分布定数回路(伝送線路)とは 電圧(電界)、電流(磁界)は回路内の位置に依存 立体回路 TE, TM波

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1 分布定数回路(伝送線路)とは 電圧(電界)、電流(磁界)は回路内の位置に依存 立体回路 TE, TM波
v(x, y, z, t), i(x, y, z, t) λ x y z E(x, y, z, t), H(x, y, z, t) x, y, z ≥ λ Maxwell方程式を解かなければならない (電磁気学の範疇) 分布定数回路 λ 本章で扱う分布定数回路(伝送線路) d 電圧、電流は線路上の位置に依存　v(z, t), i(z, t) l TEM波 d≪λ l ≥ λ 集中定数回路 これまでの章で扱ってきた回路 l d z y x 電圧、電流は回路部品内での位置には依存しない　　v(t), i(t) λ x, y, z, d, l≪λ 波長λ = c/f　　c: 光速度、f: 周波数 c = 約3×108 m/sなので、 f = 50Hzでは　λ = 6,000 km f = 3GHzでは　λ = 10 cm

2 伝送線路(分布定数回路) R L 送電端 受電端 Δx C G E v+Δv i+Δi i v ZL x x=0
R: 線路単位長当りの抵抗 (W/m) L: 線路単位長当りのインダクタンス (H/m) C: 線路単位長当りの容量 (F/m) G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m) i v v+Δv i+Δi R Δx L Δx C Δx G Δx Δx 微小区間の等価回路

3 線路の伝送方程式 伝送路微小区間 Δx の等価回路に対してキルヒホッフの法則を用いると、 従って、 伝送の 基礎方程式
v, i は x と t の関数、即ち v(x, t), i(x, t) 基礎方程式第1式の両辺を x について微分し、第2式と以下の関係式より、 電圧或いは電流のみで表現した以下の線路方程式が得られる。 電信方程式あるいは伝送方程式 電圧(電流)が波動として伝送線路を伝搬していく様子を表す波動方程式の一種

4 伝送方程式の定常解 v(t, x), i(t, x)正弦波交流(高周波)の場合を考えると、 と表せる ここで、w: 角周波数
Vx, Ixは位置 x の関数であるが時刻 t には依存しない(つまり、変数分離できる)とする この仮定は今後様々な問題を扱う場合によく出てくるが、特に一般性は失われない 伝送の基礎方程式に当てはめると、 式(8.8) ただし、R + jL = z, G + jC = y と置いた 上式より、 波動方程式を得る (電信方程式からも直接導出できる)

5 波動方程式の解 波動方程式の一般解 は積分定数 この一般解を式(8.8)の第2式に代入すると、 従って、 ここで、  : 伝搬定数
 : 減衰定数　単位: ネーパ(Np) g , Z0は、伝送線路を特徴づけることから、線路の二次定数という  : 位相定数　単位: ラジアン(rad) Z0: 特性インピーダンス　単位: オーム() これに対して R, G, L, Cは、線路の一次定数という 波長 λ = 2π / 周期 T =1/f = 2π /

6 伝送線路を特徴付けるパラメータには、線路の一次定数と二次定数とがある
R (W/m) 一次定数と二次定数との関係式 L (H/m) C (F/m) (実数) G (S/m) 二次定数 γ = α + jβ 伝搬定数 減衰定数 (Np) 位相定数 (rad) (複素数) 特性インピーダンス　Z0 ()

7 波の伝搬 時間依存因子ejwt を含む伝送式 ej(wt±bx) は、∓x方向に進む角周波数 , 位相定数  の正弦波を表す
何故なら、ej(wt±bx) =cos(wt±bx)+j sin(wt±bx) vp: 位相速度 ここで、 x は波の振幅を表し、a >0 (a <0)なら、xが増大する方向に振幅が増大(減少)する 因みに、波の包絡線の形状が伝わる速度を群速度: vgという x

8 波の伝搬 −x方向(つまり、送電端から受電端の方向)に位相速度ω/で進む波(進行波)で、 α >0なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく電圧波 +x方向(つまり、受電端から送電端の方向)に位相速度ω/で進む波(進行波)で、 α >0なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく電圧波 ZL 受電端 送電端 E x 入射波 反射波 ただし、

9 線路上での電圧と電流 ZL 受電端 送電端 E l Vx Ix V0 I0 x x = 0
線路上の任意の点 x での電圧 Vx、電流 Ixは、前頁の式より であった。 従って、受電端 x = 0 での電圧 V0、電流 I0は、 従って、 線路上の任意の点 x での電圧と電流を、受電端電圧と電流 V0および I0で表すと、 左式で、右辺の第1項は入射波を 第2項は反射波を表わす

10 線路の縦続行列 ZL 受電端 送電端 E l 送電端 E ZL 受電端 Vx Ix V0 I0 x x=0
左式に双曲線関数の公式 を適用すると、 が得られる 従って、特性インピーダンス Z0, 長さ l の線路に対するF行列は、 線路は対称 線路は相反(可逆)回路

11 演習問題 8.17 特性インピーダンス Z0, 伝搬定数 g, 長さ l の線路に対応するF行列は、 l Z0 g
式(8.26) 　p.170 従って、線路は相反(可逆) 受電端を開放(I0 = 0)した線路で、受電端からの距離 x の点から受電端の方を見た入力インピーダンス Zf は、 l Z0 g V0 I0=0 x =0 x Zf

12 演習問題 よって、 受電端を短絡(V0 = 0)した線路で、受電端からの距離 x の点から受電端の方を見た入力インピーダンス ZS は、 l
g I0 V0=0 x =0 x ZS よって、

13 演習問題 受電端に負荷 ZL を接続したときの、受電端からの距離 x の点から負荷の方を見た入力インピーダンス Zin は、 l Z0 g
V0 x =0 x Zin ZL よって、

14 解) Z0=408 Ω, γ =j1.37×10-6 m-1, X= 0.56 Ω/km, B= 3.4×10-6 Ʊ/km
演習問題 電源電圧 E, 内部インピーダンスが Z0 の電源に、伝搬定数が g , 特性インピーダンスが Z0, 長さ が l の線路が接続されている。これに等価な電圧源 を求めよ。さらに、線路が無損失なら、それはどのように表わせるか? ただし、sinh(iθ) = i sinθ, cosh(iθ) = cosθ である。 l g , Z0 E Z0 2. 全長400kmの線路がある。その受電端を短絡した場合、送電端から見たインピーダンスの値が j250Ω、また受電端を開放した場合、送電端から見たアドミタンスの値が j1.5×10-3 Ʊであった。この線路の伝搬定数 γ 、特性インピーダンス Z0、および1km当たりのリアクタンス X、サセプタンスB を求めよ。 解) Z0=408 Ω, γ =j1.37×10-6 m-1, X= 0.56 Ω/km, B= 3.4×10-6 Ʊ/km