octupole vib. 代表的な計算コード DWUCK4 code : P.D. Kunz, Computational Nuclear Physics 2 (Springer-Verlag, 1993), p.88 Ref.) M.P. Friche and G.R. Satchler, Phy. Rev. 139, 567 (1965).

21 Compound (evaporation)process
複　合　核　過　程 核子入射反応による放出粒子のエネルギースペクトルと角度分布 Excitation energy (MeV) 54Fe(p,p’) Preequilibrium process Elastic scattering Compound (evaporation)process Direct process MeV QCM(deg) EV QCM(deg) PE QCM(deg) DR 複合核状態：入射粒子が核内核子と強く相互作用し、入射エネルギーを多くの核子に分配、どの核子も放出するに十分なエネルギーを持たず、系全体が準束縛状態となった状態。

22 統計理論: 共鳴領域から連続領域へ 反応 複合核経由の共鳴反応 ブライト-ウィグナーの一準位公式 s波（ =0） 標的核スピン0
入射エネルギーが高くなり、非常に多数の準位が重なり合う領域 統計的取り扱い 重なり合う準位間には統計的相関はない 透過係数 D: 準位の平均間隔

23 Hauser-Feshbach 理論 (1) 角運動量が 0 がない場合へ一般化（パリティー保存も含める） 透過係数 光学模型で計算可
　角運動量が 0 がない場合へ一般化（パリティー保存も含める） Channel Reaction Spin Channel spin Orbital angular momentum Parity 透過係数 光学模型で計算可 Ref.) W. Hauser and H. Feshbach, Phys. Rev. 87, 366 (1952). 　終状態（残留核）が連続状態への遷移へ拡張 準位密度：

24 Hauser-Feshbach 理論 (2) 90°対称 角度分布 L : even
C: Clebsch-Gordan coeff. W: Racah coeff. L : even 90°対称 　Width fluctuation 補正 （低エネルギー領域弾性散乱） 弾性散乱チャネルの入射波と出射波間の相関を考慮するように、HF理論を修正 1) P.A. Moldauer, Phys. Rev. 123, 968 (1961). 2) J.W. Tepel et al., Phys. Lett. 49B, 1 (1974).

25 代表的な計算コード 1) ELIESE-3 code 　 [S. Igarashi, JAERI-1224 (1972)] 2) STAPRE code 　 [M. Uhl and B. Strohmaier, Institute für 　　　　　　　　　　　　　　Radiumforschung und Kernphysik Report IRK 76/01 (1976)] 3) GNASH code 　 [P.G. Young et al., LA MS, LANL (1992)] with preequilibrium correction 4) TALYS code [A. Koning et al, NRG (2004)] with preequilibrium correction

26 計 算 結 果 複合核弾性散乱の影響 90°対称 89Y(n,n) & (n,n’) @ 2.35 MeV
計　算　結　果 89Y(n,n) & 2.35 MeV Elastic scattering Inelastic scattering 複合核弾性散乱の影響 90°対称 Ref.) J.H. Towle, Nucl. Phys. A131, 561 (1969).

27 蒸 発 模 型 (1) Compound Nucleus Reaction Channel, Energy b a
Bohr’s hypothesis （複合核形成と崩壊が独立である。） a+T E CN b+R Q E’ U Ba No. of states a-channel a’ channel Decay width Level density Energy scheme Ref.) V.F. Weisskopf and P.H. Ewing, Phys. Rev. 57, 472 (1940).

28 蒸 発 模 型 (2) Ｓ行列に対する Reciprocity theorem ( 相反定理 ) 光学模型
( ia: channel spin, ka : wave number) ma :　換算質量 : 複合核形成断面積、逆反応断面積 光学模型 Level density （準位密度）: 1) Fermi-gas model a : level density parameter 2) Constant temperature expression based on thermodynamic arguments T : Nuclear temperature

29 蒸発模型 Evaporation model
蒸 発 模 型 (3) 　放出粒子エネルギースペクトル （E’max : 最大放出エネルギー） 放出粒子：中性子 非常に低いエネルギーを除き、ほぼ一定 Maxwellian shape E’max 類似性 蒸発模型 Evaporation model 温度Tの物質表面からの分子の蒸発

30 計算結果: 　励起関数 n+59Co n+93Nb Ref.) D. Wilmore and P.E. Hodgson, J. Phys. G11, 1007 (1985); G. Field et al., J. Phys. G12, 93 (1986).

31 準位密度 (1) ： Gilbert & Cameronの公式
対エネルギー補正 スピンカットオフ因子 非変形核 殻補正 準位密度パラメータ 変形核 の決定 がExでスムーズに接続 と Ref.) Gilbert & Cameron, Can. J. Phys. 43, 1446 (1965).

32 準位密度 (2)： 対エネルギーと準位密度パラメータ
準位密度 (2)：　対エネルギーと準位密度パラメータ 対エネルギー 中性子 陽子 準位密度 パラメータ 中性子共鳴で観測された平均の準位間隔から導出 Citation) Bohr & Mottelson, “Nuclear Structure Vol.I” (1969)

33 準位密度 (3)： Ignatyukの準位密度 パラメータ
準位密度パラメータの殻効果は励起エネルギーが高くなると徐々に消える。 準位密度パラメータに励起エネルギー依存性を現象論的に導入 殻効果＝ 　質量の実験値ー液滴模型による質量の計算値 励起エネルギー依存性 Ref.) A.V. Ignatyuk et al., Sov. J. Nucl. Phys. 21, 255 (1975).

34 ガンマ線強度関数 120Sn ガンマ線の透過係数の計算： 逆光吸収反応に対する個別釣り合い Weisskopf近似
ガンマ線の透過係数の計算：　逆光吸収反応に対する個別釣り合い　 ガンマ線強度関数(gamma-ray strength function) RIPL-2 Weisskopf近似 120Sn Brink-Axel standard Lorentzian ：　パラメータ s波中性子共鳴の実験データ 規格化 経験式 J.M. Blatt and V. Weiskopf, Theoretical Nuclear Physics (John, Wiley and Sons, Inc. 1952). D.M. Brink, Nucl. Phys. 4, ); P. Axel, Phys. Rev. 126, 671 (1962).

35 Compound (evaporation)process
前　平　衡　過　程 核子入射反応による放出粒子のエネルギースペクトルと角度分布 QCM(deg) EV Excitation energy (MeV) 54Fe(p,p’) Elastic scattering MeV Compound (evaporation)process QCM(deg) PE Direct process Preequilibrium process QCM(deg) DR Ref.of exp.data: F.E. Bertrand and R.W. Peele, Phys. Rev. C 8, 1045 (1973).

36 前平衡模型の歴史 1. Phenomenological approach
Intra-nuclear cascade model (INC) (1958) --- Serber’s idea (1947) Phenomenological models Widely used in Nuclear data evaluation ex.) GNASH code Exciton model (1966), Hybrid model(1971), and their modified versions 2. Quantum-mechanical approach (1980s  ) Feshbach-Kerman-Koonin [FKK] model (1980) Tamura-Udagawa-Lenske [TUL] model (1982) Nishioka-Weidenmüller-Yoshida [NWY] model (1988) Semiclassical distorted wave model [SCDW] (1991) --- Kyushu Univ. group 3. Microscopic simulation methods Quantum Molecular Dynamics (QMD) (1995) Antisymmetrized Molecular Dynamics (AMD) (1995) Ref.) E. Gadioli and P.E. Hodgson, “Pre-Equilibrium Nuclear Reactions” (Clarendon Press, Oxford, 1992)

37 前平衡過程の描像 Intra-nuclear cascade (INC) model (Serber’s picture)
Sequential two-body nucleon-nucleon collision Intra-nuclear cascade Tracking of incident nucleon and target nucleons in coordinate space using a Monte Carlo method This picture is valid when de Broglie wavelength of incident particle is shorter than the distance between target nucleons. ( Ein > 100 MeV) Fermi-gas Exciton model Time evolution of occupation probability of n-exciton state in energy space Exciton = particle+hole Incident particle eF 複合核状態 (a) 1p state (b) 2p-1h state (c) 3p-2h state (d) equilibrium

38 励 起 子 模 型 Non-equilibrium statistical dynamics
励　起　子　模　型 Non-equilibrium statistical dynamics Master equation for the occupation probability : : transition probability from n-exciton state to m-exciton state : particle emission probability from n-exciton state Cross section for the reaction A(a,b)B : : formation cross section of a composite nucleus ( a+ A system) : emission probability of particle b with e from n-exciton state

39 given by the Fermi golden rule
Internal transition rate : given by the Fermi golden rule Final state denisty The matrix element of residual two-body interaction: [C. Kalbach, Z. Phys. A287 (1978) 319] : adjustable parameter to fit the cross section : mass number and excitation energy of the composite nucleus [C. Kalbach, Z. Phys. A210 (1973) 590] Hauser-Feshbach model calc. (evap. component) Total energy spectrum (Compound + Preeq.):

40 計　算　結　果 A great number of calculations have so far demonstrated that the exciton model reproduces accurately the angle-integrated spectra of the particles emitted in pre-equilibrium reactions (n,2n)comp Pre-eq. (n,n)comp 14 MeV(n,n’) 169Tm(p,n)169Yb elastic Collective excitation Ref.)　Y. Watanabe et al., Phy. Rev. C 37, 963 (1988). Ref.) C. Birattari et al. : Nucl. Phys. A201 (1973) 605.

41 角度分布の計算 Kalbach’s systematics : C. Kalbach, Phys. Rev. C 37 (1988) 2350. Empirical formula based on a lot of experimental data Forward peaked angular distribution Multistep direct component

42 量子力学的アプローチ Towards a unified description of nuclear reactions (direct, preequilibrium, and compound processes) Multistep direct process (MSD) ● P-space ● Forward peaked angular distribution Preequilibrium reactions Statistical multistep reactions P-chain Q-chain Multistep compound process (MSC) ● Q-space ● 90 deg. symmetry angular distribution As the incident energy increases, MSD processes become dominant. FKK, TUL, NWY, SCDW Doorway states Ref.) E. Gadioli and P.E. Hodgson, “Pre-Equilibrium Nuclear Reactions” (Clarendon Press, Oxford, 1992)

43 応用例：　GNASHコード LANL (USA)で開発された、統計理論（Hauser-Feshbach理論）と前平衡励起子模型 にもとづく核反応断面積計算コード 　入射エネルギー範囲：　0.1 keV ～150 MeV (250 MeV) 　入射・放出粒子：　n, p, d, t, 3He, a, g 　出力： 粒子及びガンマ線の角度積分エネルギースペクトル 　　　　 （individual channel & composite) 　　　　 離散的準位への遷移断面積 各反応の断面積（エネルギースペクトルの積分） 核データ評価への応用例： 　 ENDF/B-VI (LA150も含む) 　 JENDL-3.2, 3.3, JENDL High Energy File

44 反 応 連 鎖 n, p, (d), a, g放出

45 蒸発カスケード

46 Input & Output DWBAコード 光学模型 コード
Gamma-ray strength function Preequilibrium reaction Fission

47 離散準位レベルと準位密度 63Cu 127I

48 Application to JENDL High Energy File
Einc < MeV Intermediate energies Total cross sections Elastic cross sections Total reaction cross sections Optical model calculations DWBA model for direct process Statistical HF + preequilibrium exciton model DWUCK4 OMP OPTMAN or ECIS GNASH ENDF6 Transmission coefficients Direct Inelastic cross sections JENDL-HE Isotope production cross sections Light-particle emission spectra Gamma-ray emission spectra

49 Reference Input Parameter Library
計算入力パラメータ：　Ｒ　Ｉ　Ｐ　Ｌ Reference Input Parameter Library RIPL-2 library contains input parameters for theoretical calculations of nuclear reactions involving light particles such as n, p, d, t, 3-He, 4-He, and gammas at incident energies up to about 100 MeV. The library contains nuclear masses, deformations, matter densities, discrete levels and decay schemes, spacings of neutron resonances, optical model potentials, level density parameters, Giant Resonance parameters, gamma-ray strength-functions, and fission barriers. It also includes extensive database of level densities, gamma-ray strength-functions and fission barriers calculated with microscopic approaches. Several computer codes are provided in order to facilitate use of the library.

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51 例） Discrete Levels and Decay Data
GNASH入力データ自動作成 Z=26, A=56 Cumulative Plot of Discrete Levels 以下省略

52 参 考 書 入門書 ＆ 一般的な教科書 ・ 河合光路： パリティ物理学コース“核反応”、（丸善, 1995）： 本講義の対象内容と合致。
参　考　書 入門書 ＆ 一般的な教科書 ・　河合光路： パリティ物理学コース“核反応”、（丸善, 1995）：　本講義の対象内容と合致。 ・　G.R. Satcher： “Introduction to Nuclear Reactions, 2nd Ed.”, (Macmillan Education Ltd., 1990). ・　八木浩輔： 原子核物理学、（朝倉書店, 1971）： 広く使われている教科書（実験屋による執筆） ・　鷲見義雄： 原子核物理入門、（裳華房, 1997）：　高エネルギーハドロン反応も含む。 専門書 ・　河合光路, 吉田思郎：　“原子核反応論”, （朝倉書店, 2002）：　核反応理論を本格的に勉強したい人向け。 ・　G.R. Satcher: “Direct Nuclear Reactions”, (Oxford Univesrity Press, 1983)：　直接反応について詳しい。 ・　H. Feshbach：　“Theoretical Nuclear Physics: Nuclear Reactions”, (John Wiley & Sons, Inc., 1992)： 核反応全般を取り扱った専門書 ・　E. Gadioli and P.E. Hodgson：　“Pre-Equilibrium Nuclear Reactions” (Clarendon Press, Oxford, 1992)： 前平衡反応に関する解説本、豊富な参考文献が役に立つ。 量子力学的散乱理論に関する参考書 ・　笹川辰也：　散乱理論　（裳華房, 1997 ）. ・　砂川重信：　散乱の量子論、岩波全書　（岩波書店, 1977）.

53 ご静聴に感謝申し上げます。 お疲れ様でした。
ご静聴に感謝申し上げます。 お疲れ様でした。