電気回路第1 第8回 －インピーダンスと有効電力－ 電気回路第1スライド8-1 目次 ２前回の復習－RLC直列回路－ ３RLC直列回路の電圧

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1 電気回路第1 第8回 －インピーダンスと有効電力－ 電気回路第1スライド8-1 目次 ２前回の復習－RLC直列回路－ ３RLC直列回路の電圧
４インピーダンス ５リアクタンスと位相差Φ ６位相差と瞬時電力 ７力率 ８有効電力と無効電力 ９第3章のまとめ

2 ？ ！ 前回の復習 電気回路第1 第8回 ちょっと前にやったRC直列回路 に ちょっといた ずらをして RLC直列回路の電圧
　 ＝ R2 ＋　 Im sin (ωt ＋Φ ) 2 　 [ωLー ] 1 ωC RLC直列回路の電圧 ＋ eC eL ＋eL eR e ＝ 電流 i ＝ Im sinωt とすると、 ＝RIm sinωt 　＋ [ωL ー ] Im cosωt Φ ＝ tan-1 ωL ー R eC 電気回路第1　第8回 －インピーダンスと有効電力－ 前回の復習 電気回路第1スライド8-2-1 －RLC直列回路－ ちょっと前にやったRC直列回路 に ちょっといた ずらをして │ ①RC直列回路にはさみを入れる。 ②間にLを１つ入れる。 ③RC回路と似た解析で、LとCの電圧が相殺。 ④電圧を足しますが、LやCで発生する電圧は…。 計算の仕方のまとめ 一応、参考のため。 ？ 話の順序は狂いますが、 前回の演習問題の解答 をやっておきます。 ！

3 ？ ！ 前回の復習 電気回路第1 第8回 ちょっと前にやったRC直列回路に Lを１つ直列に入れてみましょう。 RLC直列回路の電圧
　 ＝ R2 ＋　 Im sin (ωt ＋Φ ) 2 　 [ωLー ] 1 ωC RLC直列回路の電圧 ＋ eC eL ＋eL eR e ＝ 電流 i ＝ Im sinωt とすると、 ＝RIm sinωt 　＋ [ωL ー ] Im cosωt Φ ＝ tan-1 ωL ー R eC 電気回路第1　第8回 －インピーダンスと有効電力－ 前回の復習 電気回路第1スライド8-2-2 －RLC直列回路－ ちょっと前にやったRC直列回路に Lを１つ直列に入れてみましょう。 ①RC直列回路にはさみを入れる。 ②間にLを１つ入れる。 ③RC回路と似た解析で、LとCの電圧が相殺。 ④電圧を足しますが、LやCで発生する電圧は…。 計算の仕方のまとめ 一応、参考のため。 ？ 話の順序は狂いますが、 前回の演習問題の解答 をやっておきます。 ！

4 ？ ！ 前回の復習 電気回路第1 第8回 ちょっと前にやったRC直列回路に Lを１つ直列に入れてみましょう。
　 ＝ R2 ＋　 Im sin (ωt ＋Φ ) 2 　 [ωLー ] 1 ωC RLC直列回路の電圧 ＋ eC eL ＋eL eR e ＝ 電流 i ＝ Im sinωt とすると、 ＝RIm sinωt 　＋ [ωL ー ] Im cosωt Φ ＝ tan-1 ωL ー R eC 電気回路第1　第8回 －インピーダンスと有効電力－ 前回の復習 電気回路第1スライド8-2-3 －RLC直列回路－ Lを１つ直列に入れてみましょう。 ちょっと前にやったRC直列回路に ここだけの話、RC回路と似ていて、 LとCが醜い電圧のつぶしあいをします。 の電圧が打ち消し合う場合がある。 ①RC直列回路にはさみを入れる。 ②間にLを１つ入れる。 ③RC回路と似た解析で、LとCの電圧が相殺。 ④電圧を足しますが、LやCで発生する電圧は…。 計算の仕方のまとめ 一応、参考のため。 ？ 話の順序は狂いますが、 前回の演習問題の解答 をやっておきます。 ！

5 ？ ！ 前回の復習 電気回路第1 第8回 ちょっと前にやったRC直列回路に Lを１つ直列に入れてみましょう。
　 ＝ R2 ＋　 Im sin (ωt ＋Φ ) 2 　 [ωLー ] 1 ωC RLC直列回路の電圧 ＋ eC eL ＋eL eR e ＝ 電流 i ＝ Im sinωt とすると、 ＝RIm sinωt 　＋ [ωL ー ] Im cosωt Φ ＝ tan-1 ωL ー R eC 電気回路第1　第8回 －インピーダンスと有効電力－ 前回の復習 電気回路第1スライド8-2-4 －RLC直列回路－ ここだけの話、RC回路と似ていて、 LとCの電圧が打ち消し合う場合がある。 Lを１つ直列に入れてみましょう。 ちょっと前にやったRC直列回路に なぜなら、直列だから電圧をたす。LとC は位相がずれますが、＋とーのcosで… ①RC直列回路にはさみを入れる。 ②間にLを１つ入れる。 ③RC回路と似た解析で、LとCの電圧が相殺。 ④電圧を足しますが、LやCで発生する電圧は…。 計算の仕方のまとめ 一応、参考のため。 ？ 話の順序は狂いますが、 前回の演習問題の解答 をやっておきます。 ！

6 ？ ！ RLC直列回路の電圧 eR 最後に扱った RLC直列回路 では、 eR ＋eL ＋ eC eL eC 前回の復習 インピーダンス
先週の復習ですが、お遊びのRC 直列回路にLを１つ直列に入れて ここだけの話、RC回路と似ていて、 LとCの電圧が打ち消し合う。 直列だから電流をたす。LとCは位相 はずれますが、＋とーのcosで… 前回の復習 －RLC直列回路－ インピーダンス│Z│ i ＝ Im sin(ωt + θ) 　 　 ＝ 　R2 ＋　 　 　　 [ωLー ] 1 ωC インピーダンス 電流 電圧 e ＝ Em sin(ωt + θ+Φ) リアクタンス　X ωL － 位相のずれた電圧の出る割合 ＝ 2 RLC直列回路の電圧 電気回路第1スライド8-3-1 eR 最後に扱った RLC直列回路 では、 電圧 e ＝ eR ＋eL ＋ eC eL eC ①先週の最後にやったRLC直列回路。 ② i を sin として、抵抗は sin、ωL、－1/ωC が cos。 ③まとめて、振幅が二乗の和のルート。位相差tan－1。 ほとんど前回のままで すが、sin+cosの計算を 掲載しておきます。 ？ もちろん、前回と同じ 波形の変化の様子です。 ！

7 ？ ！ RLC直列回路の電圧 ＋eL ＋ eC eR 1 ＝RIm sin(ωt+θ)＋[ωL ー ] Im cos(ωt+θ) ωC eL
先週の復習ですが、お遊びのRC 直列回路にLを１つ直列に入れて ここだけの話、RC回路と似ていて、 LとCの電圧が打ち消し合う。 直列だから電流をたす。LとCは位相 はずれますが、＋とーのcosで… 前回の復習 －RLC直列回路－ インピーダンス│Z│ i ＝ Im sin(ωt + θ) 　 　 ＝ 　R2 ＋　 　 　　 [ωLー ] 1 ωC インピーダンス 電流 電圧 e ＝ Em sin(ωt + θ+Φ) リアクタンス　X ωL － 位相のずれた電圧の出る割合 ＝ 2 RLC直列回路の電圧 電気回路第1スライド8-3-2 電流 i ＝ Im sin(ωt +θ) とすると、 ＋ eC eL ＋eL eR 電圧 e ＝ eC ＝RIm sin(ωt+θ)＋[ωL ー ] Im cos(ωt+θ) 1 ωC ①先週の最後にやったRLC直列回路。 ② i を sin として、抵抗は sin、ωL、－1/ωC が cos。 ③まとめて、振幅が二乗の和のルート。位相差tan－1。 ほとんど前回のままで すが、sin+cosの計算を 掲載しておきます。 ？ ！ もちろん、前回と同じ 波形の変化の様子です。

8 ？ ！ [ωLー ] RLC直列回路の電圧 ＋eL ＋ eC eR 1
先週の復習ですが、お遊びのRC 直列回路にLを１つ直列に入れて ここだけの話、RC回路と似ていて、 LとCの電圧が打ち消し合う。 直列だから電流をたす。LとCは位相 はずれますが、＋とーのcosで… 前回の復習 －RLC直列回路－ インピーダンス│Z│ i ＝ Im sin(ωt + θ) 　 　 ＝ 　R2 ＋　 　 　　 [ωLー ] 1 ωC インピーダンス 電流 電圧 e ＝ Em sin(ωt + θ+Φ) リアクタンス　X ωL － 位相のずれた電圧の出る割合 ＝ 2 RLC直列回路の電圧 電気回路第1スライド8-3-3 ＝RIm sin(ωt+θ)＋[ωL ー ] Im cos(ωt+θ) 1 ωC 電流 i ＝ Im sin(ωt +θ) とすると、 ＋ eC eL ＋eL eR 電圧 e ＝ eC 　 ＝ 　R2 ＋　 　Im sin(ωt +θ+Φ) 　　 [ωLー ] 1 ωC 2 Φ ＝ tan-1 ωL ー 1 ωC R ①先週の最後にやったRLC直列回路。 ② i を sin として、抵抗は sin、ωL、－1/ωC が cos。 ③まとめて、振幅が二乗の和のルート。位相差tan－1。 ほとんど前回のままで すが、sin+cosの計算を 掲載しておきます。 ？ ！ もちろん、前回と同じ 波形の変化の様子です。

9 ？ ！ [ωLー ] インピーダンス 電圧 e ＝RIm sin(ωt+ θ)＋[ωL ー ] Im cos(ωt+θ) 1 ωC
2 　 [ωLー ] 1 ωC RLC直列回路の電圧 ＋ eC eL ＋eL eR e ＝ 電流 i ＝ Im sinωt とすると、 ＝RIm sinωt 　＋ [ωL ー ] Im cosωt Φ ＝ tan-1 ωL ー R eC ＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 　＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、　　 容量リアクタンス XC＝　　　 [Ω] 1 　　 ωC 　 　 が V ＋Q ーQ i 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 電圧は電流より90゜位相が遅れている。 リアクタンスと位相差Φ X＜０なら Cに近い（容量性） φ＜０（電圧が遅れる） φ＞０（電圧が進む） X＞０なら Lに近い（誘導性） ωL ー X ＝ ＝０ なら、位相差φは、 φ＝ tan ＝ ０ X R 電圧と電流は同相 1 ωC インピーダンス 電気回路第1スライド8-4-1 電圧　e ＝RIm sin(ωt+ θ)＋[ωL ー ] Im cos(ωt+θ) 1 ωC Φ ＝ tan-1 ωL ー R ＋ eC eL ＋eL eR 電圧 e ＝ 電流 i ＝ Im sin(ωt + θ) とすると、 eC 　 ＝ 　R2 ＋　 　Im sin(ωt +θ+Φ) 　　 [ωLー ] 2 電流 と、 　　　　ですが、　　　　 とりあえず、先ほどの画面です。 を比較してみましょう。 ①前の結果で電流と電圧を比較。 ②振幅の比をとる。 ③√2で割って実効値の比をとる。 ④│E│＝│Z│×│I│ ⑤新しい概念、インピーダンス│Z│。 ⑥リアクタンスは、誘導、容量とも赤い部分。 抵抗、リアクタンス、 インピーダンスを比較 しましょう。 ？ ！ │Z│を足し算しても いいでしょうか？

10 ？ ！ [ωLー ] インピーダンス 電圧 e ＝RIm sin(ωt+ θ)＋[ωL ー ] Im cos(ωt+θ) 1 ωC
2 　 [ωLー ] 1 ωC RLC直列回路の電圧 ＋ eC eL ＋eL eR e ＝ 電流 i ＝ Im sinωt とすると、 ＝RIm sinωt 　＋ [ωL ー ] Im cosωt Φ ＝ tan-1 ωL ー R eC ＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 　＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、　　 容量リアクタンス XC＝　　　 [Ω] 1 　　 ωC 　 　 が V ＋Q ーQ i 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 電圧は電流より90゜位相が遅れている。 リアクタンスと位相差Φ X＜０なら Cに近い（容量性） φ＜０（電圧が遅れる） φ＞０（電圧が進む） X＞０なら Lに近い（誘導性） ωL ー X ＝ ＝０ なら、位相差φは、 φ＝ tan ＝ ０ X R 電圧と電流は同相 1 ωC インピーダンス 電気回路第1スライド8-4-2 電圧　e ＝RIm sin(ωt+ θ)＋[ωL ー ] Im cos(ωt+θ) 1 ωC Φ ＝ tan-1 ωL ー R ＋ eC eL ＋eL eR 電圧 e ＝ 電流 i ＝ Im sin(ωt + θ) とすると、 eC 　 ＝ 　R2 ＋　 　Im sin(ωt +θ+Φ) 　　 [ωLー ] 2 電流 と、 すると 電圧 を e ＝ Em sin(ωt + θ+Φ) と書き直すと、 とりあえず、先ほどの画面です。 Em を比較してみましょう。 の関係が成立する。 ①前の結果で電流と電圧を比較。 ②振幅の比をとる。 ③√2で割って実効値の比をとる。 ④│E│＝│Z│×│I│ ⑤新しい概念、インピーダンス│Z│。 ⑥リアクタンスは、誘導、容量とも赤い部分。 抵抗、リアクタンス、 インピーダンスを比較 しましょう。 ？ │Z│を足し算しても いいでしょうか？ ！

11 ？ ！ [ωLー ] インピーダンス √ ＝RIm sin(ωt+ θ)＋[ωL ー ] Im cos(ωt+θ) 1 ωC
2 　 [ωLー ] 1 ωC RLC直列回路の電圧 ＋ eC eL ＋eL eR e ＝ 電流 i ＝ Im sinωt とすると、 ＝RIm sinωt 　＋ [ωL ー ] Im cosωt Φ ＝ tan-1 ωL ー R eC ＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 　＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、　　 容量リアクタンス XC＝　　　 [Ω] 1 　　 ωC 　 　 が V ＋Q ーQ i 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 電圧は電流より90゜位相が遅れている。 リアクタンスと位相差Φ X＜０なら Cに近い（容量性） φ＜０（電圧が遅れる） φ＞０（電圧が進む） X＞０なら Lに近い（誘導性） ωL ー X ＝ ＝０ なら、位相差φは、 φ＝ tan ＝ ０ X R 電圧と電流は同相 1 ωC インピーダンス 電気回路第1スライド8-4-3 ＝RIm sin(ωt+ θ)＋[ωL ー ] Im cos(ωt+θ) 1 ωC Φ ＝ tan-1 ωL ー R ＋ eC eL ＋eL eR 電圧 e ＝ 電流 i ＝ Im sin(ωt + θ) とすると、 eC 　 ＝ 　R2 ＋　 　Im sin(ωt +θ+Φ) 　　 [ωLー ] 2 電圧　e 電流 電圧 e ＝ Em sin(ωt + θ+Φ) とりあえず、先ほどの画面です。 Em 2 √ を比較してみましょう。 と実効値の間の比例関係が出ました。　　　　 の関係が成立する。　 もちろん　2で割って、 √ ①前の結果で電流と電圧を比較。 ②振幅の比をとる。 ③√2で割って実効値の比をとる。 ④│E│＝│Z│×│I│ ⑤新しい概念、インピーダンス│Z│。 ⑥リアクタンスは、誘導、容量とも赤い部分。 抵抗、リアクタンス、 インピーダンスを比較 しましょう。 ？ │Z│を足し算しても いいでしょうか？ ！

12 ？ ！ [ωLー ] インピーダンス ＝RIm sin(ωt+ θ)＋[ωL ー ] Im cos(ωt+θ) 1 ωC Φ ＝ tan-1
2 　 [ωLー ] 1 ωC RLC直列回路の電圧 ＋ eC eL ＋eL eR e ＝ 電流 i ＝ Im sinωt とすると、 ＝RIm sinωt 　＋ [ωL ー ] Im cosωt Φ ＝ tan-1 ωL ー R eC ＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 　＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、　　 容量リアクタンス XC＝　　　 [Ω] 1 　　 ωC 　 　 が V ＋Q ーQ i 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 電圧は電流より90゜位相が遅れている。 リアクタンスと位相差Φ X＜０なら Cに近い（容量性） φ＜０（電圧が遅れる） φ＞０（電圧が進む） X＞０なら Lに近い（誘導性） ωL ー X ＝ ＝０ なら、位相差φは、 φ＝ tan ＝ ０ X R 電圧と電流は同相 1 ωC インピーダンス 電気回路第1スライド8-4-4 ＝RIm sin(ωt+ θ)＋[ωL ー ] Im cos(ωt+θ) 1 ωC Φ ＝ tan-1 ωL ー R ＋ eC eL ＋eL eR 電圧 e ＝ 電流 i ＝ Im sin(ωt + θ) とすると、 eC 　 ＝ 　R2 ＋　 　Im sin(ωt +θ+Φ) 　　 [ωLー ] 2 電圧　e 電流 電圧 e ＝ Em sin(ωt + θ+Φ) とりあえず、先ほどの画面です。 Em 　　 ここを 　　として Z 　　として Z 　　 ここを 2 √ を比較してみましょう。 │E│＝│Z││I│　 が成り立ちます。 　　 と実効値の間の比例関係が出ました。　　　 の関係が成立　する。 ①前の結果で電流と電圧を比較。 ②振幅の比をとる。 ③√2で割って実効値の比をとる。 ④│E│＝│Z│×│I│ ⑤新しい概念、インピーダンス│Z│。 ⑥リアクタンスは、誘導、容量とも赤い部分。 抵抗、リアクタンス、 インピーダンスを比較 しましょう。 ？ ！ │Z│を足し算しても いいでしょうか？

13 ？ ！ [ωLー ] インピーダンス 電圧 e ＝RIm sin(ωt+ θ)＋[ωL ー ] Im cos(ωt+θ) 1 ωC
2 　 [ωLー ] 1 ωC RLC直列回路の電圧 ＋ eC eL ＋eL eR e ＝ 電流 i ＝ Im sinωt とすると、 ＝RIm sinωt 　＋ [ωL ー ] Im cosωt Φ ＝ tan-1 ωL ー R eC ＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 　＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、　　 容量リアクタンス XC＝　　　 [Ω] 1 　　 ωC 　 　 が V ＋Q ーQ i 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 電圧は電流より90゜位相が遅れている。 リアクタンスと位相差Φ X＜０なら Cに近い（容量性） φ＜０（電圧が遅れる） φ＞０（電圧が進む） X＞０なら Lに近い（誘導性） ωL ー X ＝ ＝０ なら、位相差φは、 φ＝ tan ＝ ０ X R 電圧と電流は同相 1 ωC インピーダンス 電気回路第1スライド8-4-5 電圧　e ＝RIm sin(ωt+ θ)＋[ωL ー ] Im cos(ωt+θ) 1 ωC Φ ＝ tan-1 ωL ー R ＋ eC eL ＋eL eR 電圧 e ＝ 電流 i ＝ Im sin(ωt + θ) とすると、 eC 　 ＝ 　R2 ＋　 　Im sin(ωt +θ+Φ) 　　 [ωLー ] 2 電流 電圧 e ＝ Em sin(ωt + θ+Φ) とりあえず、先ほどの画面です。 Em インピーダンス│Z│ 　　抵抗に相当し、 を満たす。 は、 2 √ を比較してみましょう。 │E│＝│Z││I│　 が成り立ちます。 　　 と実効値の間の　比例関係が出ました。　　　 の関係が成立　する。 また、│Z│は、 ①前の結果で電流と電圧を比較。 ②振幅の比をとる。 ③√2で割って実効値の比をとる。 ④│E│＝│Z│×│I│ ⑤新しい概念、インピーダンス│Z│。 ⑥リアクタンスは、誘導、容量とも赤い部分。 抵抗、リアクタンス、 インピーダンスを比較 しましょう。 ？ │Z│を足し算しても いいでしょうか？ ！

14 ？ ！ [ωLー ] インピーダンス ＝RIm sin(ωt+ θ)＋[ωL ー ] Im cos(ωt+θ) 1 ωC Φ ＝ tan-1
2 　 [ωLー ] 1 ωC RLC直列回路の電圧 ＋ eC eL ＋eL eR e ＝ 電流 i ＝ Im sinωt とすると、 ＝RIm sinωt 　＋ [ωL ー ] Im cosωt Φ ＝ tan-1 ωL ー R eC ＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 　＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、　　 容量リアクタンス XC＝　　　 [Ω] 1 　　 ωC 　 　 が V ＋Q ーQ i 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 電圧は電流より90゜位相が遅れている。 リアクタンスと位相差Φ X＜０なら Cに近い（容量性） φ＜０（電圧が遅れる） φ＞０（電圧が進む） X＞０なら Lに近い（誘導性） ωL ー X ＝ ＝０ なら、位相差φは、 φ＝ tan ＝ ０ X R 電圧と電流は同相 1 ωC インピーダンス 電気回路第1スライド8-4-6 ＝RIm sin(ωt+ θ)＋[ωL ー ] Im cos(ωt+θ) 1 ωC Φ ＝ tan-1 ωL ー R ＋ eC eL ＋eL eR 電圧 e ＝ 電流 i ＝ Im sin(ωt + θ) とすると、 eC 　 ＝ 　R2 ＋　 　Im sin(ωt +θ+Φ) 　　 [ωLー ] 2 電圧　e 電流 電圧 e ＝ Em sin(ωt + θ+Φ) とりあえず、先ほどの画面です。 Em インピーダンス│Z│ ここから ここから 　　抵抗に相当し、 を満たす。 は、 2 √ リアクタンス　X ωL ー 1 ωC はLの誘導リアクタンスとCの容量 リアクタンスの差ですが、 を比較してみましょう。 │E│＝│Z││I│　 が成り立ちます。 　　 と実効値の間の　比例関係が出ました。　　　 の関係が成立　する。 位相のずれた電圧の出る割合 また、│Z│は、 ①前の結果で電流と電圧を比較。 ②振幅の比をとる。 ③√2で割って実効値の比をとる。 ④│E│＝│Z│×│I│ ⑤新しい概念、インピーダンス│Z│。 ⑥リアクタンスは、誘導、容量とも赤い部分。 抵抗、リアクタンス、 インピーダンスを比較 しましょう。 ？ ！ │Z│を足し算しても いいでしょうか？

15 ？ ！ リアクタンスと位相差Φ ωL ー 1 ωC X ＝ それでは、 を考えます。 （さきのわけわからんやつ） インピーダンス
インピーダンス│Z│ i ＝ Im sin(ωt + θ) 　 　 ＝ 　R2 ＋　 　 　　 [ωLー ] 1 ωC インピーダンス 電流 電圧 e ＝ Em sin(ωt + θ+Φ) リアクタンス　X ωL － 位相のずれた電圧の出る割合 ＝ 2 Z Im2cosφ sin2(ωt +θ) ││ 位相差と瞬時電力 t P I E e ＝ RImsin(ωt +θ)＋ XImcos(ωt +θ) i ＝Im sin(ωt +θ) p ＝ei ＝ + Z Im2sinφsin(ωt +θ)cos(ωt +θ) ＝ E 　I　 cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] + E 　I　 sinφsin 2(ωt +θ) 黄色い電力と赤い電力の和 電力は、 となって、位相差φの関数である。 　　　リアクタンスと位相差Φ 電気回路第1スライド8-5-1 ωL ー 1 ωC X ＝ それでは、 を考えます。 （さきのわけわからんやつ） ①リアクタンス、ωL と 1/ωC の差を考えよう。 ②ωL は、インダクタンス（電圧進む。電力ゼロ）の性質。 ③－1/ωC はキャパシタンス（電圧遅れる）の性質。 ④X＝0 で同相。 ⑤X>０ のL に近く、位相が進む。 ⑥X＜０ なら C に近く、位相が遅れる。 tan-1(X/R)の振る舞いに ついて、一応グラフも示 しておきましょう。 ？ ！ LやCの入った回路の考 え方を少しまとめておき ます。

16 cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より
ﾏｲ ｺﾝﾋﾟｭｰﾀ 電気回路 02‐6 インピーダンス│Z│ i ＝ Im sin(ωt + θ) 　 　 ＝ 　R2 ＋　 　 　　 [ωLー ] 1 ωC インピーダンス 電流 電圧 e ＝ Em sin(ωt + θ+Φ) リアクタンス　X ωL － 位相のずれた電圧の出る割合 ＝ 2 インピーダンス│Z│ i ＝ Im sin(ωt + θ) 　 　 ＝ 　R2 ＋　 　 　　 [ωLー ] 1 ωC インピーダンス 電流 電圧 e ＝ Em sin(ωt + θ+Φ) リアクタンス　X ωL － 位相のずれた電圧の出る割合 ＝ 2 Z Im2cosφ sin2(ωt +θ) ││ 位相差と瞬時電力 t P I E e ＝ RImsin(ωt +θ)＋ XImcos(ωt +θ) i ＝Im sin(ωt +θ) p ＝ei ＝ + Z Im2sinφsin(ωt +θ)cos(ωt +θ) ＝ E 　I　 cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] + E 　I　 sinφsin 2(ωt +θ) 黄色い電力と赤い電力の和 電力は、 となって、位相差φの関数である。 　　　リアクタンスと位相差Φ 電気回路第1スライド8-5-2 ωL ー 1 ωC X ＝ は、インダクタのωLと を考えます。 前々回のスライドを参考に ＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 ①リアクタンス、ωL と 1/ωC の差を考えよう。 ②ωL は、インダクタンス（電圧進む。電力ゼロ）の性質。 ③－1/ωC はキャパシタンス（電圧遅れる）の性質。 ④X＝0 で同相。 ⑤X>０ のL に近く、位相が進む。 ⑥X＜０ なら C に近く、位相が遅れる。 ？ tan-1(X/R)の振る舞いに ついて、一応グラフも示 しておきましょう。 ！ LやCの入った回路の考 え方を少しまとめておき ます。

17 ？ ！ リアクタンスと位相差Φ ωL ー 1 ωC X ＝ キャパシタの の差 1 ωC は、インダクタ のωLと を考えます。
ﾏｲ ｺﾝﾋﾟｭｰﾀ 電気回路 02‐6 インピーダンス│Z│ i ＝ Im sin(ωt + θ) 　 　 ＝ 　R2 ＋　 　 　　 [ωLー ] 1 ωC インピーダンス 電流 電圧 e ＝ Em sin(ωt + θ+Φ) リアクタンス　X ωL － 位相のずれた電圧の出る割合 ＝ 2 インピーダンス│Z│ i ＝ Im sin(ωt + θ) 　 　 ＝ 　R2 ＋　 　 　　 [ωLー ] 1 ωC インピーダンス 電流 電圧 e ＝ Em sin(ωt + θ+Φ) リアクタンス　X ωL － 位相のずれた電圧の出る割合 ＝ 2 Z Im2cosφ sin2(ωt +θ) ││ 位相差と瞬時電力 t P I E e ＝ RImsin(ωt +θ)＋ XImcos(ωt +θ) i ＝Im sin(ωt +θ) p ＝ei ＝ + Z Im2sinφsin(ωt +θ)cos(ωt +θ) ＝ E 　I　 cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] + E 　I　 sinφsin 2(ωt +θ) 黄色い電力と赤い電力の和 電力は、 となって、位相差φの関数である。 　　　リアクタンスと位相差Φ 電気回路第1スライド8-5-3 ωL ー 1 ωC X ＝ キャパシタの 　 　　の差 1 ωC は、インダクタ　のωLと を考えます。 電流の流れにくさを表しています。 　＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、　　 1 　　 容量リアクタンス XC＝　　　 [Ω] ωC 　 　 が コンデンサの応答 V ＋Q ーQ i 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 時間 電圧 ０ 電流 電圧は電流より90゜位相が遅れている。 ＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 ①リアクタンス、ωL と 1/ωC の差を考えよう。 ②ωL は、インダクタンス（電圧進む。電力ゼロ）の性質。 ③－1/ωC はキャパシタンス（電圧遅れる）の性質。 ④X＝0 で同相。 ⑤X>０ のL に近く、位相が進む。 ⑥X＜０ なら C に近く、位相が遅れる。 tan-1(X/R)の振る舞いに ついて、一応グラフも示 しておきましょう。 ？ ！ LやCの入った回路の考 え方を少しまとめておき ます。

18 ？ ！ リアクタンスと位相差Φ ωL ー 1 ωC X ＝ キャパシタの の差 1 ωC は、インダクタ のωLと を考えます。 ωL ー
インピーダンス│Z│ i ＝ Im sin(ωt + θ) 　 　 ＝ 　R2 ＋　 　 　　 [ωLー ] 1 ωC インピーダンス 電流 電圧 e ＝ Em sin(ωt + θ+Φ) リアクタンス　X ωL － 位相のずれた電圧の出る割合 ＝ 2 Z Im2cosφ sin2(ωt +θ) ││ 位相差と瞬時電力 t P I E e ＝ RImsin(ωt +θ)＋ XImcos(ωt +θ) i ＝Im sin(ωt +θ) p ＝ei ＝ + Z Im2sinφsin(ωt +θ)cos(ωt +θ) ＝ E 　I　 cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] + E 　I　 sinφsin 2(ωt +θ) 黄色い電力と赤い電力の和 電力は、 となって、位相差φの関数である。 　　　リアクタンスと位相差Φ 電気回路第1スライド8-5-4 ωL ー 1 ωC X ＝ キャパシタの 　 　　の差 1 ωC は、インダクタ　のωLと を考えます。 ωL ー 1 ωC X ＝ ＝０ Xで位相差φを考えて　　 なら、位相差φは、 電流の流れにくさを表しています。 　＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、　　 1 　　 容量リアクタンス XC＝　　　 [Ω] ωC 　 　 が コンデンサの応答 V ＋Q ーQ i 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 時間 電圧 ０ 電流 電圧は電流より90゜位相が遅れている。 ＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 φ＝ tan ＝ ０ X R 電圧と電流は同相 ①リアクタンス、ωL と 1/ωC の差を考えよう。 ②ωL は、インダクタンス（電圧進む。電力ゼロ）の性質。 ③－1/ωC はキャパシタンス（電圧遅れる）の性質。 ④X＝0 で同相。 ⑤X>０ のL に近く、位相が進む。 ⑥X＜０ なら C に近く、位相が遅れる。 tan-1(X/R)の振る舞いに ついて、一応グラフも示 しておきましょう。 ？ LやCの入った回路の考 え方を少しまとめておき ます。 ！

19 ？ ！ リアクタンスと位相差Φ X＞０なら Lに近い（誘導性） ωL ー 1 ωC X ＝ ＝０ なら、位相差φは、
インピーダンス│Z│ i ＝ Im sin(ωt + θ) 　 　 ＝ 　R2 ＋　 　 　　 [ωLー ] 1 ωC インピーダンス 電流 電圧 e ＝ Em sin(ωt + θ+Φ) リアクタンス　X ωL － 位相のずれた電圧の出る割合 ＝ 2 Z Im2cosφ sin2(ωt +θ) ││ 位相差と瞬時電力 t P I E e ＝ RImsin(ωt +θ)＋ XImcos(ωt +θ) i ＝Im sin(ωt +θ) p ＝ei ＝ + Z Im2sinφsin(ωt +θ)cos(ωt +θ) ＝ E 　I　 cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] + E 　I　 sinφsin 2(ωt +θ) 黄色い電力と赤い電力の和 電力は、 となって、位相差φの関数である。 　　　リアクタンスと位相差Φ 電気回路第1スライド8-5-5 X＞０なら Lに近い（誘導性） ωL ー 1 ωC X ＝ ＝０ なら、位相差φは、 電流の流れにくさを表しています。 　＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、　　 1 　　 容量リアクタンス XC＝　　　 [Ω] ωC 　 　 が コンデンサの応答 V ＋Q ーQ i 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 時間 電圧 ０ 電流 電圧は電流より90゜位相が遅れている。 ＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 φ＝ tan ＝ ０ X R 電圧と電流は同相 φ＞０（電圧が進む） ①リアクタンス、ωL と 1/ωC の差を考えよう。 ②ωL は、インダクタンス（電圧進む。電力ゼロ）の性質。 ③－1/ωC はキャパシタンス（電圧遅れる）の性質。 ④X＝0 で同相。 ⑤X>０ のL に近く、位相が進む。 ⑥X＜０ なら C に近く、位相が遅れる。 tan-1(X/R)の振る舞いに ついて、一応グラフも示 しておきましょう。 ？ ！ LやCの入った回路の考 え方を少しまとめておき ます。

20 ？ ！ リアクタンスと位相差Φ φ＞０（電圧が進む） X＞０なら Lに近い（誘導性） X＜０なら Cに近い（容量性） ωL ー 1 ωC
インピーダンス│Z│ i ＝ Im sin(ωt + θ) 　 　 ＝ 　R2 ＋　 　 　　 [ωLー ] 1 ωC インピーダンス 電流 電圧 e ＝ Em sin(ωt + θ+Φ) リアクタンス　X ωL － 位相のずれた電圧の出る割合 ＝ 2 Z Im2cosφ sin2(ωt +θ) ││ 位相差と瞬時電力 t P I E e ＝ RImsin(ωt +θ)＋ XImcos(ωt +θ) i ＝Im sin(ωt +θ) p ＝ei ＝ + Z Im2sinφsin(ωt +θ)cos(ωt +θ) ＝ E 　I　 cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] + E 　I　 sinφsin 2(ωt +θ) 黄色い電力と赤い電力の和 電力は、 となって、位相差φの関数である。 　　　リアクタンスと位相差Φ 電気回路第1スライド8-5-6 φ＞０（電圧が進む） X＞０なら Lに近い（誘導性） X＜０なら Cに近い（容量性） ωL ー 1 ωC X ＝ ＝０ なら、位相差φは、 電流の流れにくさを表しています。 　＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、　　 1 　　 容量リアクタンス XC＝　　　 [Ω] ωC 　 　 が コンデンサの応答 V ＋Q ーQ i 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 時間 電圧 ０ 電流 電圧は電流より90゜位相が遅れている。 ＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 φ＝ tan ＝ ０ X R 電圧と電流は同相 φ＜０（電圧が遅れる） ①リアクタンス、ωL と 1/ωC の差を考えよう。 ②ωL は、インダクタンス（電圧進む。電力ゼロ）の性質。 ③－1/ωC はキャパシタンス（電圧遅れる）の性質。 ④X＝0 で同相。 ⑤X>０ のL に近く、位相が進む。 ⑥X＜０ なら C に近く、位相が遅れる。 tan-1(X/R)の振る舞いに ついて、一応グラフも示 しておきましょう。 ？ ！ LやCの入った回路の考 え方を少しまとめておき ます。

21 ？ ？ 位相差と瞬時電力 今度は、（瞬時）電力を計算しよう。 として、 図では、 でした。 I E i ＝Im sin(ωt +θ) t
＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 　＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、　　 容量リアクタンス XC＝　　　 [Ω] 1 　　 ωC 　 　 が V ＋Q ーQ i 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 電圧は電流より90゜位相が遅れている。 リアクタンスと位相差Φ X＜０なら Cに近い（容量性） φ＜０（電圧が遅れる） φ＞０（電圧が進む） X＞０なら Lに近い（誘導性） ωL ー X ＝ ＝０ なら、位相差φは、 φ＝ tan ＝ ０ X R 電圧と電流は同相 1 ωC 　0 P I E t 力率 Pa まず、先ほどのグラフで、 白く書いた電力の平均は Pa ＝ E 　I　 cosφ ││ 力率 cosφ は、抵抗と比べて、 どれだけの電力を使えているか を表す。 位相差と瞬時電力 電気回路第1スライド8-6-1 t 今度は、（瞬時）電力を計算しよう。 I E i ＝Im sin(ωt +θ) として、 図では、 e ＝Em sin(ωt +θ+φ) でした。 ①電力の計算。 ②e×i はこの白いカーブ。 ③計算は電圧を黄色sinと赤cosの和。 ④R、Xを│Z│の式に変更。 ⑤実効値の式に直します。 ⑥│E││I│cos（位相差）と、│E││I│sin（位相差）。 電力の計算について ？ RとXの導出について ？

22 ？ ？ 位相差と瞬時電力 今度は、（瞬時）電力を計算しよう。 として、 でした。 このとき、瞬時電力は e×i です。 電力のグラフは P
＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 　＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、　　 容量リアクタンス XC＝　　　 [Ω] 1 　　 ωC 　 　 が V ＋Q ーQ i 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 電圧は電流より90゜位相が遅れている。 リアクタンスと位相差Φ X＜０なら Cに近い（容量性） φ＜０（電圧が遅れる） φ＞０（電圧が進む） X＞０なら Lに近い（誘導性） ωL ー X ＝ ＝０ なら、位相差φは、 φ＝ tan ＝ ０ X R 電圧と電流は同相 1 ωC 　0 P I E t 力率 Pa まず、先ほどのグラフで、 白く書いた電力の平均は Pa ＝ E 　I　 cosφ ││ 力率 cosφ は、抵抗と比べて、 どれだけの電力を使えているか を表す。 位相差と瞬時電力 電気回路第1スライド8-6-2 t P 今度は、（瞬時）電力を計算しよう。 I E i ＝Im sin(ωt +θ) として、 e ＝Em sin(ωt +θ+φ) でした。 このとき、瞬時電力は e×i です。 電力のグラフは ①電力の計算。 ②e×i はこの白いカーブ。 ③計算は電圧を黄色sinと赤cosの和。 ④R、Xを│Z│の式に変更。 ⑤実効値の式に直します。 ⑥│E││I│cos（位相差）と、│E││I│sin（位相差）。 ？ 電力の計算について RとXの導出について ？

23 ？ ？ 位相差と瞬時電力 今度は、（瞬時）電力を計算しよう。 として、 でした。 このとき、瞬時電力は e×i です。 が、
＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 　＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、　　 容量リアクタンス XC＝　　　 [Ω] 1 　　 ωC 　 　 が V ＋Q ーQ i 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 電圧は電流より90゜位相が遅れている。 リアクタンスと位相差Φ X＜０なら Cに近い（容量性） φ＜０（電圧が遅れる） φ＞０（電圧が進む） X＞０なら Lに近い（誘導性） ωL ー X ＝ ＝０ なら、位相差φは、 φ＝ tan ＝ ０ X R 電圧と電流は同相 1 ωC 　0 P I E t 力率 Pa まず、先ほどのグラフで、 白く書いた電力の平均は Pa ＝ E 　I　 cosφ ││ 力率 cosφ は、抵抗と比べて、 どれだけの電力を使えているか を表す。 位相差と瞬時電力 電気回路第1スライド8-6-3 t P 今度は、（瞬時）電力を計算しよう。 I E i ＝Im sin(ωt +θ) として、 e ＝Em sin(ωt +θ+φ) でした。 このとき、瞬時電力は e×i です。 が、 少し逆戻りして、e を元の式に戻すと 電力のグラフ e ＝ RImsin(ωt +θ)＋ XImcos(ωt +θ) となります。 ①電力の計算。 ②e×i はこの白いカーブ。 ③計算は電圧を黄色sinと赤cosの和。 ④R、Xを│Z│の式に変更。 ⑤実効値の式に直します。 ⑥│E││I│cos（位相差）と、│E││I│sin（位相差）。 ？ 電力の計算について RとXの導出について ？

24 ？ ？ 位相差と瞬時電力 ここで、 │Z│cosφ＝R │Z│sinφ＝X 電力のグラフ なので、 t P
＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 　＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、　　 容量リアクタンス XC＝　　　 [Ω] 1 　　 ωC 　 　 が V ＋Q ーQ i 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 電圧は電流より90゜位相が遅れている。 リアクタンスと位相差Φ X＜０なら Cに近い（容量性） φ＜０（電圧が遅れる） φ＞０（電圧が進む） X＞０なら Lに近い（誘導性） ωL ー X ＝ ＝０ なら、位相差φは、 φ＝ tan ＝ ０ X R 電圧と電流は同相 1 ωC 　0 P I E t 力率 Pa まず、先ほどのグラフで、 白く書いた電力の平均は Pa ＝ E 　I　 cosφ ││ 力率 cosφ は、抵抗と比べて、 どれだけの電力を使えているか を表す。 位相差と瞬時電力 電気回路第1スライド8-6-4 t P e ＝ RImsin(ωt +θ)＋ XImcos(ωt +θ) I E i ＝Im sin(ωt +θ) p ＝ei ＝RIm2 sin2(ωt +θ) 　　　　+ XIm2sin(ωt +θ)cos(ωt +θ) Z Im2cosφ sin2(ωt +θ) ││ + Z Im2sinφsin(ωt +θ)cos(ωt +θ) ││ ここで、 │Z│cosφ＝R │Z│sinφ＝X 電力のグラフ なので、 ①電力の計算。 ②e×i はこの白いカーブ。 ③計算は電圧を黄色sinと赤cosの和。 ④R、Xを│Z│の式に変更。 ⑤実効値の式に直します。 ⑥│E││I│cos（位相差）と、│E││I│sin（位相差）。 電力の計算について ？ RとXの導出について ？

25 ？ ？ 位相差と瞬時電力 ＝ E I cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] 電力のグラフ t P
＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 　＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、　　 容量リアクタンス XC＝　　　 [Ω] 1 　　 ωC 　 　 が V ＋Q ーQ i 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 電圧は電流より90゜位相が遅れている。 リアクタンスと位相差Φ X＜０なら Cに近い（容量性） φ＜０（電圧が遅れる） φ＞０（電圧が進む） X＞０なら Lに近い（誘導性） ωL ー X ＝ ＝０ なら、位相差φは、 φ＝ tan ＝ ０ X R 電圧と電流は同相 1 ωC 　0 P I E t 力率 Pa まず、先ほどのグラフで、 白く書いた電力の平均は Pa ＝ E 　I　 cosφ ││ 力率 cosφ は、抵抗と比べて、 どれだけの電力を使えているか を表す。 位相差と瞬時電力 電気回路第1スライド8-6-5 t P e ＝ RImsin(ωt +θ)＋ XImcos(ωt +θ) I E i ＝Im sin(ωt +θ) p ＝ei ＝RIm2 sin2(ωt +θ) 　　　　+ XIm2sin(ωt +θ)cos(ωt +θ) + Z Im2sinφsin(ωt +θ)cos(ωt +θ) ││ Z Im2cosφ sin2(ωt +θ) ＝ E 　I　 cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] + E 　I　 sinφsin 2(ωt +θ) ││ ここで実効値に直して、 　E　＝　Z　I　であるから ││ 電力のグラフ となる。 ①電力の計算。 ②e×i はこの白いカーブ。 ③計算は電圧を黄色sinと赤cosの和。 ④R、Xを│Z│の式に変更。 ⑤実効値の式に直します。 ⑥│E││I│cos（位相差）と、│E││I│sin（位相差）。 電力の計算について ？ RとXの導出について ？

26 ？ ？ 位相差と瞬時電力 ＝ E I cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] 電力のグラフ t P
＝ ωLIm cos(ωt+θ) 電流の流れにくさを表しています。 誘導リアクタンス XL＝ωL [Ω] は、 正弦波電流と電圧 正弦波の電流の場合 時間を追って考えると、 時間 電流 ０ 電圧 この時間に このように 正の電圧が出ていて さらに時間とともに… I＝Im sin(ωt+θ) のとき E＝Em cos(ωt+θ) 　　　　（前述のLを用いて） ＝ωLIm cos(ωt+θ) Em cos(ωt+θ) cos(ωt+θ)=sin (ωt+θ+90゜)より 電圧は電流より90゜位相が進んでいる。 　＝Im cos(ωt+θ) Im＝ωCEmより、　　 容量リアクタンス XC＝　　　 [Ω] 1 　　 ωC 　 　 が V ＋Q ーQ i 電圧が、E＝Em sin(ωt+θ)ならば、微分して、 i＝ωCEm cos(ωt+θ)＝Im cos(ωt+θ)です。 電圧は電流より90゜位相が遅れている。 リアクタンスと位相差Φ X＜０なら Cに近い（容量性） φ＜０（電圧が遅れる） φ＞０（電圧が進む） X＞０なら Lに近い（誘導性） ωL ー X ＝ ＝０ なら、位相差φは、 φ＝ tan ＝ ０ X R 電圧と電流は同相 1 ωC 　0 P I E t 力率 Pa まず、先ほどのグラフで、 白く書いた電力の平均は Pa ＝ E 　I　 cosφ ││ 力率 cosφ は、抵抗と比べて、 どれだけの電力を使えているか を表す。 位相差と瞬時電力 電気回路第1スライド8-6-6 t P e ＝ RImsin(ωt +θ)＋ XImcos(ωt +θ) I E i ＝Im sin(ωt +θ) p ＝ei ＝RIm2 sin2(ωt +θ) 　　　　+ XIm2sin(ωt +θ)cos(ωt +θ) + Z Im2sinφsin(ωt +θ)cos(ωt +θ) ││ Z Im2cosφ sin2(ωt +θ) ＝ E 　I　 cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] + E 　I　 sinφsin 2(ωt +θ) 電力は、 黄色い電力と赤い電力の和 電力のグラフ となって、位相差φの関数である。 ①電力の計算。 ②e×i はこの白いカーブ。 ③計算は電圧を黄色sinと赤cosの和。 ④R、Xを│Z│の式に変更。 ⑤実効値の式に直します。 ⑥│E││I│cos（位相差）と、│E││I│sin（位相差）。 電力の計算について ？ RとXの導出について ？

27 ？ 力率 まず、先ほどのグラフで、 白く描いた電力 p ＝ E I cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] P I E ││ t
Z Im2cosφ sin2(ωt +θ) ││ 位相差と瞬時電力 t P I E e ＝ RImsin(ωt +θ)＋ XImcos(ωt +θ) i ＝Im sin(ωt +θ) p ＝ei ＝ + Z Im2sinφsin(ωt +θ)cos(ωt +θ) ＝ E 　I　 cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] + E 　I　 sinφsin 2(ωt +θ) 黄色い電力と赤い電力の和 電力は、 となって、位相差φの関数である。 有効電力と無効電力 たとえば、送電する時 電圧の振幅√2│E│ 電流の振幅√2│I│ で電力供給の負担は それだけかかる。 回路が実際に消費する電力 力率 cosφは１に近いほど有利 │E││I│sinφ：無効電力 │E││I│ 皮相電力　[VA] │E││I│cosφ：有効電力 [W] 力率 電気回路第1スライド8-7-1 　0 P I E t まず、先ほどのグラフで、 白く描いた電力 p ＝ E 　I　 cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] + E 　I　 sinφsin 2(ωt +θ) ││ ①前のグラフで黄色は白よりだいぶ小さい。 ②cosφとsinφで、平均すると、│E││I│cosφのみ。 ③抵抗の何割の電力が使えているか。 ④これを力率と呼ぶ。 なんで抵抗と比べて cosなの？ ？

28 ？ 力率 まず、先ほどのグラフで、 白く描いた電力 の平均は p ＝ E I cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] Pa となります。
Z Im2cosφ sin2(ωt +θ) ││ 位相差と瞬時電力 t P I E e ＝ RImsin(ωt +θ)＋ XImcos(ωt +θ) i ＝Im sin(ωt +θ) p ＝ei ＝ + Z Im2sinφsin(ωt +θ)cos(ωt +θ) ＝ E 　I　 cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] + E 　I　 sinφsin 2(ωt +θ) 黄色い電力と赤い電力の和 電力は、 となって、位相差φの関数である。 有効電力と無効電力 たとえば、送電する時 電圧の振幅√2│E│ 電流の振幅√2│I│ で電力供給の負担は それだけかかる。 回路が実際に消費する電力 力率 cosφは１に近いほど有利 │E││I│sinφ：無効電力 │E││I│ 皮相電力　[VA] │E││I│cosφ：有効電力 [W] 力率 電気回路第1スライド8-7-2 　0 P I E t まず、先ほどのグラフで、 白く描いた電力 の平均は Pa p ＝ E 　I　 cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] + E 　I　 sinφsin 2(ωt +θ) ││ となります。 振動部分が消えて、 ①前のグラフで黄色は白よりだいぶ小さい。 ②cosφとsinφで、平均すると、│E││I│cosφのみ。 ③抵抗の何割の電力が使えているか。 ④これを力率と呼ぶ。 なんで抵抗と比べて cosなの？ ？

29 ？ 力率 まず、先ほどのグラフで、 白く描いた電力 の平均は Pa p ＝ E I cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] となります。
Z Im2cosφ sin2(ωt +θ) ││ 位相差と瞬時電力 t P I E e ＝ RImsin(ωt +θ)＋ XImcos(ωt +θ) i ＝Im sin(ωt +θ) p ＝ei ＝ + Z Im2sinφsin(ωt +θ)cos(ωt +θ) ＝ E 　I　 cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] + E 　I　 sinφsin 2(ωt +θ) 黄色い電力と赤い電力の和 電力は、 となって、位相差φの関数である。 有効電力と無効電力 たとえば、送電する時 電圧の振幅√2│E│ 電流の振幅√2│I│ で電力供給の負担は それだけかかる。 回路が実際に消費する電力 力率 cosφは１に近いほど有利 │E││I│sinφ：無効電力 │E││I│ 皮相電力　[VA] │E││I│cosφ：有効電力 [W] 力率 電気回路第1スライド8-7-3 　0 P I E t まず、先ほどのグラフで、 白く描いた電力 の平均は Pa p ＝ E 　I　 cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] + E 　I　 sinφsin 2(ωt +θ) ││ となります。 この cosφ は、抵抗 と比べて、 振動部分が消えて、 どれだけの電力を使えているか を表す。 E 　I ││ 電力は ①前のグラフで黄色は白よりだいぶ小さい。 ②cosφとsinφで、平均すると、│E││I│cosφのみ。 ③抵抗の何割の電力が使えているか。 ④これを力率と呼ぶ。 なんで抵抗と比べて cosなの？ ？

30 ？ 力率 まず、先ほどのグラフで、 白く描いた電力 の平均は Pa p ＝ E I cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] となります。
Z Im2cosφ sin2(ωt +θ) ││ 位相差と瞬時電力 t P I E e ＝ RImsin(ωt +θ)＋ XImcos(ωt +θ) i ＝Im sin(ωt +θ) p ＝ei ＝ + Z Im2sinφsin(ωt +θ)cos(ωt +θ) ＝ E 　I　 cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] + E 　I　 sinφsin 2(ωt +θ) 黄色い電力と赤い電力の和 電力は、 となって、位相差φの関数である。 有効電力と無効電力 たとえば、送電する時 電圧の振幅√2│E│ 電流の振幅√2│I│ で電力供給の負担は それだけかかる。 回路が実際に消費する電力 力率 cosφは１に近いほど有利 │E││I│sinφ：無効電力 │E││I│ 皮相電力　[VA] │E││I│cosφ：有効電力 [W] 力率 電気回路第1スライド8-7-4 　0 P I E t まず、先ほどのグラフで、 白く描いた電力 の平均は Pa p ＝ E 　I　 cosφ[1-cos 2(ωt +θ)] + E 　I　 sinφsin 2(ωt +θ) ││ となります。 力率 この cosφ は、抵抗 と比べて、 振動部分が消えて、 どれだけの電力を使えているか を表す。 E 　I ││ 電力は これを力率といいます。 ①前のグラフで黄色は白よりだいぶ小さい。 ②cosφとsinφで、平均すると、│E││I│cosφのみ。 ③抵抗の何割の電力が使えているか。 ④これを力率と呼ぶ。 なんで抵抗と比べて cosなの？ ？

31 ？ 有効電力と無効電力 │E││I│の積について考えよう。 負荷が抵抗なら（X＝０ならば） これは回路で消費される電力です。
　0 P I E t 力率 Pa まず、先ほどのグラフで、 白く書いた電力の平均は Pa ＝ E 　I　 cosφ ││ 力率 cosφ は、抵抗と比べて、 どれだけの電力を使えているか を表す。 第3章のまとめ インピーダンス│Z│は、抵抗に相当 し、│E│＝│I││Z│を満たす。 有効電力は Pa =│E││I│cosφ 正弦波交流は、e = Em sin（ωt+θ） なる電圧を加えるものです。 この強さは、電圧、電流を振幅の 1 √ 2 倍の実効値、│E│で表す。 抵抗：電圧と電流の位相が同じ（同相） RL回路：電圧の位相が進む。 RC回路：電圧の位相が遅れる。 RLC回路：位相進んだり遅れたり。 である上LとCが相殺の場合あり。 L：誘導リアクタンスωLや ωC を用いて 　　C：容量リアクタンス 有効電力と無効電力 電気回路第1スライド8-8-1 │E││I│の積について考えよう。 負荷が抵抗なら（X＝０ならば） これは回路で消費される電力です。 X≠０ならば、回路で消費される電 力は│E││I│より小さく、ただの LやCが負荷ならば電力はゼロ。 ①│E││I│は抵抗のでは電力。Xがあると…。 ②電力を送ると│E│や│I│の電圧や電流。 ③│E││I│をうわべの電力。単位は、ボルトアンペア。 ④cosφ（力率）をかけた方が回路で有効電力。 ⑤残りのsinφを無効電力。 どうでもいいですが、 皮相電力で効いてくる 訳について ？

32 ？ 有効電力と無効電力 │E││I│の積について考えよう。 負荷が抵抗なら（X＝０ならば） たとえば、送電する時
　0 P I E t 力率 Pa まず、先ほどのグラフで、 白く書いた電力の平均は Pa ＝ E 　I　 cosφ ││ 力率 cosφ は、抵抗と比べて、 どれだけの電力を使えているか を表す。 第3章のまとめ インピーダンス│Z│は、抵抗に相当 し、│E│＝│I││Z│を満たす。 有効電力は Pa =│E││I│cosφ 正弦波交流は、e = Em sin（ωt+θ） なる電圧を加えるものです。 この強さは、電圧、電流を振幅の 1 √ 2 倍の実効値、│E│で表す。 抵抗：電圧と電流の位相が同じ（同相） RL回路：電圧の位相が進む。 RC回路：電圧の位相が遅れる。 RLC回路：位相進んだり遅れたり。 である上LとCが相殺の場合あり。 L：誘導リアクタンスωLや ωC を用いて 　　C：容量リアクタンス 有効電力と無効電力 電気回路第1スライド8-8-2 │E││I│の積について考えよう。 負荷が抵抗なら（X＝０ならば） これは回路で消費される電力です。 たとえば、送電する時 電圧振幅が√2│E│電流振幅が√2│I│で電力供給の負担は それだけかかる。 X≠０ならば、回路で消費される電 力は│E││I│より小さく、ただの LやCが負荷ならば電力はゼロ。 ①│E││I│は抵抗のでは電力。Xがあると…。 ②電力を送ると│E│や│I│の電圧や電流。 ③│E││I│をうわべの電力。単位は、ボルトアンペア。 ④cosφ（力率）をかけた方が回路で有効電力。 ⑤残りのsinφを無効電力。 どうでもいいですが、 皮相電力で効いてくる 訳について ？

33 ？ 有効電力と無効電力 │E││I│ 皮相 [VA] │E││I│の積について考えよう。 見かけの電力 負荷が抵抗なら（X＝０ならば）
　0 P I E t 力率 Pa まず、先ほどのグラフで、 白く書いた電力の平均は Pa ＝ E 　I　 cosφ ││ 力率 cosφ は、抵抗と比べて、 どれだけの電力を使えているか を表す。 第3章のまとめ インピーダンス│Z│は、抵抗に相当 し、│E│＝│I││Z│を満たす。 有効電力は Pa =│E││I│cosφ 正弦波交流は、e = Em sin（ωt+θ） なる電圧を加えるものです。 この強さは、電圧、電流を振幅の 1 √ 2 倍の実効値、│E│で表す。 抵抗：電圧と電流の位相が同じ（同相） RL回路：電圧の位相が進む。 RC回路：電圧の位相が遅れる。 RLC回路：位相進んだり遅れたり。 である上LとCが相殺の場合あり。 L：誘導リアクタンスωLや ωC を用いて 　　C：容量リアクタンス 有効電力と無効電力 電気回路第1スライド8-8-3 │E││I│ 皮相 [VA] │E││I│の積について考えよう。 見かけの電力 負荷が抵抗なら（X＝０ならば） これは回路で消費される電力です。 たとえば、送電する時 電圧振幅が√2│E│電流振幅が√2│I│で電力供給の負担は それだけかかる。 X≠０ならば、回路で消費される電 力は│E││I│より小さく、ただの LやCが負荷ならば電力はゼロ。 ①│E││I│は抵抗のでは電力。Xがあると…。 ②電力を送ると│E│や│I│の電圧や電流。 ③│E││I│をうわべの電力。単位は、ボルトアンペア。 ④cosφ（力率）をかけた方が回路で有効電力。 ⑤残りのsinφを無効電力。 どうでもいいですが、 皮相電力で効いてくる 訳について ？

34 ？ 有効電力と無効電力 │E││I│ 皮相電力[VA] │E││I│の積について考えよう。 │E││I│cosφ：有効電力 [W]
　0 P I E t 力率 Pa まず、先ほどのグラフで、 白く書いた電力の平均は Pa ＝ E 　I　 cosφ ││ 力率 cosφ は、抵抗と比べて、 どれだけの電力を使えているか を表す。 第3章のまとめ インピーダンス│Z│は、抵抗に相当 し、│E│＝│I││Z│を満たす。 有効電力は Pa =│E││I│cosφ 正弦波交流は、e = Em sin（ωt+θ） なる電圧を加えるものです。 この強さは、電圧、電流を振幅の 1 √ 2 倍の実効値、│E│で表す。 抵抗：電圧と電流の位相が同じ（同相） RL回路：電圧の位相が進む。 RC回路：電圧の位相が遅れる。 RLC回路：位相進んだり遅れたり。 である上LとCが相殺の場合あり。 L：誘導リアクタンスωLや ωC を用いて 　　C：容量リアクタンス 有効電力と無効電力 電気回路第1スライド8-8-4 │E││I│ 皮相電力[VA] │E││I│の積について考えよう。 │E││I│cosφ：有効電力 [W] たとえば、送電する時 電圧振幅が√2│E│電流振幅が√2│I│で電力供給の負担は それだけかかる。 回路が実際に消費する電力 力率 cosφは１に近いほど有利 ①│E││I│は抵抗のでは電力。Xがあると…。 ②電力を送ると│E│や│I│の電圧や電流。 ③│E││I│をうわべの電力。単位は、ボルトアンペア。 ④cosφ（力率）をかけた方が回路で有効電力。 ⑤残りのsinφを無効電力。 どうでもいいですが、 皮相電力で効いてくる 訳について ？

35 ？ 有効電力と無効電力 │E││I│ 皮相電力[VA] │E││I│の積について考えよう。 回路が実際に消費する電力
　0 P I E t 力率 Pa まず、先ほどのグラフで、 白く書いた電力の平均は Pa ＝ E 　I　 cosφ ││ 力率 cosφ は、抵抗と比べて、 どれだけの電力を使えているか を表す。 第3章のまとめ インピーダンス│Z│は、抵抗に相当 し、│E│＝│I││Z│を満たす。 有効電力は Pa =│E││I│cosφ 正弦波交流は、e = Em sin（ωt+θ） なる電圧を加えるものです。 この強さは、電圧、電流を振幅の 1 √ 2 倍の実効値、│E│で表す。 抵抗：電圧と電流の位相が同じ（同相） RL回路：電圧の位相が進む。 RC回路：電圧の位相が遅れる。 RLC回路：位相進んだり遅れたり。 である上LとCが相殺の場合あり。 L：誘導リアクタンスωLや ωC を用いて 　　C：容量リアクタンス 有効電力と無効電力 電気回路第1スライド8-8-5 │E││I│ 皮相電力[VA] │E││I│の積について考えよう。 回路が実際に消費する電力 力率 cosφは１に近いほど有利 │E││I│cosφ：有効電力 [W] たとえば、送電する時 電圧振幅が√2│E│電流振幅が√2│I│で電力供給の負担は それだけかかる。 │E││I│sinφ：無効電力 ①│E││I│は抵抗のでは電力。Xがあると…。 ②電力を送ると│E│や│I│の電圧や電流。 ③│E││I│をうわべの電力。単位は、ボルトアンペア。 ④cosφ（力率）をかけた方が回路で有効電力。 ⑤残りのsinφを無効電力。 どうでもいいですが、 皮相電力で効いてくる 訳について ？

36 ？ ！ 第3章のまとめ √ e = Em sin（ωt+θ） 正弦波交流は、 抵抗：電圧と電流の位相が同じ（同相）
有効電力と無効電力 たとえば、送電する時 電圧の振幅√2│E│ 電流の振幅√2│I│ で電力供給の負担は それだけかかる。 回路が実際に消費する電力 力率 cosφは１に近いほど有利 │E││I│sinφ：無効電力 │E││I│ 皮相電力　[VA] │E││I│cosφ：有効電力 [W] ここをクリックすると終了します。 第3章のまとめ 電気回路第1スライド8-9-1 正弦波交流は、 e = Em sin（ωt+θ） 抵抗：電圧と電流の位相が同じ（同相） なる電圧を加えるものです。 この強さは、電圧、電流を振幅の 1 √ 2 倍の実効値、│E│等で表す。 ①第3章は正弦波交流。まず、実効値で扱う。 ②インダクタンスで電圧が進み、キャパシタンスで遅れる。 ③インピーダンスは抵抗のように│E│＝│Z││I│。 ④位相差φのコサインが力率。その率で電力消費。 わからなければ最初に 戻りますか？ ？ 次回までの演習課題で すが、今回はプリントの 予定です。ここのリンク はポイントだけです。 ！

37 ？ ！ 第3章のまとめ √ e = Em sin（ωt+θ） 正弦波交流は、 抵抗：電圧と電流の位相が同じ（同相）
有効電力と無効電力 たとえば、送電する時 電圧の振幅√2│E│ 電流の振幅√2│I│ で電力供給の負担は それだけかかる。 回路が実際に消費する電力 力率 cosφは１に近いほど有利 │E││I│sinφ：無効電力 │E││I│ 皮相電力　[VA] │E││I│cosφ：有効電力 [W] ここをクリックすると終了します。 第3章のまとめ 電気回路第1スライド8-9-2 正弦波交流は、 e = Em sin（ωt+θ） 1 √ 2 倍の実効値、│E│で表す。 なる電圧を加えるものです。 この強さは、電圧、電流を振幅の 抵抗：電圧と電流の位相が同じ（同相） RL回路：　　　　　　　　　　が進む。 インダクタンス：電圧の位相　90°進む。 RC回路：　　　　　　　　　　が遅れる。 キャパシタンス：電圧の位相　90°遅れる。 ですが、これらを組み合わせると、 位相の合った sin と±90°ずれた ± cos の合成となって、 ①第3章は正弦波交流。まず、実効値で扱う。 ②インダクタンスで電圧が進み、キャパシタンスで遅れる。 ③インピーダンスは抵抗のように│E│＝│Z││I│。 ④位相差φのコサインが力率。その率で電力消費。 ？ わからなければ最初に 戻りますか？ 次回までの演習課題で すが、今回はプリントの 予定です。ここのリンク はポイントだけです。 ！

38 ？ ！ 第3章のまとめ √ e = Em sin（ωt+θ） 正弦波交流は、 1 2 倍の実効値、│E│等で表す。
有効電力と無効電力 たとえば、送電する時 電圧の振幅√2│E│ 電流の振幅√2│I│ で電力供給の負担は それだけかかる。 回路が実際に消費する電力 力率 cosφは１に近いほど有利 │E││I│sinφ：無効電力 │E││I│ 皮相電力　[VA] │E││I│cosφ：有効電力 [W] ここをクリックすると終了します。 第3章のまとめ 電気回路第1スライド8-9-3 正弦波交流は、 e = Em sin（ωt+θ） 1 √ 2 倍の実効値、│E│等で表す。 なる電圧を加えるものです。 この強さは、電圧、電流を振幅の 抵抗：電圧と電流の位相が同じ（同相） RL回路：　　　　　　　　　　が進む。 インダクタンス：電圧の位相　90°進む。 RC回路：　　　　　　　　　　が遅れる。 キャパシタンス：電圧の位相　90°遅れる。 RLC回路：　位相進んだり遅れたり。 さらに、 インピーダンス│Z│は、抵抗に相当 し、│E│＝│I││Z│を満たす。 である上 LとCが相殺の場合あり。 また、 誘導リアクタンスωL や 容量リアクタンス 1 ωC を用いて ①第3章は正弦波交流。まず、実効値で扱う。 ②インダクタンスで電圧が進み、キャパシタンスで遅れる。 ③インピーダンスは抵抗のように│E│＝│Z││I│。 ④位相差φのコサインが力率。その率で電力消費。 わからなければ最初に 戻りますか？ ？ ！ 次回までの演習課題で すが、今回はプリントの 予定です。ここのリンク はポイントだけです。

39 ？ ！ 第3章のまとめ √ e = Em sin（ωt+θ） 正弦波交流は、 1 2 倍の実効値、│E│等で表す。
有効電力と無効電力 たとえば、送電する時 電圧の振幅√2│E│ 電流の振幅√2│I│ で電力供給の負担は それだけかかる。 回路が実際に消費する電力 力率 cosφは１に近いほど有利 │E││I│sinφ：無効電力 │E││I│ 皮相電力　[VA] │E││I│cosφ：有効電力 [W] スライドを終了します。 第3章のまとめ 電気回路第1スライド8-9-4 正弦波交流は、 e = Em sin（ωt+θ） 1 √ 2 倍の実効値、│E│等で表す。 なる電圧を加えるものです。 この強さは、電圧、電流を振幅の 抵抗：電圧と電流の位相が同じ（同相） RL回路：　　　　　　　　　　が進む。 インダクタンス：電圧の位相　90°進む。 RC回路：　　　　　　　　　　が遅れる。 キャパシタンス：電圧の位相　90°遅れる。 RLC回路：　位相進んだり遅れたり。 インピーダンス│Z│は、抵抗に相当 し、│E│＝│I││Z│を満たす。 LとCが相殺の場合あり。 　L： 　C： 誘導リアクタンスωL や さらに、 有効電力は Pa =│E││I│cosφ 容量リアクタンス 1 ωC を用いて ①第3章は正弦波交流。まず、実効値で扱う。 ②インダクタンスで電圧が進み、キャパシタンスで遅れる。 ③インピーダンスは抵抗のように│E│＝│Z││I│。 ④位相差φのコサインが力率。その率で電力消費。 わからなければ最初に 戻りますか？ ？ ！ 次回までの演習課題で すが、今回はプリントの 予定です。ここのリンク はポイントだけです。

40 !! 補足1：計算のしかたのまとめ 電気回路第1スライド付録 一応まとめておくと、 直列回路：電圧を足す。
→電流を i = Im sin (ωt +θ) とする。 →電圧は、 抵抗なら、 RImsin(ωt +θ)、 インダクタンスなら、 ωLImcos(ωt +θ)、 キャパシタンスなら、 －（1/ωC）Imcos(ωt +θ) とする。 →電圧を合成すると黄色のsin＋赤のcosになる。 並列回路：電流を足す。 →電圧を e = Em sin (ωt +θ) とする。 →電流は、 抵抗なら、 （Em/R）sin(ωt +θ)、 インダクタンスなら、 －（Em/ωL）cos(ωt +θ)、 キャパシタンスなら、 ωCEmcos(ωt +θ) とする。 →電流を合成すると黄色のsin＋赤のcosになる。 合成した方は、√黄色の係数2＋赤の係数2　sin(ωt +θ+φ) また位相差　φ＝tan-1 (赤の係数/黄色の係数) と求められφが正なら合成された方の位相が、負なら 基準のsinにした方の位相が進むことになります。 わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

41 補足2：sin＋cosの計算(RLC回路）
電気回路第1スライド付録 補足2：sin＋cosの計算(RLC回路）　 ３角関数の加法定理から 　　　 sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β ① はご存知とします。これを変形して sin+cos を1つの sin にまとめましょう。 ①でα＝ωt +θ、 β＝－φとおいて、 　　　 sin (ωt +θ－φ) = sin (ωt +θ) cos φ － cos (ωt +θ) sin φ ② これを k 倍して少し整理すると、 　　 k sin (ωt +θ－φ) = k cos φ sin (ωt +θ) －k sin φ cos (ωt +θ) ③ ここで、右辺のk cos φやk sin φ は定数（ t と共に変化しない量）なので、これが元の式を満たすように、すなわち、 　　　 k cos φ＝ ImR ④ 　　　 k sin φ ＝ Im (ωL－1/ωC ） ⑤ となるように、kとφを調整してあげると良いですね。もちろん、④、⑤は、二乗の和で、 　　　k2 cos2 φ＋k2 sin 2 φ＝k2 ＝（ImR）2＋[Im (ωL－1/ωC ）] 2 ⑥ ですから、 　　　 k ＝ Im [R2 ＋ (ωL－1/ωC ）2]1/2 ⑦ ですし、⑤÷④から 　　　tanφ＝ (ωL－1/ωC ）/R ⑧ となります。本編上の式が導出されました。本編記載の とおり、この場合はφは正になる場合（誘導的：電圧が進む）も負に なる場合（容量的：電圧が遅れる）も、たまたまωL＝1/ωC となって、 φがゼロ（ただの抵抗）となる場合もあります。 わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

42 補足3：抵抗、リアクタンス、インピーダンス
電気回路第1スライド付録 補足3：抵抗、リアクタンス、インピーダンス 　　抵抗は直流のとき、あるいは瞬時電圧、電流に対しても、 E=IR となりましたが、実効値を用いた交流でも │E│＝│I│R と表せます。（Rは絶対値でも実効値でもありません。）ところが、リアクタンスになるとだんだん怪しくなってきます。ωLも1/ωCもどの一瞬の電圧や電流にはぜんぜん関係ありません。前のスライドにあったように、実効値│E│と│I│の間の関係だけです。 　　インピーダンスは、通常Lのみ、Cのみという負荷ではないので、交流を印加した場合の回路の応答を記述するのにつかいます。もちろん、実効値か振幅の間の関係でしかありませんが、位相の情報を無視して、実効値で効くと考えてよいケースでは大変便利です。たとえば、音声信号の場合（交流と同様にたくさんの正弦波が集っているものとして解析します。）には、位相差はあまり認識されませんから、インピーダンスがいくらかで議論するとよいですね。 !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。

43 !! 補足4 tan-1（X/R) と位相差 tan のグラフ
電気回路第1スライド付録 補足4　tan-1（X/R) と位相差　 tan　のグラフ tan-1 なんて知らないと言う人でも、tanθのグラフぐらいは覚えているでしょう。右の上のグラフですね。単調に増加しますが、－90゜から＋90゜を定義域として、－∞から＋∞まで全部の値を取りますね。奇関数でもありましたね。 tan-1 さて、逆関数のグラフは単にｘ軸とy軸を取り替えて、右中央のグラフになります。tan-1(X/R)はX/Rにしたがって増加する関数関数ですが、これも原点を通る奇関数ですね。値域は－90゜から＋90゜までの値しか取りません。 φの値 φはXが正なら正（位相が進む）となり、Xが負のとき負の値（位相が遅れる）となります。 Xが0の時φ＝0は当たり前として、R＝Xのときはtanが1ですから、45゜の位相の進みとなります。 位相が進む 位相が遅れる わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

44 !! 補足5 電力の計算 √ √ 電気回路第1スライド付録 簡単のためRとXの式から出発しましょう。一応本編に有るところから書きます。
補足5　電力の計算　 簡単のためRとXの式から出発しましょう。一応本編に有るところから書きます。 　　　i = Im sin(ωt+θ) ① 　　　e =（R2+X2）1/2 Im sin(ωt+θ+φ) = R Im sin(ωt+θ) + X Im cos(ωt+θ) ② をかけて、瞬時電力 p は、 　　　p = ei = R Im2 sin2(ωt+θ) + X Im2 sin(ωt+θ)cos(ωt+θ) ③ ここで、倍角の公式を作って、 cos 2ωt や sin 2ωt の式にします。まず加法定理から、 　　　cos(α+β) = cosαcosβ－sinαsinβ ④ 　　　sin (α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ ⑤ にて、α＝β＝ωt +θ として 　　　cos 2(ωt+θ) = cos2(ωt+θ)－sin2(ωt+θ) =[cos2(ωt+θ) ＋sin2(ωt+θ)]－2sin2(ωt+θ)= 1－ 2sin2(ωt+θ) 　 ⑥ 　　　sin 2(ωt+θ) = 2 sin(ωt+θ) cos(ωt+θ) ⑦ ⑥、⑦を③に代入して、 　　　p = ei = R Im2 [1－ cos 2(ωt+θ)] / 2 + X Im2 [sin 2(ωt+θ)] / 2 ⑧ ここで、RとかXを省きましょう。 　　　tanφ＝X/R ⑨ 　　　R2＋X2＝│Z│ ⑩ ですが、 　　　R ＝│Z│cosφ ⑪ 　　　X＝│Z│sinφ ⑫ のようにRとXを決めると⑨、⑩式を満たします。2乗して足すと⑩式になるし、 sinφを cosφで割るともちろん tanφになると理解いただければ結構です。 　　　p = Z Im2cosφ[1－ cos 2(ωt+θ)]/2+ Z Im2sinφ[sin 2(ωt+θ)]/ ⑬ │E│＝│I││Z│ 　 　⑭ │I│＝　　2　Im 　　 　⑮ │E│＝　　2　Em 　　 　⑯ などから、 　　　p = E I cosφ [1－ cos 2(ωt+θ)] + E I sinφ [sin 2(ωt+θ)] ⑰ !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 ││ ││ √ √ ││││ ││││

45 !! 補足6 RとXの導出について 電気回路第1スライド付録 前の補足説明にあったように、RとXが、 tanφ＝X/R ①
　　　R2＋X2＝│Z│ ② である場合に、 　　　R ＝│Z│cosφ ③ 　　　X＝│Z│sinφ ④ となることを示します。①にRを掛けて 　　　R tanφ＝X ⑤ これを②に代入すると、 　　　R2＋(R tanφ)2＝│Z│ ⑥ となります。もちろん、左辺は式変形できて、 　　　R2＋(R tanφ)2 ＝ R2( 1 + tan2φ) R2( cos2φ + sin2φ) ⑦ cos2φ R2 とできる。さらに、cos2φをかけて、⑥は、 　　　R 2＝│Z│2 cos2φ ⑧ となる。ここで、 　　　R ＞0 ⑨ であるから、 　　　R ＝│Z│cosφ ⑩ が得られる。さらに、これを⑤に代入すると、 　　　X＝│Z│sinφ ⑪ となる。 ＝ わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

46 !! 補足7 なんで抵抗と比べてcosなの √││ √││ √ ││ √││││ √ ││ √││││ √││ √││
電気回路第1スライド付録 補足7　なんで抵抗と比べてcosなの 抵抗にかかる電力が有効電力です。 これは、電流 i =　 2　 I　 sin(ωt+θ) に対して、電圧は、 eR = 2 R I sin(ωt+θ) = Z I cosφsin(ωt+θ) もちろん、電圧はEの実効値になおして、 eR = 2　E cosφsin(ωt+θ) これらをかけて、有効電力は、 eRi = 2 E I cosφsin2(ωt+θ) となりますが、サインの2乗を積分して1/2なので、 Pa = E I cosφ となります。一方、無効電力は、 Pr ≠ E I － E I cosφ なのはなぜかわかりますか、これは、この場合電流の位相はRもXも同じなのに、電圧だけ位相が90°ずれています。90°ずれたものを足すと電圧の振幅は、 e2 = eR2 + eX2 のように2乗を足すと全体の2乗みたいな関係です。電力もそのままで、 E 2 I 2 = Pa2 + Pr2 です。つぎにリアクタンスの電圧から計算します。 リアクタンスには、電流 i =　 2　 I　 sin(ωt+θ) に対して、電圧は、 eX = 2 X I cos(ωt+θ) = Z I sinφsin(ωt+θ) 本文中にもありますが、ここのところがわかっていただければ、大体OKでしょう。もちろん、電圧はEの実効値になおして、 eX = 2　E sinφsin(ωt+θ) これらをかけて、無効電力は、 eXi = 2 E I sinφsin2(ωt+θ) Pr = E I sinφ となります。 √││ √││ √　││ √││││ √　││ √││││ √││ ││││ √││ ││││ ││││ ││││ ││││ !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 ││││

47 !! 補足8 皮相電力が効く場合について 電気回路第1スライド付録
補足8　皮相電力が効く場合について 本文中で述べましたが、皮相電力は電力を供給する、あるいは送電する系にとって重要です。一般に電力は何十万ボルトの高圧で送電します。これはなぜだかわかりますか？安直には送電する電線の抵抗で熱になって捨てられる電力を抑えたいということのようです。交流を使うのは高電圧で送電して、需要家（お家とか事業所とか）の前でトランスを使って電圧を下げてやるのが便利ということのようです。（もちろん、そこから先のたとえば、このパソコンの電源の黒い箱みたいなやつで簡単に所望の電圧にできるということもありますが。）このとき、高電圧を使うのは、電流を抑えれば、I2Rで効くロスが画期的に下げられるためで、うんと高圧にしたいというわけです。でも各家庭に何万ボルトというのはすごく危険なので、体が乾いていれば普通は死なない100Vに下げています。実は送電系でも、たまに鳥さんがウェルダンの焼き鳥になるくらいならいいんですが、ちょっと状態が悪いと漏れて放電しますので、限度があるようです。そのようなわけで、電圧（実効値でも振幅でもOK、位相は関係ない）に依存するロスと、電流（同左）に依存する抵抗損と両方が問題なのですね。（有効電力には直接関係ないのがおわかりいただけますね。） さらに、負荷の回路がRLCかなにか知りませんが、一般には抵抗部分とリアクタンス部分があります。電気ストーブ（セラミックヒーター、ファンなし）とかであればほとんど抵抗ですが、電動機が入ってきたりすると一気に誘導的になります。力率1はなかなかありません。 あまり見ないかもしれませんが、電力料金の請求書の下のほうに力率がどうの と書かれていることがあります。これは民生用には関係ないのですが、産業用 の場合、リアクタンス分（大抵は誘導性です。電動機などの使用のため）が大き い悪い負荷の場合、電力量に対する課金レートを上げたりするようです。 わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 !!

48 !! 発展１ 前回の演習問題の解答 √ √ √ √ 電気回路第1スライド付録
発展１　前回の演習問題の解答　 [1] 左のRL並列回路で、電圧の位相が電流の位相よりも60°進むとき、RとLと角周波数ωの関係を求めなさい。 位相差φの式を思い出していただければ簡単ですね。 i = Em (1/R)2+(1/ωL)2 sin(ωt +θ－φ）までは良いのですが、 tanφ = （1/ωL）÷(1/R) ですから、電流の位相よりも60°進む ときφ＝60°を入れて、（電圧が遅れるだったら解なしですよ。） tan 60°= 3 = R/ωL √ [2] 左のRC直列回路で、電圧の位相が電流の位相よりも30°遅れるとき、RとCと角周波数ωの関係を求めなさい。 ほとんど同じように計算できます。RCですから電圧が遅れます。 e = Im R2+(1/ωC)2 sin(ωt +θ－φ）と書きますね。φの方は、 tanφ = （1/ωC）÷R = 1/ωCR ですから、電圧が 30°遅れるとき、 φ＝30°を入れて、 tan 30°=　1/ 3 =1/ωCR より、ωCR =　　3　です。 √ !! 見終わったら、ここを クリックして帰りましょう。 √ √

49 !! 発展2 RLC直列回路の波形の変化（再掲） 45° ０° 45° 電気回路第1スライド付録 ＝－Rのとき 電圧の位相は電流の位相より
45°遅れます。ωCR＝1のRC 直列回路と等価です。 例 ωL =R、　　　 = 2R （左図） 45° 電圧 ０ 1 ωC 時間 ωL － 1 ωC 　　　　　　　　　　＝0 のとき 電圧の位相は電流の位相と同 じです。ただの抵抗Rを接続し たのと等価です。 例 ωL = R、　　　 = R （左図） ０° 電圧 このRC直列回路では、 位相差φが、 ０ 時間 φ ＝ tan-1 ωL － 1 ωC R 1 ωC 45° ωL － 1 ωC と面倒な式で表されま すが、分子は正にも負 にもゼロにもなりますか ら、電圧のグラフは左 にも右にも移動します。 電圧 　　　　　　　　　　＝Rのとき 電圧の位相は電流の位相より 45°進みます。 ０ 時間 !! 見終わったら、ここを クリックして帰りましょう。 電流 こんども直列回路なので電流を基準の波形にしましょう。 ０ 時間

50 電気回路第1スライド付録 発展3　│Z│の使用方法 第10回の授業では複素数のインピーダンスを定義しますが、ここで述べる絶対値（もちろん実数）のインピーダンス│Z│では、それとは大きく異なり、複数の│Z│を合成して利用してはいけません。下の表に例を示します。 回路 1Ωの抵抗 1 [H] のインダクタンスに ω= 1 [rad/s] の正弦波 1Ωの抵抗と1 [H] のインダクタンスを直列に接続し、ω= 1 [rad/s] の正弦波を加える。 インピーダンス│Z│ 1 [Ω] ωL = 1 [Ω] 12+12 = 2 [Ω] √ │Z│= 1 [Ω] を2つ接続しても、│Z│= 2 [Ω]にな るとは限りません。 期末テストでこの間違いが極めて多いので注意されたい。 電流が i = Im sin(t+θ) のとき、 電圧は、 e = RIm sin(t+θ) + ωLIm cos(t+θ) =Im sin(t+θ) + Im cos(t+θ) = 2 Im sin(t+θ+45°) となる。 見終わったら、ここを クリックして帰りましょう。 !! √

51 電気回路第1スライド付録 発展4　LやCが入った回路の考え方（再掲）　 R回路が素直だったのに対して、LやCが入ると位相が90゜ずれました。RとLかCを含む回路だと、（例によって）sinとcosを足す式を扱いました。すこし面倒な計算でとくにtan-1のところで符号を間違うと全然違った結果となります。間違わないために次の原則を覚えてください。右コラムは飛ばしたLC並列回路も含みます。 抵抗にLやCを加える LにCかCにLを 直列 │Z│を増やし電流が減る │Z│が減る 並列 │Z│を減らし電流が増える │Z│が増える 直列、並列に関係なく　 Lが入れば電圧の位相が進む 位相が合う方へ Cが入れば電圧の位相が遅れる !! 見終わったら、ここを クリックして帰りましょう。

52 !! 発展5 次回までの演習課題について 電気回路第1スライド付録
発展5　次回までの演習課題について 今回は第3章の最終ですから、演習課題はプリントを配布の予定です。来週提出ください。（授業中にできた場合はそれでOKです。）ここにはヒントを掲載します。[1] は最後にやったRLC直列回路です。実はこれがわかるとLやCの入った回路が大体わかっているとみなせますので、テストに出すのには便利です。よくよく出題するのが インピーダンスを求める→R2＋[　　　　　 　　　]2 のルートを取ってください。 本当のところ、ωLとか1/ωCとかが頭に入っていると助かります。 最後の電圧を求める（実効値）→電流の実効値にインピーダンスをかける。 位相差をもとめる→少し面倒なアークタンジェントの式 符号と電圧が進むか遅れるかの対応も重要。 電力を求める→（基本は）抵抗や、Rの部分にかかる電圧×電流（ともに実効値） 　　Pa = E I cosφと計算しないといけないケースは少ない。 力率→普通はアークタンジェントを出す必要はありません。抵抗分Rなどをインピーダンスで割って、cosφ＝R/　Z　　としてしまいましょう。すぐにでます。 無効電力→最もどうでもいい量（プラスかマイナスかよくわからん物です。）と りあえず、ωLの方をプラスにリアクタンスにかかる電圧（キャパシタンスなら マイナス）と電流をかけると無効電力になります。 ωL － 1 ωC φ ＝ tan-1 ωL － 1 ωC R ││││ ││ 見終わったら、ここを クリックして帰りましょう。 !!