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知能情報システム特論 Introduction
山本 章博 京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻
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概要 定理証明とその機械学習とプログラム開発への応用 離散データを対象とした機械学習のためのデータ構造の基礎理論
構造体（木），文字列，テーブル，グラフ，… 連続値データからの機械学習が実数論を基盤にしているように
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内容 定理自動証明 節論理 論理プログラミング 帰納論理 極限同定とMIS 正データ学習 反単一化 計算代数 仕様と検証
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講義資料 山本：帰納論理プログラミングの基礎理論とその展開，コンピュータソフトウェア，5月号，2006
山本：帰納論理プログラミングの基礎理論とその展開，コンピュータソフトウェア，5月号，2006 (参) S.H. Nienhuys-Cheng and R. de Wolf, Foundations of Inductive Logic Programming”, Springer
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演繹と帰納
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帰納の例(関数) 一般的法則の導出 単振子の周期 T は(振幅が小さければ)糸の長さ l の平方根に比例する T » Ö l
具体的事実(観測データ)の収集 一般的法則の導出 一般的法則の探索・発想 具体的事実を用いた検証 l 20 30 40 50 60 T 0.98 1.10 1.26 1.41 1.55 T = k Ö l
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帰納の例(形式言語) M社のワープソフト用のファイルの拡張子は .doc または .docx である 具体的事実(観測データ)の収集
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帰納の例(形式言語 つづき) 一般的法則の導出 S = 0+1+…+9+A+…+a+…+z として E = S (S*).doc
一般的法則の探索・発想 S = 0+1+…+9+A+…+a+…+z として E = S (S*).doc 具体的事実を用いた検証
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帰納の例(数学的概念) 偶数とは 2 で割切れる自然数である 具体的な事実の観測(データの収集)
偶数である：22, 4, 16, 6, 184,… 偶数でない：7, 55, 13, 9, 1,… 法則の導出 一般的法則の探索・発想 S = { x | x は自然数 かつ x mod 2 = 0 } 具体的事実を用いた検証
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「帰納」を定める要素 対象 表現 観測事実の表現方法 法則を探索・発想する方法 評価（帰納の正当性） 法則を導出したい対象を含むクラス
個々の対象はある法則で表現されている 観測事実の表現方法 関数ならば、入出力の組 言語や概念ならば、データとその正負値 法則を探索・発想する方法 評価（帰納の正当性）
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概念を対象とした帰納推論 (対象) 概念空間 C(H) (表現) 仮説空間 H 全体集合 U の部分集合のクラス 帰納推論したい概念を含む
概念の表現全体の集合 個々の概念はある法則で表現されている U H h h1 h2
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概念を対象とした帰納推論(2) 観測事実は全体集合U の要素と正負のラベル付け 許容性：個々の概念は一つ以上の仮説で表現されている
正負のラベルとは、帰納推論の対象となる概念の特徴関数 CS(x) = 1 Û x Î S の値 許容性：個々の概念は一つ以上の仮説で表現されている
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計算機科学における概念定義方法 述語論理 S = { x | x は自然数 かつ x mod 2 = 0 }
数学的推論の形式化・機械化 S = { x | x は自然数 かつ x mod 2 = 0 } "x (even(x) « nat(x) Ù (x mod 2 = 0)) "x (even(x) « nat(x) Ù mod(x,2,0)) "x even(x) « x = 0 Ú $ y((x = y + 2)Ùeven(y))
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計算機科学における概念定義方法 正則表現 01( )* 11 形式文法 S ® 00A A ® 0A1 A ® 01
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概念を対象とした帰納推論(3) 法則を探索・発想するプロセス 具体的事実による検証において ある要素 x が帰納推論したい概念 S に
属しているかどうかを判定する手続き を利用する 形式言語 ⇒ オートマトン, 構文解析 述語論理 ⇒ 数学的推論の自動化（自動証明）
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計算論から見た演繹と帰納
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計算の定式化・機械化 メモリ CPU □ Computer 論理（演繹推論）
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帰納推論と学習 学習は帰納推論の特別な場合 帰納推論は，「教師」という人間やエージェントが具体的に設定されていない
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学習の定式化・機械化 教師 Teacher H hi(仮説) 学習機械 Learner 概念Hに関する 例示 仮説(など) 例(データ)
仮説(など) h1, h2, h3,… 例(データ) d1, d2, d3,… 学習機械 例からを仮説を導出する アルゴリズム Learner
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Computer Learner CPU 仮説(推定) h1, h2, h3,… Learning with Logic 論理（演繹推論）
例(データ) d1, d2, d3,… 仮説(推定) h1, h2, h3,… 例から仮説を 導出する アルゴリズム 概念に 関する 例示 メモリ CPU □ Learning with Logic Logic for Learning （L4 帰納論理） 論理（演繹推論）
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形式化された学習 概念に関する例示 例を 伝えるポート 仮説を 伝える ポート 例から仮説を 導出する アルゴリズム
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述語論理と定理自動証明
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記号論理(1) 記号論理 : (数学的)推論の定式化 例 三角形ABCが二等辺ならば底角は等しい ∠ B =∠ C ¬ A B= A C A
P
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記号論理(2) 命題論理 命題文の内部構造に言及しない 述語論理 命題文の主述関係を扱う 全称と存在を扱う
∠ B =∠ C ¬ A B= A C
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命題論理 命題を文単位で形式化記号化 △x y z º △u v w ¬ x y = u v Ù x z = u w
Ù ∠z = 90 Ù ∠w = 90 p ¬ q Ù r Ù s Ù t 命題の正しさを真偽値（0, 1)でモデル化（古典論理）すると電気回路に応用可能
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推論過程の形式化 命題 j と z ¬ j から z を帰結する j z ¬ j z 命題 j と z から j Ù z を帰結する j z
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形式的な推論の例 p : △ABP º △ ACP, q : AB=AC, r : AP=AP s : ∠P = 90 q r
q Ù r s p ¬ q Ù r Ù s q Ù r Ù s p A B C P
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述語論理 命題内の対象と述語に注目して形式化・記号化 ∠ B = ∠ C ¬ A B = A C "x "y "z "u "v "w (
△x y z º △ u v w ¬ x y = u v Ù x z = u w Ù ∠ z = 90 Ù ∠w = 90) A B C P x y z u v w
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述語論理による概念の定義 "x even(x) « x = 0 Ú $ y((x = y + 2)Ùeven(y))
even(0) Ù "x (even(s(s(x))) ¬ even(x)) Cf. 正則表現 (s s)* 0 形式文法 S ® 0 S ® s(s(S))
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これからの内容 定理自動証明 帰納論理 仕様と検証 帰納推論の逆として 帰納推論の中の法則を探索する手法として
述語論理と定理自動証明を利用した機械学習・帰納推論 仕様と検証
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