早稲田大学オープンキャンパス２０１０ 数学の常識と非常識！？ ～それって本当に当たり前？～

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1 早稲田大学オープンキャンパス２０１０ 数学の常識と非常識！？ ～それって本当に当たり前？～
早稲田大学オープンキャンパス２０１０ 数学の常識と非常識！？ 　～それって本当に当たり前？～ 守屋　悦朗 早稲田大学　教育学部　数学科 皆さん、こんにちは！　早稲田大学オープンキャンパスにようこそ！　今日は、教育学部数学科の模擬授業にお出でいただき、ありがとうございます。今日は、「数学者の常識は世間の非常識」というタイトルで話をしたいと思っていますが、模擬授業って、大学の授業を高校生の皆さんにも受けてもらう、ということだと世間では思っていると思うのですが、そもそもそれに対して、数学者の私は、「それは違う」と非常識にも言ってしまいます。大学の数学を一部にせよ、高校生の対してそんなに感嘆には授業できないからです。だから、今日は数学に対して皆さんも含めて世間の人が抱いていることと数学者が考えることには少し違いがあるよ、そういうことを大学ではちゃんと学ぶんだよ、ということを話してみたいと思います。

2 これから、 数学に関する問題 をいくつか考えてください。 皆さんの答えは？

3 （問題１） １＋１＝？

4 （問題２） 自然数（１，２，３，・・・） と 整数（・・・，－３，－２，－１，０，１，２，３，・・・） では、どちらの方が多い？
（問題２） 自然数（１，２，３，・・・） と 整数（・・・，－３，－２，－１，０，１，２，３，・・・） では、どちらの方が多い？

5 （問題２に関連して） 個数の少ない順に並べると？ 実数 有理数 自然数 自然数＋０ 整数
（問題２に関連して） 個数の少ない順に並べると？ 実数 有理数 自然数 自然数＋０ 整数 ･･･, -√3, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.333･･･, √2, 2, ･･･ ･･･, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 4/3, , ･･･ 1, , ･･･ 0, , , ･･･ ･･･, -1, , , , ･･･

6 （問題３） すべての実数を並べて 番号を振ることができる？
（問題３） すべての実数を並べて 番号を振ることができる？

7 （問題４） 「正しくない」は「正しい」の否定。 では、「正しくない」の否定は？
（問題４） 「正しくない」は「正しい」の否定。 では、「正しくない」の否定は？

8 （問題５） 集合とは「ものの集まり」のことである。 Ｙｅｓ ｏｒ Ｎｏ？
（問題５） 集合とは「ものの集まり」のことである。 Ｙｅｓ　ｏｒ　Ｎｏ？

9 （問題６） 数学の問題は 必ず答を求める（答を計算する）こと ができる。 Ｙｅｓ ｏｒ Ｎｏ？
（問題６） 数学の問題は 必ず答を求める（答を計算する）こと ができる。 Ｙｅｓ　ｏｒ　Ｎｏ？

10 （問題７） 平行線は交わらない。 Ｙｅｓ ｏｒ Ｎｏ？
（問題７） 平行線は交わらない。 Ｙｅｓ　ｏｒ　Ｎｏ？

11 （問題８） ａ，ｂ 間と ａ，ｃ 間ではどちらが近い？ c b a

12 （問題９） 次の図形には直径がある？　 半径は？　中心は？

13 （問題１０） 次のものに順序（大小関係）を 付けることができる？ 整数 実数 英語や日本語の単語
　整数 　実数 　英語や日本語の単語 　2つの数の組 (2,3), (3,2), (5,8), … 　じゃんけんの「ぐー」「ちょき」「パー」 　親、子、孫、ひ孫、兄弟、おじ、おば、祖父、… 　トーナメント選の優勝者、準優勝者以外の参加者の成績

14 （問題１１） ３０世紀にはコンピュータが数学の定理を証明してくれるようになる？ Ｙｅｓ ｏｒ Ｎｏ？
（問題１１） ３０世紀にはコンピュータが数学の定理を証明してくれるようになる？ Ｙｅｓ　ｏｒ　Ｎｏ？

15 では、 皆さんの答えを検証してみましょう！

16 （問題１） １＋１＝？ 　この問題は後回し！ 大多数の答？　　１＋１＝2

17 （問題２） 自然数（１，２，３，・・・） と 整数（・・・，－３，－２，－１，０，１，２，３，・・・） では、どちらの方が多い？
（問題２） 自然数（１，２，３，・・・） と 整数（・・・，－３，－２，－１，０，１，２，３，・・・） では、どちらの方が多い？ 大多数の答？　　整数

18 1,2,3,・・・の個数 <,=,> -1,-2,-3,・・・の個数
＝ 「個数」って、何？ 「個数が等しい」 ⇔ 「１対１」かつ「上へ」 の対応が付けられる（全単射） ・・・ -1 -2 -3 ・・・ ・・・

19 自然数の個数と整数の個数は等しい？ 1,2,3,・・・の個数 ・・・,-3,-2,-1,0,1,2,3,・・・の個数
1,2,3,・・・の個数 　　 ・・・,-3,-2,-1,0,1,2,3,・・・の個数 ＝ どちらも、1,2,3,・・・と「番号を振る」ことができる それが「1対1」かつ「上へ」の対応(全単射)である 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ・・・, n, -n, ・・・ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,・・・,　2n, 2n+1,・・・

20 （問題２に関連して） 個数の少ない順に並べると？ 実数 有理数 自然数 自然数＋０ 整数
（問題２に関連して） 　 個数の少ない順に並べると？ 実数 有理数 自然数 自然数＋０ 整数 ･･･, -√3, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.333･･･, √2, 2, ･･･ ･･･, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 4/3, , ･･･ 1, , ･･･ 0, , , ･･･ ･･･, -1, , , , ･･･ 大多数の答？　自然数 ＜ 自然数＋０ ＜ 整数 ＜ 有理数 ＜ 実数

21 自然数、自然数＋０、整数、有理数 の個数は同じ！
数えられる 　可算無限の個数 　　　・自然数、整数、偶数、奇数、有理数、整数２個の組、・・・　 　　　 などは、すべて可算無限個 　　　・実数は？

22 可算無限の個数 自然数、整数、偶数、奇数、有理数、整数２個の組、・・・ などは、すべて可算無限個 0 1 2 3 4 5 6
　可算無限の個数 　 自然数、整数、偶数、奇数、有理数、整数２個の組、・・・ などは、すべて可算無限個 　　　　　　　　　　　　　　 (-1,1) (0,1) (1,1) (-1,0) (0,0) (1,0) (-1,-1) (0,-1) (1,-1)

23 （問題３） すべての実数に番号を振って 並べることができる？
（問題３） すべての実数に番号を振って 並べることができる？ 大多数の答　　？

24 実数すべてに番号をふることは できない ? 実は、実数は自然数よりもたくさんある！ 対角線論法 x1 = 0.x11x12x13・・・
… xn = 0.xn1xn2xn3・・・xnn・・・ y = 0.y1y2y3・・・ x11 x22 xnn y は ｘ１, ｘ２,・・・のどれとも等しくない! (yi≠xii)

25 ０以上１以下の実数とすべての実数は同じ個数 y y = tan x -1 1 x

26 （問題４） 「正しくない」は「正しい」の否定。 では、「正しくない」の否定は？
（問題４） 「正しくない」は「正しい」の否定。 では、「正しくない」の否定は？ 大多数の答？　　「正しい」

27 「正しくない」の否定は「正しい」？ Yes も Ｎｏ も正しい！ ほとんどの数学者はＹｅｓと考えている(古典主義論理)
でも、それを認めない数学者もいる そういう数学もありうる ← 数学は自由だ！ 直感主義論理(20c.初頭)　　 オランダの数学者 L.E.J.Brouwer が代表的 ￢￢A→A は認めず、[(A∨B)∧(￢A)]→B を認める でも、狭い数学の世界になってしまう

28 （問題５） 集合とは「ものの集まり」のことである。 Ｙｅｓ ｏｒ Ｎｏ？
（問題５） 集合とは「ものの集まり」のことである。 Ｙｅｓ　ｏｒ　Ｎｏ？ 大多数の答？　　Ｙｅｓ

29 集合とはものの集まりのことである？ No X = { ｘ | ｘ は集合で、ｘ∈ｘ } そんなに素朴な定義をすると困ったことが起こる
集合とはものの集まりのことである？　　 No そんなに素朴な定義をすると困ったことが起こる パラドックス（逆理：一般に受け入れられている論に反するのに、 　　　　　　　　　　　　　　　　　 それに反駁することができないような論） 次の X も集合のはずだけど・・・ 　　　　　　　X = { ｘ | ｘ は集合で、ｘ∈ｘ } 　　　　 とすると、 　X∈X ⇒ X∈X 　　　　　X∈X ⇒ X∈X 　　　 いずれにしても矛盾！ →　公理的集合論の導入へ

30 （問題１） １＋１＝？ 大多数の答？　　１＋１＝２

31 １＋１＝？ １＋１＝２ である必要はどこにもない！ 「２が無い世界」では １＋１＝２ としようがない！
１＋１＝２　である必要はどこにもない！ １や２は「数」や「量」ではなく、単なる記号かもしれない。 「２が無い世界」では １＋１＝２ としようがない！ たとえば、０と１しかなかったら、どうする？ １＋１＝２でない数学の世界があっても構わない！ あると都合が良い（いろんなことを説明できる）こともある。

32 １＋１＝？ どんな「数の世界」を考えるかによる！ 元が２個 (0と1とする)のガロア体では １＋１＝０
　「体」って何？　→　四則演算ができる世界 加減算は？ a+b = 「a+bを2で割った余り」 0+0=0, 1+0=0+1=1, 1+1=0, 0-0=0, 1-0=1, 0-1=1, 1-1=0 乗除算は？ 　　a×b = 「a×bを2で割った余り」 1・0=0・1=0, 1・1=1, 1÷1=1, 0÷1=0 加法と乗法の間の関係は？ x・(y+z)=x・y+x・z, x+(y・z)=(x+y)・(x+z) たい

33 これって、見かけは違うけど、皆同じ！ ＋ ０ １ ＋ 偶数 奇数 ＋ 偽 真 ＋ Φ Ａ
＋ ０　１　　　　＋　 偶数　奇数　　　＋　偽　真　　　＋　Φ Ａ ０　０　１　　　偶数　偶数　奇数　　　偽　偽　真　　　 Φ　Φ Ａ　 １　１　０　　　奇数　奇数　偶数　　　真　真　偽　　　 Ａ　 Ａ　Ａ × ０　１　　　 ×　 偶数　奇数　　　∧ 偽　真　　　∩　Φ　Ａ ０　０　０　　　偶数　偶数　偶数　　　偽　偽　偽　　　Φ　Φ Φ １　０　1　　　奇数　偶数　奇数　　　真　偽　真　　　 Ａ　Φ　Ａ ガロア体 偶数・奇数の和と積 論理演算 集合演算 A B (A∪B)-(A∩B)

34 もっと一般化すると ＋ ０　１　　　　＋　 　　　＋　 ・・・ m-2 m-1 ０　 ０　１　　　 0　 　 2　　　 0　 ・・・ m-2 m-1　 １　 １　０　　　 1　 　　　1　 ・・・ m-1 0　 ・・・ … ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 m-1 m ・・・ m-3 m-2 × ０　１　　　 × × ・・・ m-2 m-1 ０　０　０　　　 ・・・ １　０　1　　　 ・・・ m-2 m-1 … ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　m-1 0 m-1 m-2 ・・・ 足して、mで割った余り 掛けて、mで割った余り

35 「数」の世界の一般的性質は？ 四則演算は？ 演算は可換？ 演算の順序は任意？ ＋と×の間の関係は？ ＋とー、×と÷の関係は？
０と１の役割は？ 演算は可換？　 x*y=y*x　　　（* ＝ + or ×） 演算の順序は任意？　 x*(y*z)=(x*y)*z ＋と×の間の関係は？ x(y+z)=xy+xz

36 ガロア体（有限体）あれこれ 0=論理値 「真」、1=「偽」 コンピュータ等の回路設計で重要 暗号の理論でも重要
x+y : 排他的論理和（x,y のどちらか一方だけが成り立つの意） x + yとも書く x・y : 論理積（xかつyが成り立つの意） コンピュータ等の回路設計で重要 暗号の理論でも重要 x + y=(x+y) mod 2 であり、これをもっと一般化して 　 x + y=(x+y) mod p で定義しても体である(pは素数） 元の個数は pn (p は素数)

37 （問題６） 数学の問題は 必ず答えを求めることができる。 Ｙｅｓ ｏｒ Ｎｏ？
（問題６） 数学の問題は 必ず答えを求めることができる。 Ｙｅｓ　ｏｒ　Ｎｏ？ 大多数の答？　　Yes?

38 数学の問題は答が必ずきちんと求まる？ No! 決定不能問題、計算不能問題が存在する 不完全性定理
証明できるともできないとも言えない命題さえある

39 （問題７） 平行線は交わらない。 Ｙｅｓ ｏｒ Ｎｏ？
（問題７） 平行線は交わらない。 Ｙｅｓ　ｏｒ　Ｎｏ？ 大多数の答？　 Yes

40 平行線は交わらない？ 交わる？ 平行線の公準 ユークリッドの原論 第5公準は他の公理・公準から導き出せるのでは？
平行線は交わらない？　交わる？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 平行線の公準 『平面内に１直線と１点が与えられれば、その点を通り、その直線と交わらない平面内の直線は唯１つ存在する』 ユークリッドの原論 ユークリッド幾何学の集大成 B.C.4c.頃？　ギリシャ プラトン創設のアカデミー 第I巻は定義、公理、公準、定理（ピタゴラスの定理など） 第5公準は他の公理・公準から導き出せるのでは？ 長い歴史 P L

41 第５公準（平行線の公準） 『直線が2直線と交わるとき、同じ側の内角の和が１８０°より小さいなら、この2直線は限りなく延長されたとき、内角の和が１８０°より小さい側において交わる。 』

42 平行線の公準は 他の公理や公準から証明できる？
No! 非ユークリッド幾何学 平行線の公準を否定すれば別の幾何学ができる N.I.ロバチェフスキー (ロシア) 　1829年 Y.ボヤイ (ハンガリー)　 1831年 K.F.ガウス　 もっと以前から知っていたが発表せず 第5公準の変更 『１直線外の１点を通りその直線に平行な直線は１本ではない』

43 非ユークリッド幾何の具体例 ポアンカレのモデル （J-H.Poincare, 1854～1912）
平面に相当するものは円の内部 平行線は無限に存在する 三角形の内角の和は180度より小さい 球面幾何学 （G.F.B.Riemann, 1828～1866） 平面に相当するものは球面 異なる２直線は２点で交わる 平行線は存在しない 三角形の内角の和は１８０度より大きい

44 直線とは大円のこと その中心が球の中心と一致する円の周 図はウィキペディアから引用

45 どの２直線も２点で交わる 図はウィキペディアから引用

46 三角形の内角の和は１８０°より大きい 図はウィキペディアから引用

47 （問題１１） ３０世紀にはコンピュータが数学の定理を証明してくれるようになる？ Ｙｅｓ ｏｒ Ｎｏ？
（問題１１） ３０世紀にはコンピュータが数学の定理を証明してくれるようになる？ Ｙｅｓ　ｏｒ　Ｎｏ？ 大多数の答？　　Ｎｏ？

48 30世紀には、数学の定理はすべて コンピュータが証明してくれる？
No! コンピュータでは証明できない命題がある！ ということが数学の定理として証明されている 数学の体系をどうやってコンピュータに教えるの？　 定理って何？　証明って何？ コンピュータの「計算」能力って何？ 　　　　　　　　　　↓ どっちも数学的にきちんと定義する必要がある

49 大数学者の夢 D.Hilbertのプログラム 数学の形式化 → 数理論理学（19c.中頃から）
　大数学者の夢 D.Hilbertのプログラム すべての数学を公理化・記号化して（コンピュータで扱えるようにして）しまおう 　　　　　　　　 （形式主義） 『すべての問題は解を持ち、それを見つける方法があり、すべての定理は証明できる』 数学の形式化 → 数理論理学（19c.中頃から） 公理や定理を文字列で表す 推論は文字列を書き換えるルール 有限回の推論の結果出てくるものが定理 こういうことはコンピュータでも処理できる

50 夢、ついえる 不完全性定理(K.Gödel, 1931年)
　夢、ついえる 不完全性定理(K.Gödel, 1931年) 『自然数論を含み無矛盾な、どんな数学の体系にも、正しいことも正しくないことも証明できないような命題が存在する』 「自分が正しい命題であることを証明できる」と主張する命題は、正しいことも正しくないことも証明できない 絶望？　No! すべての数学の体系を記号化することはできないけど、まだ望みは残っている

51 まだ望みはある？ もっとやさしい問題だったらコンピュータで計算 できるんじゃないの？ 例えば、 判定する方法（計算の手順）は無さそうだ！
Hilbertの第10問題(1900年、23の数学の問題の10番目） 整数係数の不定方程式が整数解をもつかどうか判定する判別式を求めよ。 整数係数不定方程式 とは：　 3x2y3-7xy2z+5z3+23=0 など 　　公式を求める努力をしてみたけれど・・・ 判定する方法（計算の手順）は無さそうだ！

52 計算って何なのかを考え直さなくっちゃ 判定する方法（計算の手順）は無さそうだ！ ↓
　　　　　　　　　↓ 計算の手順（アルゴリズム）とは何かを数学的に定義する必要がある 数学的な定義は1930年代になってから いろんな数学者（A.M.Turing, E.L.Post, A.Church, S.C.Kleene, K.Gödel）がいろんな観点から異なる 定義を提案したがすべて一致した 自然数の上の計算可能関数、コンピュータの数学的モデル、文字列書き換えシステム、等々

53 答を導く方法が無い問題がある！ Hilbertの第10問題は計算不能！ 他には？ (x1, y1), …, (xn, yn) : 文字列の組
答を出す一般的公式（アルゴリズム）は存在しえない Ju.v.Matijaseviĉ, 1971年 計算不能なことが証明された最初の問題 具体的な問題でなくてもいいなら証明はそれほど難しくない 他には？ (x1, y1), …, (xn, yn) : 文字列の組 xi1xi2・・・xik = yi1yi2・・・yik とできるか判定する方法はあるか？

54 まとめ 数学は自由だ！ 矛盾さえなければ自由に発想して良い でも、厳密であることが必要
　数学は自由だ！ 矛盾さえなければ自由に発想して良い でも、厳密であることが必要 今どんな役に立つかわからなくても、いつどんな形で役に立つかわからない 自由な発想をするには、基礎的なことを（高校で） 　 ちゃんと学んでおこう

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56 今日の復習です。 最後にもう一度聞きます。 １＋１＝？
最後にもう一度聞きます。 １＋１＝？ えっ、１＋１＝０？ いいえ、１＋１＝２　です。 いやいや、１＋１＝０がある数学の世界も、１＋１＝２である数学の世界もあるのです。それが今日やったことでした！

57 模擬授業への参加 ありがとうございました！ 少しは数学への興味を増してくれたなら 嬉しいです！

58 （問題８） ａ，ｂ 間と ａ，ｃ 間ではどちらが近い？ c b a 大多数の答： a, b 間

59 距離って何？ 距離の性質 距離や面積という概念の無い幾何学もある！ d(x,x)=0 d(x,y)=0 ⇔ x=y
d(x,y)=d(y,x) d(x,y)+d(y,z)d(x,z) 距離や面積という概念の無い幾何学もある！

60 （問題９） 次の図形には直径がある？　 半径は？　中心は？ 大多数の答：　？

61 半径≦直径≦２・半径 次の図形の直径は？半径は？ 径・・・みち → 距離 点 P から最も遠い点は？
半径≦直径≦２・半径 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 次の図形の直径は？半径は？ 径・・・みち → 距離 点 P から最も遠い点は？ 「最も遠い点」が最も遠い点は？　最も近い点は？ 　　　　　　　　　　 　　　どの2点？　　　　　　　　　 ・P

62 半径・直径を考えることが出来るのは円だけじゃない！ いろんな場合を考えるのが数学！
三角形の場合は？ 外心との関係は？ 四角形の場合は？ グラフだったら？ 連続な図形でなくても、平面図形でなくても 「中心」って、どういう点だろう？ 半径を与える点 一般に言えることは？ 半径≦直径≦２・半径

63 （問題１０） 次のものに順序（大小関係）を 付けることができる？ 整数 実数 英語や日本語の単語
　整数 　実数 　英語や日本語の単語 　2つの数の組 (2,3), (3,2), (5,8), … 　じゃんけんの「ぐー」「ちょき」「パー」 　親、子、孫、ひ孫、兄弟、おじ、おば、祖父、… 　トーナメント選の優勝者、準優勝者以外の参加者の成績

64 こんな足し算や掛け算は間違っている？ １＋１＝１， １＋２＝２， １＋３＝３， ・・・ ２＋１＝２， ２＋２＝４， ２＋３＝６， ・・・
ＮＯ！　＋と×の記号を入れ替えただけで何も変わっていない！　つまり同じ！ １＋１＝１，　１＋２＝２，　１＋３＝３，　・・・ 　　２＋１＝２，　２＋２＝４，　２＋３＝６，　・・・ 　　３＋１＝３，　３＋２＝６，　３＋３＝９，　・・・ 　　　　　　　　　　・・・ 　　９＋１＝９，　９＋２＝１８，　９＋３＝２７，　・・・ １×１＝２，　１×２＝３，　１×３＝４，　・・・ 　　２×１＝３，　２×２＝４，　２×３＝５，　・・・ 　　３×１＝４，　３×２＝５，　３×３＝６，　・・・ 　　９×１＝１０，　９×２＝１１，　９×３＝１２，・・・

65 見かけは違っていても本質的に同じであること
これも、記号アラビア数字0,1,2,3,…,9を使った１０進表記の代わりにローマ数字0,I,ii,iii,iv,v,vi,vii,viii,ix,x,…を使っているだけで、同じ！ i＋i＝i，　 i＋ii＝ii，　 i＋iii＝iii， ・・・ 　　 ii＋i＝ii，　 ii＋ii＝iv，　 ii＋iii＝vi， ・・・ 　　iii＋i＝iii，　 iii＋ii＝vi，　 iii＋iii＝ix， ・・・ 　　　　　　　　　 ・・・ 　　ix＋i＝ix，　ix＋ii＝xviii， ix＋iii＝xxvii，・・・ i×i＝ii，　 i×ii＝iii，　 i×iii＝iv， ・・・ 　　 ii×i＝iii，　 ii×ii＝iv，　 ii×iii＝v， ・・・ 　　iii×i＝iv，　 iii×ii＝v，　 iii×iii＝vi， ・・・ 　　　　　　　　　 ・・・ 　　ix×i＝x， ix×ii＝xi， ix×iii＝xii， ・・・

66 順序って何？ 順序の性質 では、これは？ a≦a a≦b かつ b≦a なら a=b a≦b かつ b≦c なら a≦c

67 順序の例？ 反例？ すべてが一列に並ぶ順序 大小関係がなくても順序と考えてもよい？ じゃんけんのグー・チョキ・パーは？
順序の例？　反例？ すべてが一列に並ぶ順序 数（自然数、整数、有理数、実数）の大小関係 では、複素数は？ 辞書の中の単語の並び順 大小関係がなくても順序と考えてもよい？ 整数 m が整数 n を割り切るとき m≦n と定義したら順序になる？ 親子関係・先祖子孫関係には順序がある？ 　 ない？ じゃんけんのグー・チョキ・パーは？