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電子 e 光子 g 電磁相互 作用を媒介 陽子 中性子 中間子 p n ハドロン 核力を 媒介 物質の 究極構造 原子 原子核 基本粒子 クォーク u =udd =uud d s
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物質の 究極構造 強い相互作用 原子 電子 e d クォーク u 基本粒子 クォーク u 中間子 グルオン 原子核 核力を 媒介 d ハドロン クォーク 中性子 n 陽子 p =udd =uud クォークが s グルオンを受渡す 光子 g 電磁相互 作用を媒介 光子 グルオン 強い相互作用は その量子力学的 重ね合わせの効果 g Ga 電磁相互 作用を媒介 強い相互 作用を媒介
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物質の 究極構造 b 崩壊 p 弱い 相互作用 e は 反粒子 n ne 原子 基本粒子 電子 e d クォーク u 基本粒子 ニュートリノ ne 中間子 原子核 電子 e 核力を 媒介 ハドロン クォーク 中性子 n u 陽子 p =udd =uud d s 光子 グルオン g Ga 電磁相互 作用を媒介 強い相互 作用を媒介
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物質の 究極構造 b 崩壊 b 崩壊 p 弱い 相互作用 e は 反粒子 n W- ne 原子 電子 e d クォーク u 基本粒子 ニュートリノ ne 中間子 原子核 電子 e 核力を 媒介 ハドロン クォーク 中性子 n u 陽子 p =udd =uud d s ウィークボソン 光子 グルオン g Ga W± Z0 電磁相互 作用を媒介 強い相互 作用を媒介 弱い相互 作用を媒介
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物質の 究極構造 b 崩壊 b 崩壊 p 弱い 相互作用 e は 反粒子 n W- ne 原子 基本粒子 ニュートリノ ne 中間子 原子核 電子 e ハドロン クォーク 中性子 n u c t 陽子 p =udd =uud d s b ウィークボソン 光子 グルオン g Ga W± Z0 電磁相互 作用を媒介 強い相互 作用を媒介 弱い相互 作用を媒介
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物質の 究極構造 b 崩壊 b 崩壊 p 弱い 相互作用 e は 反粒子 n W- ne 原子 レプトン 基本粒子 ニュートリノ ne nm nt 中間子 電子 ミュー タウ 原子核 e m t ハドロン クォーク 中性子 n u c t 陽子 p =udd =uud d s b ゲージボソン ウィークボソン ヒグスボソン 光子 グルオン g Ga W± f Z0 電磁相互 作用を媒介 強い相互 作用を媒介 弱い相互 作用を媒介 対称性の破れ 質量生成
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ultimate structure of matter b decay p weak interaction e anti-
particle n W- ne atom fundamental particle lepton neutrino ne nm nt atomic nucleus meson electron muon tauon e m t nuclear force hadron quark neutron u c t proton n =udd p =uud d s b gauge boson weak boson Higgs boson photon gluon g Ga W± f Z0 elctromagnetic interaction strong interaction weak interaction symmetry breaking mass generation
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物質の 究極構造 b 崩壊 b 崩壊 p 弱い 相互作用 e は 反粒子 n W- ne 原子 レプトン 基本粒子 ニュートリノ ne nm nt 中間子 電子 ミュー タウ 原子核 e m t ハドロン クォーク 中性子 n u c t 陽子 p =udd =uud d s b ゲージボソン ウィークボソン ヒグスボソン 光子 グルオン g Ga W± f Z0 電磁相互 作用を媒介 強い相互 作用を媒介 弱い相互 作用を媒介 対称性の破れ 質量生成
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場 場の 量子論 番号 時空座標 基本粒子の従う 基本法則は何か? 力学変数: 場 = 時空座標 m t nm nt ミュー タウ レプトン s c b 電子 e 光子 g 電磁相互 作用を媒介 d クォーク u Ga ニュートリノ ne ゲージボソン 強い相互 グルオン Z0 W± 弱い相互 ウィークボソン ヒグスボソン 対称性の破れ 質量生成 f はパラメタ 基本粒子 基本場 量子論では =
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場の 量子論 番号 時空座標 基本粒子の従う 基本法則は何か? 力学変数: 場 = 量子論 の枠組み 時空座標 状態空間 はパラメタ 力学変数は演算子 力学 法則 運動方程式 どう決める? 交換関係の代数 Lagrangian I = (i,x) qI =fi (x) 運動方程式 正準共役運動量 :力学変数 正準交換関係 例
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場の 量子論 番号 時空座標 基本粒子の従う 基本法則は何か? 力学変数: 場 = 量子論 の枠組み 時空座標 状態空間 はパラメタ 力学変数は演算子 力学 法則 運動方程式 どう決める? 交換関係の代数 Lagrangian I = (i,x) qI =fi (x) 運動方程式 正準共役運動量 :力学変数 正準交換関係 Lagrangian を決める基準 対称性 局所性 簡単な形 対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変 十分条件 Lagrangianが不変 局所性 運動方程式が1時空点に関する記述になっている
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対称性 力学変数の変換で運動方程式、 Lagrangianが不変 Lagrangian I = (i,x) qI =fi (x) 運動方程式 正準共役運動量 :力学変数 正準交換関係 Lagrangian を決める基準 対称性 局所性 簡単な形 力学変数の変換で運動方程式の形が不変 対称性 Lagrangianが不変 十分条件 局所性 運動方程式が1時空点に関する記述になっている
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力学変数{qJ}をその関数として与えられる変数{qI'} A に変えて記述 ( ) A q I' = FI (qJ ) ({qJ})
対称性 力学変数の変換で運動方程式、 Lagrangianが不変 変換 力学変数{qJ}をその関数として与えられる変数{qI'} A に変えて記述 ( ) A q I' = FI (qJ ) ({qJ}) 回転、Lorentz変換等 変換群G 積 =逐次変換の結果 (AB) q = A(Bq) (A, B ∊G) 単位元 =恒等写像 逆元A-1の存在を仮定 例 回転
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力学変数{qJ}をその関数として与えられる変数{qI'} A に変えて記述 ( ) A q I' = FI (qJ ) ({qJ})
対称性 力学変数の変換で運動方程式、 Lagrangianが不変 変換 力学変数{qJ}をその関数として与えられる変数{qI'} A に変えて記述 ( ) A q I' = FI (qJ ) ({qJ}) 回転、Lorentz変換等 変換群G 積 =逐次変換の結果 (AB) q = A(Bq) (A, B ∊G) 単位元 =恒等写像 逆元A-1の存在を仮定 リー代数g : 無限小変換Xの集合 A=eiaX =1+iaX+O(a2) gはvector空間 基底Xm [Xm,Xn]=ifmnlXl (fmnl:構造定数) 例 回転
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力学変数{qJ}をその関数として与えられる変数{qI'} A に変えて記述 ( ) A q I' = FI (qJ ) ({qJ})
対称性 力学変数の変換で運動方程式、 Lagrangianが不変 変換 力学変数{qJ}をその関数として与えられる変数{qI'} A に変えて記述 ( ) A q I' = FI (qJ ) ({qJ}) 回転、Lorentz変換等 変換群G 積 =逐次変換の結果 (AB) q = A(Bq) (A, B ∊G) 単位元 =恒等写像 逆元A-1の存在を仮定 リー代数g : 無限小変換Xの集合 A=eiaX =1+iaX+O(a2) gはvector空間 基底Xm [Xm,Xn]=ifmnlXl (fmnl:構造定数) FI ({qJ}) は線形とする。 (Aq )I = D(A)IJ qJ D( )IKqK AB = ( )I A B q = D(A)IJ ( ) B q J = D(A)IJ D( )JK B qK D(AB)IK =D(A)IJD(B)JK D(A)IJ :群Gの線形表現 リー代数gの表現 [d(Xm), d(Xn)]=ifmnld(Xl)
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D(AB)IK =D(A)IJD(B)JK D(A)IJ :群Gの線形表現
対称性 力学変数の変換で運動方程式、 Lagrangianが不変 (Aq)I = FI ({qJ}) ( ) A q I' = FI (qJ ) ({qJ}) 回転、Lorentz変換等 変換群G 積 =逐次変換の結果 (AB) q = A(Bq) (A, B ∊G) 単位元 =恒等写像 逆元A-1の存在を仮定 リー代数g : 無限小変換Xの集合 A=eiaX =1+iaX+O(a2) gはvector空間 基底Xm [Xm,Xn]=ifmnlXl (fmnl:構造定数) FI ({qJ}) は線形とする。 (Aq )I = D(A)IJ qJ = ( )I D( )IKqK qK D(A)IJ D( )JK A AB ( ) B q J D(AB)IK =D(A)IJD(B)JK D(A)IJ :群Gの線形表現 リー代数gの表現 [d(Xm), d(Xn)]=ifmnld(Xl)
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対称性 力学変数の変換で運動方程式、 Lagrangianが不変 (Aq)I = FI ({qJ}) =D(A)IJ qJ D(AB)IK =D(A)IJD(B)JK A=eiaX =1+iaX+O(a2), [Xm,Xn]=ifmnlXl D(A) =eiad(X) =1+iad(X)+O(a2), [d(Xm), d(Xn)]=ifmnld(Xl) リー代数g : 無限小変換Xの集合 A=eiaX =1+iaX+O(a2) gはvector空間 基底Xm [Xm,Xn]=ifmnlXl (fmnl:構造定数) FI ({qJ}) は線形とする。 (Aq )I = D(A)IJ qJ = ( )I D( )IKqK qK D(A)IJ D( )JK A AB ( ) B q J D(AB)IK =D(A)IJD(B)JK D(A)IJ :群Gの線形表現 リー代数gの表現 [d(Xm), d(Xn)]=ifmnld(Xl)
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対称性 力学変数の変換で運動方程式、 Lagrangianが不変 (Aq)I = FI ({qJ}) =D(A)IJ qJ D(AB)IK =D(A)IJD(B)JK A=eiaX =1+iaX+O(a2), [Xm,Xn]=ifmnlXl I = (i,x), qI =fi (x) D(A) =eiad(X) =1+iad(X)+O(a2), [d(Xm), d(Xn)]=ifmnld(Xl) 場の変換 (時空の変換ない場合) (Af )i (x ) =D (A)ij fj (x) 時空の変換 x' =Ax の場合 (Af )i (Ax ) =D (A)ij fj (x) Lorentz変換 Poincare変換 状態の変換 場の変換 無限小変換 [u(Xm), u(Xn)]=ifmnlu(Xl)
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回転群O(3) 直行行列A AAt=1 generator 交換関係 リー代数 群の不変量 とおく とする mの最大(小)値=j (k) j -k=nは整数 |h|=1 h=1と選ぶ
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リー代数の表現 Pauli行列 群の表現 群としては2価表現
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リー代数の表現 群の表現 2j+1次元表現
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proper Lorentz transformation
, ,
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, 表現は で指定される。
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表現は で指定される。 表現は で指定される。
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表現は で指定される。 scalar field right-handed Weyl spinor field left-handed Weyl spinor field Dirac spinor field vecrtor field
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自由scalar場の量子化 scalar 場 f scalar scalar field
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自由scalar場の量子化 scalar 場 f 要請 (i) Lorentz不変性 (ii) f → -fで不変 (iii) f の2次まで Lagrangian 密度 = Lagrangian 運動方程式 Klein Gordon方程式 正準共役運動量 正準交換関係 =量子条件 Hamiltonian
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Klein Gordon 方程式 Klein Gordon方程式 量子条件 正準交換関係 =量子条件 Hamiltonian Hamiltonian
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Klein Gordon 方程式 解 とおく 一般解 量子条件 真空状態 Hamiltonian Fock space 生成演算子
xとx+dxのf 混じる 解 とおく Normal modeで書く 負のenergy! f は状態でなく 演算子なのでOK 一般解 x0で微分 逆に解く 量子条件 真空状態 Hamiltonian Fock space 生成演算子 消滅演算子 Hamiltonian Normal mode!
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D(AB)IK =D(A)IJD(B)JK
まとめ Lagrangian を決める基準 対称性 局所性 簡単な形 変換 (Aq)I =D(A)IJ qJ 表現 D(AB)IK =D(A)IJD(B)JK 無限小変換 A=eiaX =1+iaX+O(a2), [Xm,Xn]=ifmnlXl D(A) =eiad(X) =1+iad(X)+O(a2), [d(Xm), d(Xn)]=ifmnld(Xl) 場の変換 (Af )i (Ax ) =D (A)ij fj (x) 時空の変換 x' =Ax 状態の変換 回転群O(3) generator 既約表現は半整数 で指定される。 Lorentz群 generator 既約表現は半整数 で指定される。 scalar field Lagrangian密度 量子条件 Normal mode
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