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Relativistic Simulations and Numerical Cherenkov
M. Hoshino Acknowledgements: T. N. Kato and K. Nagata
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2D Relativistic Shock Simulation
upstream downstream unphysical wave, Numerical Cherenkov X-mode wave (light wave), “precursor wave”
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Simulation Parameters
NX*NY=1024*32 NP(initial)=NX*NY*16 σ=0.1, γ=10, mi=me vth/c = 0.02, Lgyro/Δx = 50 cΔt/Δx = 0.2 time step = 4000 CPU = 5min*4CUP (3.7 Gflops) Memory Size = 1.2 GB,
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数値ノイズ(格子振動)の原因は? ・空間の差分からくるのか? ・フーリエ空間ではどうか?
・1次元コードでは現れないのに、2次元/3次元コードではあらわれるのか? ・相対論的な流れ場があるときだけか? ・プラズマ温度が高い時は現れないのか?
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Simulation Parameters
NX*NY=128*128 NP(initial)=NX*NY*16 γ= , mi=me vth/c = 0.1, Debye/Δx = 1 cΔt/Δx = 0.9 time step = 2000 CPU = 40sec*6core FFT codes/ Finite Difference code 2種類のFFT code (a) Maxwell方程式の厳密解に基づくもの (b) 空間微分だけをフーリエで置き換えたもの
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Numerical Experiment (1)
Thermal Run, Vb=0 実空間 フーリエ空間
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Numerical Experiment (2)
Vb= , Ub=100 grid oscillation 実空間 フーリエ空間 large amplitude!!
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w-k diagram for “light wave”
p/D ky w kx p/D (Nyquist wavenumber)
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w-k diagram for “entropy wave”
p/D X方向にプラズマ全体が 速度vphで流れている場合 ky w kx p/D (Nyquist wavenumber)
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“aliasing” p/Dt “k3” k3 = k1 +k2 w k2 k1 p/D k
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“entropy wave” + “aliasing wave”
p/D X方向にプラズマ全体が 速度vbで流れている場合 ky w “aliasing wave” kx p/D “original entropy wave” (Nyquist wavenumber)
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resonance of “light” and “entropy” waves
ky ky w w kx kx
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Numerical Experiment (3)
Vb=0.5 実空間 フーリエ空間
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Numerical Experiment (4)
Ub=100, Filter (短波長の波動をカット) 実空間 フーリエ空間
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Numerical Experiment (5)
(cf. シミュレーション天文学 p.200) Ub=100, Semi-Implicit-FFT with a=0.6 grid oscillation is suppressed 実空間 フーリエ空間 small amplitude
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Semi-Implicit Scheme a=1/2 時間に対して中央差分、1/2< a <1 後退差分
自由空間波(w=kc)に対して陰的解法、プラズマ効果は陽的解法 a=1/2 時間に対して中央差分、1/2< a <1 後退差分 (note: 通常はa = 0.501~0.505がお勧め) (cf. シミュレーション天文学 p.200)
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Numerical Experiment (6)
Ub=100, Relativistic hot plasma T/mc2=10 grid oscillation is suppressed numerical Cherenkov 実空間 フーリエ空間 small amplitude
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FFT + 短波長フィルター
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finite difference scheme
w=kc w resonance w=kvb (vb=0.9) “numerical dispersion” p/D k
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resonance of “light” and “entropy” waves (finite difference scheme)
ky ky w w kx kx “direct” resonance by numerical dispersion effect
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Numerical Experiment (7)
Ub=100, finite-difference scheme numerical Cherenkov 実空間 フーリエ空間
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Numerical Experiment (8)
Vb=0.5, finite-difference scheme numerical Cherenkov 実空間 フーリエ空間
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Origin of Numerical Cherenkov
resonance between “physical wave (light wave)” and “entropy wave (density fluctuation wave)” with aliasing effect 対策: (1) 短波長の波動をFilter で落とす. (2) FFT code を使う.
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FFT scheme (cf. Birdsall & Langdon, p.365)
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