Fiber Bundles and Matrix Models

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1 Fiber Bundles and Matrix Models
伊敷 吾郎（大阪大学） arXiv: [hep-th] JHEP 0705(2007)014 [hep-th/ ] 共同研究者 石井貴昭氏(大阪大学)　　・　島崎信二氏(大阪大学)　　・　土屋麻人氏(大阪大学)

2 Motivation ■ Matrix model as nonperturbative definition
of superstring theory IIB matrix model [Ishibashi-Kawai-Kitazawa-Tsuchiya] BFSS Matrix model [Banks-Fischler-Shenker-Susskind] Matrix string theory [Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde] 曲った時空がどのように行列によって実現されるのか？ [Hanada-Kawai-Kimura] 行列模型による曲がった時空の記述についての知見を得たい。 ■ AdS/CFT correspondence 今回の話の特別な場合　 ⇒　R×S3 上の　N=4 SYM 理論の行列正則化　（島崎氏の講演参照）

3 Our results (1) 主ファイバー束P上のYM のdimensional reduction （ファイバーG , 低空間M ）
M上のYM-higgs G方向のreduction (2) Extended matrix T-duality　( G=U(1) or SU(2) or SU(2)k×U(1)l) YM on P = YM-higgs on M のある真空周りの理論でorbifolding を課したもの 例) S7 = SU(2) bundle on S4 (1) S7上のYM S4上のYM-higgs (2) 特に、(2)でG＝U(1)の場合はBuscherのT-duality として解釈できる。 (3) CPn上の U(1) monopole 背景中のYM-higgs は、行列模型 のある真空周りの理 　　論の可換極限で得られることを示した。(monopoles on fuzzy CPn [Dolan et al.]) 我々は連続極限での、 CPn上の理論の作用とモノポール配位を具体的に導いた。 (4) : (2)+(3)より、ある行列模型の適切な真空周りの理論おいてorbifolding を課すと、 　　　S2n+1（=U(1) on CPn）上のYM-higgs と等価であることが言える。 (Fuzzy space での monopole の構成＋extended matrix T-duality) (5) IIB + Myers 型の作用の連続極限　⇒　YM + Chern-Simons like term

4 Plan of Talk 1. Introduction & Motivation
2. Dimensional reduction of YM on P (= G on M) 3. Extended matrix T-duality 4. Total space = SU(n+1)　( =SU(n) on S2n+1 = SU(n)×U(1) on CPn ) 4-1. Dimensional reductions to S2n+1, CPn and matrix model 4-2. Fuzzy CPn, U(1) monopoles on Fuzzy CPn 4-3. YM –higgs on S2n+1 from matrix model 4-4. IIB+ Myers term 5. Summary & outlook

5 Dimensional reduction of YM on P
[Ishii-G.I-Shimasaki-Tsuchiya] YM on P (G bundle on M) Local metric on P Horizontal Local connection 1-form of P Vertical Ex) P=S3 (U(1) on S2) 　 ⇒　　　　： Dirac monopole の配位　 Dimensional reduction YM-higgs theory on M

6 Extended matrix T-duality for U(1) bundle
[Ishii-G.I-Shimasaki-Tsuchiya] [cf. Taylor] M上のあるモノポール真空周りのU(N×∞) YM-higgs に orbifolding を課したものは、P上のU(N) YM と等価である。 真空：U(1) モノポール 次の特別な真空を考える。 この真空の周りで、揺らぎにOrbifolding 条件を課す。 background + fluctuation

7 場の揺らぎにOrbifolding 条件を課す
U(N×∞)行列の中に たくさんのN×N 行列 対角方向に同一視 各パッチの上で、P上のゲージ場を定義 ファイバーがU(１)の場合、Orbifolding 条件を課した あるmonopole 真空まわりのM上のYM-higgs は、P上のYM と等価である。 ファイバーがSU(2) ＝S3 の場合にも拡張できる。 一般に、ファイバーがSU(2)k×U(1)l の場合にも拡張できる。

8 Total space = SU(n+1)

9 YM on SU(n+1) = SU(n) bundle on S2n+1
Horizontal ファイバーSU(n)のreduction Vertical ( SU(n)方向) YM-higgs on S2n+1=U(1) bundle on CPn ファイバーU(1) 方向reduction n=1のときは縮退してる YM-higgs on CPn Killing vector 全ての方向を reduction [Kitazawa] 直行するvector fABC : structure constant 　 of SU(n+1)

10 YM on SU(n+1) = SU(n) bundle on S2n+1
For n=2 case, extended matrix T-duality for SU(2) YM-higgs on S2n+1=U(1) bundle on CPn Extended matrix T-duality for U(1) YM-higgs on CPn Fuzzy CPn の可換極限 （任意のモノポール真空も実現できる）

11 YM on SU(n+1) = SU(n) bundle on S2n+1
For n=2 case, extended matrix T-duality for SU(2) YM-higgs on S2n+1=U(1) bundle on CPn Extended matrix T-duality for U(1) YM-higgs on CPn Fuzzy CPn の可換極限 （任意のモノポール真空も実現できる） 組み合わせると 行列模型から YM-higgs on S2n+1 が実現される。

12 Fuzzy CPn 真空 次の表現の真空を選ぶ 表現のSU(n+1) generator 可換極限は Dim ×Dim 行列の基底
[Grosse-Steinacker, Barachandran et al, Kitazawa] 真空 次の表現の真空を選ぶ 表現のSU(n+1) generator 可換極限は [Dolan-Huet-Murray-O’Connor] Dim ×Dim 行列の基底 関数の基底(CPn の球面調和関数) YM-higgs on CPn New result !

13 U(1) monopoles on Fuzzy CPn
[Grosse et al, Dolan et al] ＝ 可換極限において、上の真空周りの行列模型は、下のU(1) モノポール真空周りの CPｎ上のYM-higgs 理論に帰着する。 New result 任意のCPｎ上のモノポール真空が実現できる。 ⇒適切な真空で orbifolding 条件をかせば、S2n+1上のYM-higgs が実現できる。

14 IIB + Myers項 型作用の連続極限 表現 （Fuzzy CPn ） (YM-higgs on CPn ) +
S2n+1 を実現する表現＋orbifolding 条件 Chern-Simons like term (YM-higgs on S2n+1) ex.) n =1 の場合, IIB+Myers → YM on S3 + Chern Simons on S3

15 Summary １．ファイバーがU(1), SU(2) の場合の extended matrix T-duality
２．Fuzzy CPn の可換極限での作用の形を導いた （U(1)モノポールも実現） ３．この二つを組み合わせて、全空間がSU(n+1) のときに、 YM on SU(n+1) Dim. Red. For n=2, Matrix T-duality for SU(2) bundle (島崎氏の講演参照) YM-higgs on S2n+1 Matrix T-duality for U(1) bundle YM-higgs on S2n+1 が 行列模型で 表わされる。 YM-higgs on CPn Fuzzy CPn の可換極限 （任意のU(1) モノポール 　真空を再現できる。） Matrix model ４．IIB+Myers型の作用の可換極限で得られるCPn, S2n+1上の理論の 　　作用の形も導いた。

16 Future works ◆ 弦理論における Non-abelian T-duality との関係
◆ U(n) モノポールの Fuzzy CPn 上での実現 [Grosse-Steinacker, Dolan-Huet-Murray-O’Connor] ◆ Matrix T-duality のU(n) bundle への拡張 ◆ SU(n+1) 上の YM の行列模型における実現 ◆ AdS/CFT 対応の検証 (n=1 の場合) 　　　　 PWMM → R×S3上の N=4 SYM 理論　　（島崎氏の講演参照）

17 YM theory on group manifold
: right invariant 1-form 群多様体上のYM場 Maurer-Cartan 方程式 群多様体上の Killing vector 群多様体上の pure YM 理論

18 上のpure YM 理論 SU(n) 方向のreduction 上の YM-higgs 理論 U(1) 方向のreduction 上の YM-higgs 理論 全て reduction Matrix model

19 Matrix T-duality (U(1)を構成)
上のpure YM 理論 のとき、 上の YM-higgs 理論 Matrix T-duality (U(1)を構成) 上の YM-higgs 理論 (任意のmonopole bg.) Fuzzy CPn の可換極限 [Grosse, Kitazawa] Matrix model [J,0,‥,0]表現を並べた真空