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Probabilistic Method 2007/11/02 岩間研究室M1 市場孝之
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「おおよそ独立な」事象の生起回数をXとすると、
8.3 BRUN's SIEVE 本節の内容 Brun’s Sieve の証明 Brun’s Sieve, Janson Inequality両方を用いた証明 ポアソンパラダイムの1つのアプローチ 「おおよそ独立な」事象の生起回数をXとすると、 Xはポアソン分布で近似できる。 μ=E[X]とすれば
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Brun’s SieveとJanson Inequality
「おおよそ独立」の定義が異なる Janson Inequality Δ: 独立でないBi, Bjのペアの内、 同時生起する数の期待値 ε: Biの生起確率の上界 Brun’s Sieve 同時生起するk-tupleの数が,独立な場合の数と近似的に等しい
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Definition B1, …, Bm 事象 X1, …, Xm 指示関数 X=∑Xi Biの生起数 n hidden parameter
m, Xi, Xがnによって定まるとする ( m=m(n), Xi=Xi(n), X=Xi(n) ) 以下で考えるのはmではなくnについての極限
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Theorem (Brun's Sieve)
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Inclusion-Exclusion Principle
とおくと (s : odd) Bonferroni Inequialies (s : even) B A∧B B∧C A∧B∧C A C A∧C
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Simplify the probability
を示す.
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proof of theorem 8.3.1 任意にε>0を決め,次式を満たす s を選ぶ.
また,ε,s,0≦r≦2sに対し次式を満たすn0を選ぶ.
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proof of theorem 8.3.1 したがってn≧n0において、 同様に 2s+1までの和を考えれば、 (証了)
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Application Janson InequalityとBrun’s Sieve両方を使った証明 に対し
であれば, に対し Brun’s Sieve であれば,
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Random graph G~G(n,p) : 頂点数 n 任意の2頂点間に枝がある確率 p であるグラフ
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Theorem 8.3.2 c >0 について p, μを次式を満たすよう定める このとき
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Outline of proof 1-1. を証明. 1-2. を証明. 2. を証明. Bxyz : xyzが三角形であるという事象
Cx : xを含む三角形がないという事象 を証明. を証明. を証明. 1-2, 2よりBrun's Sieveの前提が満たされるので、 Yx : xを含む三角形の個数 X : 三角形に含まれない点の個数 (Janson 不等式より) (Janson 不等式より)
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の証明 x∈V(G)を固定 Janson不等式を利用 Pr[Bxyz]=p3, よってε=o(1) であるとき, に対し より,
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の証明 z=v y Bxyz~Bxuv であれば、x以外の1点でも重複 (Yx : xを含む三角形の個数) したがって u x
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の証明 1-1.より
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2. の証明 r を固定 (2行目の{x1, ..., xr}⊂V(G)は適当な頂点) (右辺は1≦i≦r, ∀y,zについての積)
2. の証明 r を固定 (2行目の{x1, ..., xr}⊂V(G)は適当な頂点) (右辺は1≦i≦r, ∀y,zについての積) ここで についてJanson不等式を利用
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2. の証明 Janson不等式 Y : の生起数(1≦i≦r, ∀y,z) 1-1.と同様に , したがって であるとき, に対し
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2. の証明 Bxiyz~Bxjy’z’ であれば、2つの点が重複 i=jの場合 i≠jの場合 ペアの数を数える(点の取り方×重ね方)
2. の証明 Bxiyz~Bxjy’z’ であれば、2つの点が重複 ペアの数を数える(点の取り方×重ね方) i=jの場合 i≠jの場合 したがって z=v y u xi=xj
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2. の証明 Bxiyzの数は したがって xixjz : 重複して数えている (証了)
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