化学工学基礎 −後半の後半− 第１回目講義 （2009年7月10日） 1 担当 二又裕之 物質工学１号館別館２５３ー３号室

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1 化学工学基礎 −後半の後半− 第１回目講義 （2009年7月10日） 1 担当 二又裕之 物質工学１号館別館２５３ー３号室
第１回目講義　（2009年7月10日） 化学工学基礎 −後半の後半− 担当　二又裕之 物質工学１号館別館２５３ー３号室

2 第２章 流 動 − 層流と乱流 − ・Reynolds（レイノルズ）数 [−] ・相当直径（De [m]） ＜前回の復習＞ 2
第２章　流　動 　　　　− 層流と乱流 − ・容器（円管）内における流体の動きを制御する ・そのために、容器（円管）内における流体 　（気体や液体）の動きを解析する ・容器（円管）に流体を通すために必要な 　考え方や原理を学ぶ（エネルギーについて考える） ・Reynolds（レイノルズ）数 [−] ・相当直径（De [m]）

3 ・Reynolds（レイノルド）数 (Re [−])
＜前回の復習＞ 3 ・Reynolds（レイノルド）数 (Re [−]) Re = DUρ/μ 粘性（摩擦エネルギー）と運動エネルギーの比 層流では粘性、乱流では運動エネルギーが支配 2300 4000 D :管の直径 [m] 層流 過渡範囲 乱流 U :流体の平均速度[m s-1] ρ :流体の密度[kg m-3] μ :流体の粘度[Pa・s] = [kg・m/s2・1/m2・s] = [kg m-1 s-1] ・相当直径（De [m]） 流路の断面が円でないものを円とみて直径を算出する De [m] = 4 × （流路の断面積[m2]） / （流路の濡れ辺長 [m]）

4 課題１．１ 4 幅0.4 m、高さ0.3 mの長方形断面を持つダクトを293K (20℃）の水が0.24 m3/sで輸送されている時の流れは、層流か乱流かを相当直径を利用しRe数を求めた上で識別せよ。また、層流にするためには、体積流量を何倍にすればよいか。

5 5 課題１．２ 内径Dの平滑円管内を密度ρ、粘度μの流体が平均速度Uで 流れている。管内壁面の摩擦応力τｗを次元解析によって求め、 その結果からRe数とは、何を表しているのかを説明せよ。 なお、単位系はSIを用いるものとする。 　（注）摩擦応力（管内壁単位面積にかかる摩擦力のこと）

6 第２章 流 動 − 円管内の流れ− ・速度分布（Hargen-Poiseuilleの定理） ・摩擦（Fanning） 6
第２章　流　動 − 円管内の流れ− ・容器（管）内における流体の動きを制御する ・そのために、容器（管）内における流体の動きを解析する ・速度分布（Hargen-Poiseuilleの定理） （ハーゲン・ポアズイユ） ・摩擦（Fanning）

7 円管内の流れ w = ρUS = ρQ = 一定（定常流） ρU1S1 = ρU2S2 = ρQ = 一定（定常流） 7 ・連続の式
時間が経過しても変化しない流れを定常流という。 単位時間に流れる質量（質量流量 w [kg/s]） ① ② U1 U2 S1 S2 w = ρUS = ρQ = 一定（定常流） ρ：密度 [kg/m3] U：速度 [m/s] S：断面積 [m2] Q：体積流量 [m3/s] 密度ρが一定の流体を非圧縮性流体と呼び、 以下の式が成立する。 ρU1S1 = ρU2S2 = ρQ = 一定（定常流）

8 円管内の層流速度分布 8 物体に力が作用すると流れが生じ、 流れを持続するために、力を作用し続けなければならない。
　　　流れを持続するために、力を作用し続けなければならない。 円管内に流れる定常流（=非圧縮性）に、 　　　　どのような力が作用し、 　　　　　　速度がどのように分布しているのか・・・ 　　　　を知る必要がある。 ある地点における速度を表現する式が必要になる。 考え方として、 　　　Hargen-Poiseulle（ハーゲン・ポアズイユ）の法則を利用する

9 τW = ーμ（ｄu／ｄr） ……..① と表現される。
9 管内における層流の流れイメージ図 流体の流れ 　管　壁　 Umax（最大速度） R(距離) 管壁から最も遠い場所（中心）が 最も早い速度となっている。 剪断力τW 剪断力τW（上の層と下の層の間に働く力）は、 流体の速度(u) に比例し 中心からの距離（管径（r））に半比例する τW = ーμ（ｄu／ｄr） ……..① と表現される。 比例定数μ（この比例定数を粘度[Pa・s]と定義している）

10 流体（流速U[m/s]）の中に、両端が閉じた筒が入っていて、
静止していると考える 10 半径 = R 平均速度 Ｕ [m/s] 半径 = r 長さL [m] 筒にかかる力のバランス（静止している）を考えると τW P1 P2 P1 × πr2 = P2 × πr2 + 2πrL × τW ΔP = (P1 - P2) [Pa] （ΔP：圧力損失) ΔP × πr2 = 2πrL × τW ……..② (押す力と摩擦力が釣り合っている)

11 τW = 11 ΔP × πr2 = 2πrL × τW rΔP 2L ……③ ②の から ① = ③より rΔP 2L ｄu ｄr -μ
∫ ΔP 2Lμ ｄu ｄr = - r ΔP 4Lμ = - r 2 u + C’ r = R のとき u = 0 (壁に密着するため) より C’ = - ΔP 4Lμ R2 u = ΔP 4Lμ (R2- r2) R2{1- r R } ( )2 から 層流における速度分布の式 …④

12 τW = 速度分布の式 12 u ( r)= ΔP 4Lμ R2{1- r R } ( )2 …④ U
( )2 …④ U （半径Rの円管の中心から距離rの地点での 流体の速度、管長L、粘度μ） Umax R r r = 0の時、最大速度umaxとなるので、 umax = ΔP 4Lμ R2 umax = 2U (層流においてumaxは平均速度Ｕの２倍)なので 4Lμ ８Lμ ΔP = umax から ΔP = Ｕ …⑤ R2 R2 （ ΔP：圧力損失) ③と⑤式から τW = 4 μU 8 μU D = (R :半径、D:直径) R

13 τW = Fanning の摩擦係数（f ）： 乱流における摩擦応力の求め方 13 摩擦応力τW は、単位体積当たりのエネルギー
　　　　　　　　乱流における摩擦応力の求め方 13 円管壁上に生じる摩擦応力は、流体の運動エネルギーと比例関係にある （摩擦応力） = (運動エネルギー) × f と記述できる 摩擦応力τW は、単位体積当たりのエネルギー 運動エネルギー[J] = 1/2(kg・m2/s2)も単位体積当たりにすると、 K =1/2(kg・m2/s2) / m3 = 1/2(kg/m3)・(m2/s2) τW = 2 ρＵ２ ・f で表される（f : 摩擦係数） 層流の場合、 f = 16/Re 乱流の場合、 Moodyチャートなどを利用

14 14 摩擦係数（f）は粗度（ε(粗滑度) / D（管径））とReで決定される 粗度

15 15 講義名 日付 学年 学籍番号 氏　名 課題番号を記す事 丁寧に書く 鉛筆の使用可 講義に対するコメント （裏面でも可）

16 16 課題１．3 層流状態における流体の平均速度Uは最大速度umaxの 半分であることを示せ。