Numerical solution of the time-dependent Schrödinger equation (TDSE)

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1 Numerical solution of the time-dependent Schrödinger equation (TDSE)
ナノデザイン特論１ Numerical solution of the time-dependent Schrödinger equation (TDSE) downloadable from

2 Hydrogen atom in a laser field
Time-Dependent Schrödinger Equation (TDSE) 電気双極子近似での相互作用ハミルトニアン 数値的に解くためには Dipole approximation 微分方程式 (Differential equation) 差分方程式 (Difference equation) どうメッシュを切るか？ ３次元(3D) 一見 の３次元(3D) 電気双極子近似(Dipole approximation)では m = 0 のみ有限 の２次元(2D)！

3 Peaceman-Rachford 法（右辺の離散化）
と書くと atomic Hamiltonian 原子のハミルトニアン 相互作用ハミルトニアン ( l 不変) Interaction l と を結合(couple)する。 選択則(selection rule)と関連 ここで

4 選択則(Selection rule) 遷移（電子双極子遷移）が起こるのは、 選択則 Selection rule を満たす準位間のみ。 s
p d f 許容遷移(allowed transition) 禁制遷移(forbidden transition) 1s準位はm = 0なので、そこから到達できる準位のmはゼロのみ

5 Peaceman-Rachford 法（時間発展）
temporal evolution j 不変 l について３重対角(tridiagonal) l 不変 j について３重対角(tridiagonal) Alternating directions implicit scheme t に関して２次の精度(2nd order in t) 近似的にユニタリ(unitary) クランク・ニコルソン法の拡張版

6 数値的に求めたラビ振動 電離 2p 10.2 eV 1s 波長(mm)×光子エネルギー(eV)＝1.24 1.24 eV 1 eV
小刻みな振動

7 2p 1s

8 真空紫外 赤外線 時間（フェムト秒） 位置（オングストローム） 10.2 eV 吸収なし 吸収 1 オングストローム 1 フェムト秒

9 １光子電離（理論） Single-photon ionization (theory) 電離 単位時間当たりの遷移確率 Ip 基底状態
光子エネルギー(eV) イオン化レート 基底状態(1s)からのイオン化

10 １光子電離（シミュレーション） Single-photon ionization (simulation)
Evolution of ionization in time Energy of the ejected electrion 108 W/cm2 強度 フェムト秒の領域においても 電離 ionization Ip=13.6 eV 基底状態

11 Photon energy dependence of single-photon ionization
theory Simulation 光子エネルギー(eV) イオン化レート クリアなカットオフ パルス幅が短いことによる不確定性原理の効果 　　　　　　+ リュードベリ準位への励起

12 １光子電離の強度依存性 Intensity-dependence of single-photon ionization ２倍
108 W/cm2 2×108 W/cm2 ２倍 線形(linear)な過程 線形光学効果(linear optical effect) Ionization Intensity

13 多光子電離（３光子電離） Multi-photon ionization (3-photon ionization) Ip 基底状態 電離
パルス幅40fs 水素原子の場合 3 Ionization Intensity 非線形(nonlinear)な過程 非線形光学応答(nonlinear optical effect) 一般に n 光子電離では n Ionization Intensity 強い光源が必要 → レーザーの出現によって初めて実現

14 多光子電離（電子エネルギースペクトル） Electron energy spectrum 電子の運動エネルギーに 電離 Ip 基底状態
水素原子の場合