3. Chiral Perturbation Theory

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1 3. Chiral Perturbation Theory
S.Weinberg, Physica 96A, 327 (1979). J.Gasser and H.Leutwyler, Ann. of Phys. 158, 142 (1984). J.Gasser and H.Leutwyler, Nucl. Phys. B 250, 465, (1985). A.Pich, lecture note for Les Houches Summer School (hep-ph/ ). A.Manohar and H.Georgi, Nucl. Phys. B 234, 189 (1984). “ゲージ場の量子論” 九後汰一郎著 （培風館）. C.Rosenzweig, J.Schechter and C.G.Trahern, Phys. Rev. D 21, (1980). P.Di Vecchia and G.Veneziano, Nucl. Phys. B 171, 253 (1980). E.Witten, Ann. of Phys. 128, 363 (1980).

2 ☆ QCD のパラメータの極限・対称性の情報
(漸近的自由性) （ミクロな領域 ； 高エネルギー領域） ヘビークォーク対称性 カイラル対称性 ハドロンによる量子補正が小さくなる

3 3.1. ＱＣＤにおけるカイラル対称性と その自発的破れ

4 ☆ ＱＣＤラグランジアン カレント・ クォーク質量

5 ☆ カレントと保存電荷 ； ベクトル・カレント ； 軸性ベクトル・カレント (vector charge)
(axial-vector charge)

6 ☆ カイラル対称性の自発的破れ ・オーダー・パラメータ

7 ・カレント・クォーク質量 ； mu, md ・・・ 5 - 10 MeV ⇒ カイラル対称性は explicit に破れている
☆ 現実世界 ・カレント・クォーク質量 ； mu, md ・・・ MeV ⇒ カイラル対称性は explicit に破れている ・構成子(constituent)クォーク質量 陽子(uud), 中性子(udd)の質量 ・・・ 1 GeV → ハドロンの中では、Mu, Md ・・・ 300 MeV Mu, Md ; QCDの強い相互作用により生成された有効質量 ◎ ＱＣＤラグランジアンでの近似的カイラル対称性 ◎ ・π中間子 ・・・ 近似的 南部-ゴールドストーン粒子

8 ◎ 南部-ゴールドストーン定理の低エネルギー定理
NG boson の低エネルギー極限における散乱振幅は 対称性の要求から、力学系の詳細によらずに決定される。 ◎ Chiral Perturbation Theory 低エネルギー定理の系統的記述 高いエネルギー領域への組織的拡張

9 3.2. Basic Concept of the ChPT

10 ☆ Generating Functional of QCD
・current quark masses ・・・ VEV of S

11 ☆ Basic Concept of the ChPT

12 3.3. Derivative Expansion

13 ☆ Derivative expansion

14 3.4. Order Counting

15 ☆ M ・・・ matrix element with Ne external π lines
(Ni internal π lines and NL loops) ・ general form of an interaction ・・・ dimension carried by the coupling constants

16 ☆ General expression of the matrix element
μ : a common renormalization scale E : a common energy scale ☆ Chiral order

17 ☆ Examples of chiral order

18 3.5. Lagrangian (leading order)

19 ☆ Building blocks

20 π kinetic term π mass term π Interaction terms

21 and Masses at Leading Order
3.6. Particle Asignment and Masses at Leading Order

22 ◎ pseudoscalar mesons

23 ☆ masses at leading order (Nf = 3 の場合)

24 3.7. ππ散乱の低エネルギー定理

25 ☆ ラグランジアン ・・・ 低エネルギー極限では D = 2 のみ寄与
◎ ファインマンルール

26 ππ散乱振幅

27 3.8. Lagrangian (next order)

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31 ・ Eq. of motion ・ trivial relation = O(p4) = 0

32 =0

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36 ・ Eq. of motion ・ trivial relation = O(p4) = 0

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38 3.9. Background Field Method in pure Yang-Mills Theory

39 ☆ SU(N)局所対称性に基づくYM Lagrangian
変換性 : ; ◎ background field と quantum field に分離 background field quantum field

40 ・変換性

41 ◎ Gauge fixing term (Feynman gauge)
; ◎ Fadeev-Popov ghost term ; GF + FP terms は SU(N)対称性を keep ⇔ 普通の量子化では、GF + FP がゲージ対称性を破る

42 ◎ Lagrangian tree contribution quantum correction at one loop
equations of motion for background fields

43 ・ 具体的計算 tree contribution equations of motion for background fields
quantum correction at one loop

44 ☆ Feynman rules

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46 ・２次発散はキャンセルし、log 発散のみ存在
◎ くりこみ ◎ くりこみ群方程式 asymptotic free

47 3.10. Background Field Method
ChPT での loop 計算のための準備

48 ☆ Background fields の導入 (1)

49 ☆ Background fields の導入 (2)
quantum field background fields

50 ☆ Background fields including external gauge fields

51 ☆ ラグランジアン 第１項と第２項への２次発散の補正が異なる ⇒ くりこみを行った後、Fχ=Fπとおく ⇒
tree contribution quantum correction at one loop equations of motion for background fields ⇒

52 ・ generator Ta は質量が対角化されるようにとっておく
例 ：

53 ☆ Feynman Rules ・ propagator ・ vertices の例

54 3.11. Pion Decay Constant への補正

55 ◎ tree contribution

56 ・積分の正則化 ・・・ dimensional regularization
◎ 1-loop correction ・積分の正則化 ・・・ dimensional regularization log発散 ２次発散

57 ◎ くりこみ ◎ Pion decay constant chiral 極限(Mπ=0)での decay constant chiral極限からのズレ

58 3.12. Pion Decay Constant への補正

59 (gmn part のみ) ◎ tree contribution

60 ◎ 1-loop correction ◎ くりこみ ◎ Decay constants ・・・

61 注： ＱＣＤのテストというよりは、カイラル対称性のテスト
・ ＱＣＤ（カイラル対称性以外）のテスト ・ もしくは、計算手法のテスト

62 3.13. Renormalizat ion of Low Energy Constants

63 ☆ Renormalization in the dimensional regularization

64 3.14. Vector Form Factors and L9

65 ☆ Vector form factors ◎ Charge radii from ChPT π K
W K e ν ◎ Charge radii from ChPT ・・・ independent of L9

66 ◎ predictions & experiments
PDG (2006) ±0.011 ; 0.314±0.035 ; ±0.010

67 3.15. π→ e νγ and L10

68 ☆ π → e νγ independent of μ γ W π e ν ⇔ ◎ Axial-vector form factor

69 3.16. Values of low energy constants

70 Wess-Zumino-Witten Term
3.17. Chiral Anomaly and Wess-Zumino-Witten Term

71 + ☆ Chiral anomaly Lagrangian is invariant (classical level).
SU(3)L × SU(3)R infinitesimal transformation Lagrangian is invariant (classical level). ◎ Axial part, αR = －αL = β, is broken at quantum level. + change of effective action

72 ☆ Wess-Zumino-Witten Lagrangian
◎ Wess-Zumino anomaly equation for effective Lagrangian of NG bosons

73 ☆ Solution for Wess-Zumino anomaly equation

74 ☆ π0 → γγ photon field charge matrix ；

75 3.18. U(1)A Anomaly and η’

76 ☆ U(1)A Anomaly + change of effective action

77 ☆ Effective Action with η’
・・・ ◎ Anomaly ◎ η’ の質量