A Note on Asymmetric Power Index for Voting Games

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1 A Note on Asymmetric Power Index for Voting Games
東京大学 松井知己 東京大学 上原良賢

2 Symmetric Index（対称投票力指数） Shapley-Shubik (1953,1954) Banzhaf (1965)
Power Indices 目的：新しい非対称投票力指数の提案 Symmetric Index（対称投票力指数） Shapley-Shubik (1953,1954) Banzhaf (1965) Deegan-Packel (1978) 投票力を議席数と割当数のみから測る. Asymmetric Index（非対称投票力指数） Shapley-Owen (1971) Frank-Shapley (1981) Rabinowitz-Macdonald (1986) Ono-Muto (1997) イデオロギー空間の存在を仮定． 各政党は､イデオロギー空間内に配置. （位置の近い2政党は､投票行動が似る.） 議案は位置or方向ベクトルとして発生.

3 投票行動表 参議院での投票行動（1989-1992） Y Y Y N Y Y ： 85 Y N N N N N ： 18
政党： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 ： 議案数 議席： Y Y Y N Y Y ： 85 Y N N N N N ： 18 Y N N N Y N ： 9 Y N Y N Y Y ： 6 N Y Y Y Y Y ： 6 Y N Y N Y N ： 5 Y N Y Y Y Y ： 3 Y Y Y N Y N ： 1 全員一致という議案は取り除いてある.

4 各政党を点(n次元ベクトル）として配置する. 投票行動の近い政党は近い位置にある.
イデオロギー空間 イデオロギー空間： n次元ユークリッド空間. 各政党を点(n次元ベクトル）として配置する. 方法は後に述べる. 投票行動の近い政党は近い位置にある. 議案ベクトル(Rabinowitz-Macdonald)： 議案は1つの方向として与えられる. O A党 D党 B党 C党 議案 j に賛成 議案 j に反対

5 議案ベクトルに沿った順に提携が形成される. {C}, {C,B}, {C,B,D},{C,B,D,A} 敗北→ 敗北→ 勝利 → 勝利
ピヴォット 議案ベクトルに沿った順に提携が形成される. {C}, {C,B}, {C,B,D},{C,B,D,A} 敗北→ 敗北→ 勝利 → 勝利 D:ピヴォット ピヴォット：敗北から勝利に変化させた政党 O A党 D党 B党 C党 議案 j に賛成 議案 j に反対

6 (Rabinowitz-Macdonald) （1）投票行動表を用いて 政党をイデオロギー空間中に配置する (2) 議案ベクトルを
非対称投票力指数の計算 非対称投票力指数の計算法 (Rabinowitz-Macdonald) （1）投票行動表を用いて 政党をイデオロギー空間中に配置する (2) 議案ベクトルを 適当な方法で確率的に発生させる (3) 政党i の指数＝政党i がピヴォットとなる確率 を計算する

7 Rabinowitz-Macdonald：因子分析を用いる Ono-Muto ：数量化III類を用いる
政党の配置と議案ベクトルの発生 (1) 投票行動表を用いて 政党をイデオロギー空間中に配置する Rabinowitz-Macdonald：因子分析を用いる Ono-Muto ：数量化III類を用いる (2) 議案ベクトル（または点）の発生 Shapley：各方向が等確率で発生する Rabinowitz-Macdonald：投票行動表の議案もイデオロギー空間中に方向として配置, 過去の議案の非負結合ベクトルを等確率で発生 Ono-Muto：投票行動表の議案もイデオロギー空間中に点として配置, 過去の議案数に比例して発生

8 (1) 既往の方法：投票行動表から各政党のイデオロギー空間での配置を構築
研究の動機 既往の方法： 投票行動表 → イデオロギー空間 →指数 本発表の方法： 投票行動表 → → → 指数 (1) 既往の方法：投票行動表から各政党のイデオロギー空間での配置を構築 (2) A党とB党が同じ投票行動を示す議案が多い→A,B党は似たイデオロギーを持つ→指数 (3) 各議案の発生比率→各提携の発生確率 →(非対称)投票力指数

9 Y Y Y N Y Y ： 85 (勝利) Y N N N N N ： 18 (敗北)
新しい指数(1) 投票行動表 政党： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 ： 議案数 議席： Y Y Y N Y Y ： 85 (勝利) Y N N N N N ： 18 (敗北) Y N ・ ・ ・ ・ ・ ・ Y N ： 9 (敗北) ・ ・ ・ ・ ・ ・ 重み付き多数決ゲームを生成 （121=割当数） [ 121; 109, 74, , 0, , 12 ] [ 121; 0, 74, , 14, , 12 ] [ 121; 0, 74, ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0, 12 ]

10 Shapley-Shubik 指数を計算 （総議案数=133） (.75 .083 .083 0 0 .083)×(85/133）
新しい指数(2) 重み付き多数決ゲームを生成 政党： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 ： 議案数 議席： [ 121; 109, 74, , 0, , 12 ] 85 [ 121; 0, 74, , 14, , 12 ] 18 [ 121; 0, 74, ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0, 12 ] ・ ・ ・ ・ ・ ・ Shapley-Shubik 指数を計算 （総議案数=133） ( )×(85/133） ( )×(18/133） ( ・ ・ ・ ・ ・ ・ )×( 9/133) ＋ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ( )

11 他の指数との比較 指数 ： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 S-S ： Bz ： D-P ： S-O1： S-O2： O-M1: O-M2: O-M3: O-M4: O-M5: M-U :

12 他の指数を特殊ケースとして含む Shapley-Shubik 指数 投票行動表 政党： A B C D E F ：議案数
他の指数との関係 他の指数を特殊ケースとして含む Shapley-Shubik 指数 投票行動表 政党： A B C D E F ：議案数 議案： Y Y Y Y Y Y ： 1 Deegan-Packel 指数 政党 ： A B C D E F ：議案数 議案1： Y Y N Y Y Y ： 1 議案2： Y Y Y N Y Y ： 全ての 議案3： Y Y Y Y N N ： 極小勝利提携 ･ ･ ･ ･ ･ ･

13 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0
公理系(0) 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] → η(G,pE)i = η(G,pE) j 公理3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE) =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) 公理4 指数の総和=1 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’) =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) 公理6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE)

14 G=[q；w1, w2,..., wn]： wi ：i の票数, q ：割当数 プロフィール p :各勝利提携の発生確率
公理系(1) データ： G=[q；w1, w2,..., wn]： wi ：i の票数, q ：割当数 v : 特性関数 プロフィール p :各勝利提携の発生確率 (発生確率の総和は1） 指数： (η(G,p)1, η(G,p)2,...,η(G,p)n) 公理1 [∀F， v(F) = v(F+i)] → η(G,p)i = 0 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] → η(G,pE)i = η(G,pE) j 単純プロフィール pE :勝利提携Eの発生確率=1 公理3 ・ ・ ・ ・

15 単純プロフィール pE :勝利提携Eの発生確率=1 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0
公理系(2) 単純プロフィール pE :勝利提携Eの発生確率=1 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] → η(G,pE)i = η(G,pE) j 公理3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE) =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) 公理4 指数の総和=1 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’) =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) 公理6 ･ ･ ･ ･

16 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0
公理系(3) 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] → η(G,pE)i = η(G,pE) j 公理3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE) =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) 公理4 指数の総和=1 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’) =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) 公理6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE) v’：G [E ]の特性関数, v’（F)=1 ⇔ v(F∩E)=1

17 定理：提案した指数は, 公理1～6で特徴付けられる. 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0
公理系(4) 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] → η(G,pE)i = η(G,pE) j 公理3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE) =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) 公理4 指数の総和=1 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’) =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) 公理6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE) 定理：提案した指数は, 公理1～6で特徴付けられる.

18 S-S指数, D-P指数 を特殊ケースとして含む 参議院のデータを用いた他の指数との比較 O-M指数と近い数値が得られた
まとめ 新たな指数の提案 イデオロギー空間の導入が不要 S-S指数, D-P指数 を特殊ケースとして含む 参議院のデータを用いた他の指数との比較 O-M指数と近い数値が得られた （議案ベクトルの発生が偏っている場合に有効） 指数を特徴付ける公理系の証明 S-S指数の公理系 +（公理5）プロフィｰルに関する線形性 +（公理6）単純プロフィールを持つ際の仮定 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’) =λη(G, p)+ (1‐λ) η(G, p’) 公理6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE)

19 おわり

20 他の指数との比較 指数 ： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 S-S ： Bz ： D-P ： S-O1： S-O2： O-M1: O-M2: O-M3: O-M4: O-M5: M-U :