千葉大学 理学部数学・情報数理学科 松井宏樹

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1 千葉大学 理学部数学・情報数理学科 松井宏樹
非周期的なタイル張りについて 千葉大学 理学部数学・情報数理学科 松井宏樹

2 タイル張り（タイリング　tiling） 多角形などの図形を重ならないよう に配置し、平面を隙間なく敷き詰める こと。

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5 ペンローズタイリング（Penrose tiling）
周期的でないタイル張りの代表例

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7 各辺が色で塗られた正方形を色付き正方形と呼ぼう。

8 色付き正方形を並べて、平面をタイル張りすることを考えよう。 ただし、隣り合う辺は必ず同じ色で塗られていないといけない、としよう。
←こんな並べ方ならOKだが こっちは駄目→ 正方形を、回転させたり、裏返したりするのは禁止！！

9 何種類かの色付き正方形の組み合わせが、ひとつ与えられたとする。
この例だと、 5色を使った４種類の色付き正方形 この４種類の色付き正方形だけを使って、平面全体をタイル張り出来るだろうか。

10 実はこの例だと、どんなに頑張っても平面全体をタイル張りすることは出来ない、という事がわかる。
使えるタイル a b c d d b d a b a b c a b 実はこの例だと、どんなに頑張っても平面全体をタイル張りすることは出来ない、という事がわかる。

11 このパターンを繰り返せば、平面全体を周期的にタイル張りすることが出来る！！
使えるタイル a b c d c a b b c a a b c このパターンを繰り返せば、平面全体を周期的にタイル張りすることが出来る！！

12 ？？？？ 問題 （１９６１年 Hao Wang） 最初の例では、平面全体をタイル張りすることは出来なかった。
2番目の例では、平面全体を周期的にタイル張りすることが出来た。 問題 （１９６１年 Hao Wang） 「平面全体をタイル張りすることは可能だが、周期的にタイル張りすることは不可能である」というような、色付き正方形の組み合わせは存在するだろうか？ ？？？？

13 答えは………？ 存在する！！ すなわち、平面全体をタイル張りすることは可能だが、決して周期的にはタイル張りすることは出来ない、というような色付き正方形の組み合わせが存在する。 １９６６年 Robert Berger 　　　　　　20426種類の色付き正方形 １９９６年 Karel Culik 　　　　　　１３種類の色付き正方形

14 １９９６年にCulikが発見した、13種類からなる色付き正方形の組み合わせ

15 宿題 1次元空間（つまり、ただの直線）の場合に今の問題を考察せよ。 色付き線分による、直線の「タイル張り」

16 おしまい