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プロセスデータ解析学５ -主成分分析- 担当：長谷部伸治 金 尚弘
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主成分分析の概要 主成分分析（PCA：Principal Component Analysis）は，多くの 変数を少数の変数（合成変数，主成分，潜在変数）で表現する ための方法である． x2 t1 x1
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主成分分析の基本式 主成分行列 結合係数行列
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第１主成分の求め方１ 第１主成分得点ベクトル 第１主成分得点の分散 第１主成分得点の平均 共分散行列 （対称行列，非負定値行列）
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第１主成分の求め方２ 主成分得点の分散を最大化する 結合係数ベクトルのノルムは1
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第１主成分の求め方３ ラグランジュ乗数法を使う ラグランジュ関数 最適解が満たす必要条件 固有値問題
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第１主成分の求め方４ 固有値問題の式の両辺に左からw1*Tを掛ける 上式左辺は第1主成分得点の分散（最適化問題の評価指標）
第1主成分得点の分散は共分散行列Vの固有値である． これを最大化したいので，w1*をVの最大固有値に対応する固 有ベクトルとする． ノルムを1とするために，単位固有ベクトルとする．
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第r主成分の求め方1 主成分得点の分散を最大化する 結合係数ベクトルのノルムは1 第r-1番目までの結合係数ベクトルとwrは線形独立
新たな制約式
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第r主成分の求め方2 ラグランジュ乗数法を使う ラグランジュ関数 最適解が満たす必要条件 新たな制約式の影響
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第r主成分の求め方３ 必要条件の式の両辺に左から を掛ける 必要条件の式は固有値問題になる
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第r主成分の求め方４ 固有値問題の式の両辺に左からwr*Tを掛ける 上式左辺は第r主成分得点の分散（最適化問題の評価指標）
第r主成分得点の分散は共分散行列Vの固有値である． これを最大化したいのが，r-1番目までに大きな固有値に対応 する固有ベクトルは利用されているため，制約条件を守るため に，wr*をVのr番目に大きな固有値に対応する固有ベクトル とする． ノルムを1とするために，単位固有ベクトルとする．
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寄与率・累積寄与率 寄与率 累積寄与率
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