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アドバンスドトピック 計算できるものと計算できないもの 2008年4月9日 神林 靖
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コンピュータサイエンスの誕生 世界初のコンピュータが完成したのは1946年 コンピュータサイエンスが誕生したのは1936年
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ENIAC (1)
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ENIAC (2)
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ENIAC (3)
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John Atanasoff
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Atanasoff-Berry-Computer
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「コンピュータサイエンス」とは? コンピュータに何ができて、何ができないか? 計算とはなにか? 計算できる関数とはなにか?
計算できない関数とはなにか? コンピュータに何ができて、何ができないか?
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「計算する」とは何か? 記号を処理すること(ホッブス) コンピュータが行えることすべて
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「計算を定義するもの」 帰納的関数 ラムダ計算 チューリングマシン
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二進法 (1) 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 1010
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二進法 (2) 100 101 +) 1001
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子ザル・モデル(1) 西野哲郎著「中国人郵便配達問題=コンピュータサイエンス最大の難関」講談社選書メチエ より
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子ザル・モデル(2) 西野哲郎著「中国人郵便配達問題=コンピュータサイエンス最大の難関」講談社選書メチエ より
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子ザル・モデル(3) 西野哲郎著「中国人郵便配達問題=コンピュータサイエンス最大の難関」講談社選書メチエ より
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子ザル・モデル(4) 西野哲郎著「中国人郵便配達問題=コンピュータサイエンス最大の難関」講談社選書メチエ より
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子ザルモデル(番外編)
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子ザル・モデルが達成したこと N 2N+1
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アラン・チューリング
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チューリングマシン M 1 0 1 B B B S 無限長のテープ ヘッド 有限制御部 状態遷移関数 S R 1 B T N 現在状態
チューリングマシン M 無限長のテープ 1 0 1 B B B ヘッド S 有限制御部 状態遷移関数 現在状態 現在記号 次の状態 新記号 移動方向 S R 1 B T N
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チューリングマシン M 1 0 1 B B B S 無限長のテープ ヘッド 有限制御部 状態遷移関数 S R 1 B T N 現在状態
チューリングマシン M 無限長のテープ 1 0 1 B B B ヘッド S 有限制御部 状態遷移関数 現在状態 現在記号 次の状態 新記号 移動方向 S R 1 B T N
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チューリングマシン M 1 0 1 B B B S 無限長のテープ ヘッド 有限制御部 状態遷移関数 S R 1 B T N 現在状態
チューリングマシン M 無限長のテープ 1 0 1 B B B ヘッド S 有限制御部 状態遷移関数 現在状態 現在記号 次の状態 新記号 移動方向 S R 1 B T N
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チューリングマシン M 1 0 1 B B B S 無限長のテープ ヘッド 有限制御部 状態遷移関数 S R 1 B T N 現在状態
チューリングマシン M 無限長のテープ 1 0 1 B B B ヘッド S 有限制御部 状態遷移関数 現在状態 現在記号 次の状態 新記号 移動方向 S R 1 B T N
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チューリングマシン M 1 0 1 1 B B T 無限長のテープ ヘッド 有限制御部 状態遷移関数 S R 1 B T N 現在状態
チューリングマシン M 無限長のテープ 1 0 1 1 B B ヘッド T 有限制御部 状態遷移関数 現在状態 現在記号 次の状態 新記号 移動方向 S R 1 B T N
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チューリングマシンの例 チューリングマシンで何ができるか、見てみよう 別のパワーポイントへ
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チューリングマシンの符号化 チューリングマシンのテープと状態遷移関数を0と1の列で符号化する。
2019/4/14 チューリングマシンの符号化 チューリングマシンのテープと状態遷移関数を0と1の列で符号化する。 符号化したチューリングマシンをテープ上に書き込む。 そうしたテープを読み込んで、元のチューリングマシンの動作を模倣するチューリングマシンを作成できる。 それって、コンピュータのことですかい?
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2019/4/14 万能チューリングマシン U 元のチューリングマシンの符号 元のチューリングマシンへの入力 作業領域 S 有限制御部 A B C 無限長のテープ 万能チューリングマシンUは、元のチューリングマシンMへの入力(B)と、Mの状態遷移関数(A)を見ながら、Mの動作を模倣する。
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チューリングマシンの停止性判定問題 チューリングマシンMとそれへの入力xが与えられたときに、Mがxに対して停止するか否かを判定せよ。
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計算不可能であることの証明(1) x1 x2 x3 … xj … M1 M2 M3 … Mi a11 a12 a13 … a1j …
すべてのチューリングマシンを書き出してみる。 x1 x2 x3 … xj … M1 M2 M3 … Mi a11 a12 a13 … a1j … a21 a22 a23 … a2j … a31 a32 a33 … a3j … … … … ai1 ai2 ai3 … aij … チューリングマシンMiが入力xjに対して、 停止するならば aij =1、さもなければ、 aij =0。
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計算不可能であることの証明(2) Mが入力xiに対して停止するのは、表中のチューリングマシンMiがxiに対して停止しないとき、かつその時に限る。 というチューリングマシンがどこかにあるはずだから、探しなさい。
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計算不可能であることの証明(3) MはMiではありえない。なぜなら、 Miがxi対して停止しないとき Mは停止し、 Miがxi対して停止するときにはMは停止しないからである。 え~!矛盾じゃ~ん! すべてのチューリングマシンを網羅する表は構成できない。 チューリングマシンの停止性判定問題は計算不可能である。
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ENIGMA (1)
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ENIGMA (2)
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ENIGMA (3)
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アラン・チューリングと仲間
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理論的に可能でも、 現実には不可能な問題 P = NP? アルゴリズムの例 クリーク問題
グラフと3以上の整数kが与えられたとき、k個の頂点からなる完全グラフがあるか?
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公開鍵暗号 (1) 2つの素数 (p, q) を求める N = p×q L = lcm(p-1, q-1)
gcd(E, L) = 1 となる E を求める E×D mod L = 1となる D を求める
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公開鍵暗号 (2) 暗号文 = 平文E mod N 平文 = 暗号文D mod N 暗号解読には、素因数分解が決め手 (でも、たいへん!)
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P = NP?問題 P=[ncの計算時間で解ける判定問題の集合] NP=[与えられた解答をncの計算時間で確認できる判定問題の集合]
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帰着可能性 (NP完全問題) 判定問題A 判定問題B Algorithm Y Algorithm X Yes/No Yes/No
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NP完全問題 NPに属するすべての問題Aに対して、AはBに多項式時間で帰着可能である。 問題Bは、クラスNPに属する。
NP完全問題を解く多項式時間で解くアルゴリズムXが存在すれば、NP ⊆ Pとなる。
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思い出話 1980年当時のコンピュータメーカー IBM Burroughs UNIVAC NCR CDC Honeywell
富士通+日立+NEC+東芝+三菱電機+沖電気
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ソフトウェア会社の栄華盛衰 (1) 1984年 1 MicroPro $60,000 2 Microsoft $55,000 3 Lotus
$53,000 4 Digital Research $45,000 5 VisiCorp $43,000 6 Ashton-Tate $35,000 7 Peachtree $21,700 8 MicroFocus $15,000 9 Software Publishing $14,000 10 Borderbund $13,000
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ソフトウェア会社の栄華盛衰 (2) 2001年 1 Microsoft $23,845,000 2 Adobe $1,266,387 3
Novell $1,103,592 4 Intuit $1,076,000 5 Autodesk $926,324 6 Symantec $790,153 7 Network Associates $745,692 8 Citrix $479,446 9 Macromedia $295,997 10 Great Plains $250,231
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第五世代コンピュータ (1) 並列論理型コンピュータ 人間はいつか死ぬ p→q 彼は仙人である r→s 仙人は死なない s→¬q
彼は人間ではない r→¬p
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第五世代コンピュータ (2)
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私の研究室でやっていること 移動エージェントを使ったロボットの制御
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課題 感想文 注 意:用紙はA4版2枚。ワープロ打ち とする。 1枚目に概要、2枚目に感想。 提出期限:4月16日 午前13時まで(厳守)
注 意:用紙はA4版2枚。ワープロ打ち とする。 1枚目に概要、2枚目に感想。 提出期限:4月16日 午前13時まで(厳守) 提出場所:情報工学科事務室前 レポート提出用ポスト
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